Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

Планиметрия: задачи, связанные с углами

Решение равнобедренного треугольника

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11412

В равнобедренном треугольнике MNK (NK = MK) проведены высоты MP и NF. Известно, что PF=3, а косинус угла К равен 0,3. Найдите длину стороны MN.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10253

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высоты ВМ и АН пересекаются в точке К, причем АК=5, КН=3. Найдите площадь треугольника АВК.

Ответ: 15
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9893

На боковой стороне CB равнобедренного (AB=BC) треугольника ABC выбрана точка K. Оказалось, что CA= AK =KB. Найдите $$\angle$$ABC. Ответ дайте в градусах.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9480

В треугольнике АВС известно, что АС=ВС, AB=20, $$\sin A=\frac{\sqrt{5}}{3}$$. Найдите длину стороны АС.

Ответ: 15
Аналоги к этому заданию:

Задание 6608

В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания со вписанной окружностью в отношении 8:5, считая от вершины, лежащей напротив основания. Найдите основание треугольника, если радиус вписанной окружности равен 10.

Ответ: 30
Скрыть

     1) $$CA_{1}=CC_{1}=8x$$(по свойству касательных), $$A_{1}B=B_{1}B=AB_{1}=AC_{1}=5x$$

     2) $$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=18x$$

     3) S$$=p*r\Rightarrow$$ $$r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$$, где a=AB, b=CB, c=AC

     4) $$10=\sqrt{\frac{(18x-13x)^{2}*(18x-10x)}{18x}}\Leftrightarrow$$ $$10=\sqrt{\frac{(5x)^{2}*8x}{18x}}\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{\frac{5^{2}*26{2}*x^{2}}{3^{2}}}=10\Leftrightarrow$$ $$\frac{10x}{3}=10\Leftrightarrow x=3$$

     5)$$AB=10x=10*3=30$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2744

В тре­уголь­ни­ке ABC AB = BC. Внеш­ний угол при вер­ши­не B равен 138°. Най­ди­те угол C. Ответ дайте в гра­ду­сах.

 

Ответ: 69
Аналоги к этому заданию:

Задание 2743

Угол при вер­ши­не, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, равен 150°. Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка, если его пло­щадь равна 100.

 

Ответ: 20
Аналоги к этому заданию:

Задание 2742

Угол при вер­ши­не, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, равен 150°. Бо­ко­вая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка равна 20. Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.

 

Ответ: 100
Аналоги к этому заданию:

Задание 2741

В тре­уголь­ни­ке ABC $$AC=BC=27$$, AH — вы­со­та, $$\cos BAC=\frac{2}{3}$$. Най­ди­те BH.

 

Ответ: 24
Аналоги к этому заданию:

Задание 2740

В тре­уголь­ни­ке ABC $$AC=BC=4\sqrt{15}$$, $$\cos BAC=0,25$$. Най­ди­те вы­со­ту AH.

 

Ответ: 7,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 2739

В тре­уголь­ни­ке ABC $$AC=BC-27$$, AH — вы­со­та, $$\sin BAC=\frac{2}{3}$$. Най­ди­те BH.

 

Ответ: 30
Аналоги к этому заданию:

Задание 2738

В тре­уголь­ни­ке ABC $$AC=BC=4\sqrt{15}$$, $$\sin BAC=0,25$$ . Най­ди­те вы­со­ту AH.

 

Ответ: 7,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 1960

Пе­ри­метр рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равен 216, а бо­ко­вая сто­ро­на — 78. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 2160
Скрыть
  1. Найдем основание равнобедренного треугольника : $$216-2*78=60$$
  2. Полупериметр данного треугольника: $$p=\frac{216}{2}=108$$. По формуле Герона: $$S=\sqrt{108(108-78)^{2}(108-60)}=2160$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1959

Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 34, а ос­но­ва­ние равно 60. Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 480
Скрыть
  1. Найдем полупериметр данного треугольника: $$p=\frac{34*2+60}{2}=64$$
  2. По формуле Герона: $$S=\sqrt{64(64-34)^{2}(64-60)}=480$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1958

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC AC=BC. Най­ди­те AC, если вы­со­та CH=12, AB=10.

Ответ: 13
Скрыть

  1. По свойству высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию: $$AH=HB=\frac{1}{2}AB=5$$
  2. По теореме Пифагора из треугольника ACH: $$AC=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1957

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке бо­ко­вая сто­ро­на равна 10, ос­но­ва­ние — $$5(\sqrt{6}-\sqrt{2})$$, а угол, ле­жа­щий на­про­тив ос­но­ва­ния, равен 30°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 25
Скрыть

По формуле площади треугольника $$S=\frac{AB*AC*\sin B}{2}=\frac{1}{2}*10*10*\frac{1}{2}=25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1956

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке бо­ко­вая сто­ро­на равна 10, а угол, ле­жа­щий на­про­тив ос­но­ва­ния, равен 120°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, делённую на $$\sqrt{3}$$

Ответ: 25
Скрыть

По формуле площади треугольника $$S=\frac{10*10*\sin 120^{\circ}}{2}=\frac{1}{2}*10*10*\frac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}$$. В ответе необходимо указать ответ, деленный на $$\sqrt{3}$$, то есть 25

Аналоги к этому заданию:

Задание 1955

Вы­со­та рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равна 10. Най­ди­те его пло­щадь, делённую на $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$.

