Смешанные уравнения и неравенства

Вратарь выбросил мяч в поле, направив его под углом 45^o к поверхности поля. Пока мяч не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой $$h(t)=-5t^{2}+12t+1,25$$ ( h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента удара). Пренебрегая сопротивлением воздуха, считаем, что горизонтальная составляющая скорости мяча не меняется в полете. Определите, на каком расстоянии от вратаря в метрах мяч приземлится на поле.

Груз массой 0,4 кг колеблется на пружине. Его скорость $$v$$ меняется по закону $$v=v_{0}\cos \frac{2\pi t}{T}$$, где t — время с момента начала колебаний, T=2 с — период колебаний, $$v_{0}=0,6$$м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле $$E=\frac{mv^{2}}{2}$$, где m — масса груза в килограммах, $$v$$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 36 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Груз массой 0,58 кг колеблется на пружине. Его скорость $$v$$ (в м/с) меняется по закону $$v=v_{0}\sin \frac{2\pi t}{T}$$, где t - время с момента начала колебаний в секундах, Т=6 с - период колебаний, $$v_{0}$$=2 м/с. Кинетическая энергия Е (в Дж) груза вычисляется по формуле $$E=\frac{mv^{2}}{2}$$, где m -  масса груза (в кг), $$v$$ - скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза через 4 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Траектория полета снаряда в прямоугольной системе координат Оху описывается формулами $$x(t)=2t$$; $$y(t)=2+11t-5t^{2}$$, x ‐ горизонтальное удаление снаряда от начала координат, y ‐ вертикальное удаление от начала координат, t ‐ время в секундах). Фиксация полета снаряда происходит с помощью луча в момент пролета снаряда через луч. Уравнение луча в системе координат Оху имеет вид y=x. Через сколько секунд после выпуска снаряда он будет зафиксирован лучом?

На автомобильной шине с помощью специальной маркировки указаны её размеры. Например, 265/60R18. Первое число означает ширину шины B в миллиметрах (см. рис.). Второе число означает отношение высоты профиля шины H к ширине шины в процентах. Буква означает конструкцию шины (R — радиальный тип), а последнее число означает диаметр обода колеса d в дюймах. На автомобиль «Лада-Калина» завод устанавливает шины с маркировкой 185/60R14. Найдите диаметр колеса D этого автомобиля. В одном дюйме 25,4 мм. Ответ дайте в сантиметрах с округлением до целого.

Велосипедист совершает n оборотов педалей велосипеда, а велосипед при этом проходит путь, который можно найти по формуле $$S=2\pi R\frac{a_{1}}{a_{2}}n$$ м, где R - радиус колеса в метрах, $$a_{1}$$ и $$a_{2}$$ - количество зубцов на большой и малой звёздочках велосипеда соответственно. Какой путь пройдёт велосипед при 13 оборотах педалей, если на большой звёздочке 40 зубьев, на малой - 15, а диаметр колеса 57 см? Считайте, что $$\pi=3,14$$. Результат округлите до целого числа метров.

Два тела, массой m=10 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v=10 м/с под углом $$2\alpha$$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $$Q=mv^{2}\sin^{2}\alpha$$, где m-масса в килограммах, v-скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом $$2\alpha$$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее 750 джоулей.

Груз массой 0,3 кг колеблется на пружине. Его скорость $$v$$ меняется по закону $$v-v_{0}\cos \frac{2\pi}t{T}$$, где t-время с момента начала колебаний, Т=2 с - период колебаний, $$v_{0}=0,2$$ м/с. Кинетическая энергия Е (в джоулях) груза вычисляется по формуле $$E=\frac{mv^{2}}{2}$$, где m-масса груза в килограммах, $$v$$-скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 33 с после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Услышав из‐за двери, что к нему пожаловал отдел К по борьбе с киберпреступностью, хакер Zero ловким движением выдернул из компьютера жёсткий диск ёмкостью 1Тбайт и выкинул его из своего окна, расположенного в 20 метрах над землёй. Время полёта жёсткого диска из окна до земли находится по формуле $$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$ , где t – время в секундах, h – высота в метрах, g – ускорение свободного падения, которое можно принять равным 10 м/с². Скорость передачи данных находится по формуле $$r=\frac{V}{t}$$, где r ‐ скорость в Мбит/с, V ‐ объём данных в Мбитах. Сколько Мбит в секунду составила скорость передачи данных в ходе полёта диска, если в одном Тбайте 10¹² байт, в одном Мбите 10⁶ бит, и в одном байте 8 бит?

На автомобильной шине с помощью специальной маркировки указаны ее размеры. Например, 265/60R18. Первое число означает ширину шины В в миллиметрах (см. рис.). Второе число означает отношение высоты профиля шины Н к ширине шины в процентах. Буква означает конструкцию шины (R – радиальный тип), а последнее число означает диаметр обода колеса d в дюймах. В одном дюйме 25,4 мм. В паспорте автомобиля «Лада‐Калина» указана маркировка рекомендованных заводом шин: 215/55R17. Найдите диаметр колеса D этого автомобиля.

Сумма углов правильного выпуклого многоугольника вычисляется по формуле $$\sum =(n-2)\pi$$ где n — количество его углов. Пользуясь этой формулой, найдите n, если $$\sum=6\pi$$.

Найдите h из ра­вен­ства E=mgh, g=9,8, m=5, а E=4,9

Если $$p_{1}, p_{2}, p_{3}$$ — простые числа, то сумма всех делителей числа $$p_{1}*p_{2}*p_{3}$$ равна $$(p_{1}+1)(p_{2}+1)(p_{3}+1)$$. Найдите сумму делителей числа 114.

Известно, что $$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$. Най­ди­те сумму $$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+30^{2}$$.

Не­за­ви­си­мое агент­ство на­ме­ре­но вве­сти рей­тинг но­вост­ных ин­тер­нет-из­да­ний на ос­но­ве оце­нок ин­фор­ма­тив­но­сти $$In$$, опе­ра­тив­но­сти $$Op$$, объ­ек­тив­но­сти пуб­ли­ка­ций $$Tr$$, а также ка­че­ства сайта $$Q$$. Каж­дый от­дель­ный по­ка­за­тель оце­ни­ва­ет­ся чи­та­те­ля­ми по 5-балль­ной шкале це­лы­ми чис­ла­ми от 1 до 5.Ана­ли­ти­ки, со­став­ля­ю­щие фор­му­лу рей­тин­га, счи­та­ют, что объ­ек­тив­ность це­нит­ся втрое, а ин­фор­ма­тив­ность пуб­ли­ка­ций — вдвое до­ро­же, чем опе­ра­тив­ность и ка­че­ство сайта. Таким об­ра­зом, фор­му­ла при­ня­ла вид $$R=\frac{2In+Op+3Tr+Q}{A}$$. Каким долж­но быть число $$A$$, чтобы из­да­ние, у ко­то­ро­го все оцен­ки наи­боль­шие, по­лу­чи­ло бы рей­тинг 1?

Рей­тинг   ин­тер­нет-ма­га­зи­на вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле $$R=r_{pok}-\frac{r_{pok}-r_{eks}}{(K+1)\frac{0,02K}{r_{pok}+0,1}}$$, где $$r_{pok}$$ — сред­няя оцен­ка ма­га­зи­на по­ку­па­те­ля­ми (от 0 до 1),$$r_{eks}$$ — оцен­ка ма­га­зи­на экс­пер­та­ми (от 0 до 0,7) и $$K$$ — число по­ку­па­те­лей, оце­нив­ших ма­га­зин. Най­ди­те рей­тинг ин­тер­нет-ма­га­зи­на «Бета», если число по­ку­па­те­лей, оста­вив­ших отзыв о ма­га­зи­не, равно 20, их сред­няя оцен­ка равна 0,65, а оцен­ка экс­пер­тов равна 0,37.

Рей­тинг $$R$$ ин­тер­нет-ма­га­зи­на вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле $$R=r_{pok}-\frac{r_{pok}-r_{eks}}{(K+1)^{m}}$$, где $$m=\frac{0,02K}{r_{pok}+0,1}$$, $$r_{eks}$$ — сред­няя оцен­ка, дан­ная экс­пер­та­ми, $$r_{pok}$$ — сред­няя оцен­ка, дан­ная по­ку­па­те­ля­ми, $$K$$ — число по­ку­па­те­лей, оце­нив­ших ма­га­зин. Най­ди­те рей­тинг ин­тер­нет-ма­га­зи­на, если число по­ку­па­те­лей, оце­нив­ших ма­га­зин, равно 24, их сред­няя оцен­ка равна 0,86, а оцен­ка экс­пер­тов равна 0,11.

Не­за­ви­си­мое агент­ство на­ме­ре­но вве­сти рей­тинг но­вост­ных из­да­ний на ос­но­ве по­ка­за­те­лей ин­фор­ма­тив­но­сти $$In$$, опе­ра­тив­но­сти $$Op$$ и объ­ек­тив­но­сти $$Tr$$ пуб­ли­ка­ций. Каж­дый по­ка­за­тель — целое чис­ло от -2 до 2.Со­ста­ви­те­ли рей­тин­га счи­та­ют, что ин­фор­ма­тив­ность пуб­ли­ка­ций це­нит­ся втрое, а объ­ек­тив­ность — вдвое до­ро­же, чем опе­ра­тив­ность. Таким об­ра­зом, фор­му­ла при­ня­ла вид: $$R=\frac{3In+Op+2Tr}{A}$$. Най­ди­те, каким долж­но быть число $$A$$, чтобы из­да­ние, у ко­то­ро­го все по­ка­за­те­ли мак­си­маль­ны, по­лу­чи­ло бы рей­тинг 30.

Для опре­де­ле­ния эф­фек­тив­ной тем­пе­ра­ту­ры звёзд ис­поль­зу­ют закон Сте­фа­на–Больц­ма­на, со­глас­но ко­то­ро­му $$P=\sigma ST^{4}$$ Вт/м²*К⁴, где P — мощ­ность из­лу­че­ния звез­ды (в Ват­тах), $$\sigma=5,7\cdot10^{-8}$$ — по­сто­ян­ная, S м²  — пло­щадь по­верх­но­сти звез­ды (в квад­рат­ных мет­рах), а T — тем­пе­ра­ту­ра (в кель­ви­нах). Из­вест­но, что пло­щадь по­верх­но­сти неко­то­рой звез­ды равна $$\frac{1}{16}\cdot10^{20}$$ м², а мощ­ность её из­лу­че­ния равна $$9,12\cdot10^{25}$$ Вт. Най­ди­те тем­пе­ра­ту­ру этой звез­ды в Кель­ви­нах.

На верфи ин­же­не­ры про­ек­ти­ру­ют новый ап­па­рат для по­гру­же­ния на не­боль­шие глу­би­ны. Кон­струк­ция имеет ку­би­че­скую форму, а зна­чит, дей­ству­ю­щая на ап­па­рат вы­тал­ки­ва­ю­щая (ар­хи­ме­до­ва) сила, вы­ра­жа­е­мая в нью­то­нах, будет опре­де­лять­ся по фор­му­ле: $$F_{A}=\rho gl^{3}$$, где l – длина ребра куба в мет­рах, $$\rho=1000$$ кг/м³ – плот­ность воды, а g – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те $$g=9,8$$ Н/кг). Какой может быть мак­си­маль­ная длина ребра куба, чтобы обес­пе­чить его экс­плу­а­та­цию в усло­ви­ях, когда вы­тал­ки­ва­ю­щая сила при по­гру­же­нии будет не боль­ше, чем 78400 Н? Ответ вы­ра­зи­те в мет­рах.

Если до­ста­точ­но быст­ро вра­щать ведeрко с водой на верeвке в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти, то вода не будет вы­ли­вать­ся. При вра­ще­нии ведeрка сила дав­ле­ния воды на дно не остаeтся по­сто­ян­ной: она мак­си­маль­на в ниж­ней точке и ми­ни­маль­на в верх­ней. Вода не будет вы­ли­вать­ся, если сила еe дав­ле­ния на дно будет по­ло­жи­тель­ной во всех точ­ках тра­ек­то­рии кроме верх­ней, где она может быть рав­ной нулю. В верх­ней точке сила дав­ле­ния, вы­ра­жен­ная в нью­то­нах, равна $$P=m(\frac{v^{2}}{L}-g)$$, где m – масса воды в ки­ло­грам­мах, v - ско­рость дви­же­ния ведeрка в м/с, L – длина верeвки в мет­рах, g – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те $$g=10$$ м/с²). С какой наи­мень­шей ско­ро­стью надо вра­щать ведeрко, чтобы вода не вы­ли­ва­лась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ вы­ра­зи­те в м/с.