Ответ: 100
Скрыть

  1. Из треугольника ACH: $$AC=\frac{CH}{\sin A}=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20}{\sqrt{3}}$$
  2. Так как треугольник равносторонний, то AC=AB, тогда из формулы площади треугольника: $$S=\frac{1}{2}CH*AB=\frac{100}{\sqrt{3}}$$. В ответе необходимо указать результат, деленный на $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$: $$\frac{100}{\sqrt{3}}:\frac{\sqrt{3}}{3}=100$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1954

Пе­ри­метр рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равен 30. Най­ди­те его пло­щадь, делённую на $$\sqrt{3}$$.

Ответ: 25
Скрыть
  1. Пусть a - сторона равностороннего треугольника, тогда $$a=\frac{P}{3}=10$$
  2. Из формулы площади треугольника: $$S=\frac{1}{2}*10*10*\sin 60^{\circ}=25\sqrt{3}$$, в ответе необходимо указать значение без $$\sqrt{3}$$, то есть 25
Аналоги к этому заданию:

Задание 1953

Сто­ро­на рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равна 10. Най­ди­те его пло­щадь, делённую на $$\sqrt{3}$$.

Ответ: 25
Скрыть

Из формулы площади треугольника: $$S=\frac{1}{2}*10*10*\sin 60^{\circ}=25\sqrt{3}$$, в ответе необходимо указать значение без $$\sqrt{3}$$, то есть 25

Аналоги к этому заданию:

Задание 1853

В тре­уголь­ни­ке ABC AC = BC. Внеш­ний угол при вер­ши­не B равен 140°. Най­ди­те угол C. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 100
Скрыть

$$\angle ABC=180-\angle CBD=180-140=40^{\circ}$$ (по свойству смежных углов), но так как AC=BC, то $$\angle CAB=\angle CBA=40^{\circ}$$, тогда $$\angle C=180-40*2=100$$(по свойству углов треугольника)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1852

Сто­ро­на рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равна $$12\sqrt{3}$$. Най­ди­те бис­сек­три­су этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 18
Скрыть

По свойству биссектрисы равностороннего трекугольника $$\angle AHC=90^{\circ}$$, тогда из треугольника AHC: $$AH=AC*\sin ACH$$, $$\angle ACH=60^{\circ}$$( по свойству углов равностороннего треугольника), следовательно, $$AH=12\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}=18$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1851

Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 10, а ос­но­ва­ние равно 12. Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 48
Скрыть

Воспользуемся формулой Герона для нахождения площади треугольника. Найдем полупериметр: $$p=\frac{10+10+12}{2}=16$$, тогда $$S=\sqrt{16*(16-10)(16-10)(16-12)}=48$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1850

В тре­уголь­ни­ке ABC AB = BC = 53, AC = 56. Най­ди­те длину ме­ди­а­ны BM.

Ответ: 45
Скрыть

По свойству медианы в равнобедренном треугольнике: $$MC=\frac{1}{2}AC=28$$, из прямоугольного треугольника BMC по теореме Пифагора: $$BM=\sqrt{BC^{2}-MC^{2}}=\sqrt{53^{2}-28^{2}}=45$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1849

Вы­со­та рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равна $$15\sqrt{3}$$. Най­ди­те его пе­ри­метр.

Ответ: 90
Скрыть

По свойству высоты равностороннего треугольника $$\angle AHC=90^{\circ}$$ , тогда из треугольника AHC: $$AC=\frac{AH}{\sin ACH}$$, $$\angle ACH=60^{\circ}$$ ( по свойству углов равностороннего треугольника), следовательно, $$AC=\frac{15\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=30$$, тогда периметр треугольника составит: $$30*3=90$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1848

Точка D на сто­ро­не AB тре­уголь­ни­ка ABC вы­бра­на так, что AD = AC. Из­вест­но, что ∠CAB = 80° и ∠ACB=59°. Най­ди­те угол DCB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 9
Скрыть

Так как AD=AC, то треугольник ADC - равнобедренный и $$\angle ADC=\angle ACD=\frac{180-\angle CAB}{2}=50^{\circ}$$, тогда $$\angle DCB=\angle ACB-\angle ACD=59-50=9^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1847

Пе­ри­метр рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равен 196, а ос­но­ва­ние — 96. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 672
Скрыть

Найдем боковую сторону данного треугольника: $$\frac{196-96}{2}=50$$, полупериметр данного треугольника $$p=\frac{196}{3}=98$$, тогда по формуле Герона площадь данного треугольника: $$S=\sqrt{98(98-50)(98-50)(98-96)}=48*14=672$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1846

Пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна $$196\sqrt{3}$$. Угол, ле­жа­щий на­про­тив ос­но­ва­ния равен 120°. Най­ди­те длину бо­ко­вой сто­ро­ны.

Ответ: 28
Скрыть

Площадь треугольника можно выразить как половину произведения сторон треугольник на синус угла между ними, пусть х - боковая сторона треугольника, тогда $$196\sqrt{3}=\frac{1}{2}x^{2}*\sin 120^{\circ}\Leftrightarrow$$$$x=\sqrt{\frac{196\sqrt{3}*2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}=28$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1845

Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 5. Угол при вер­ши­не, про­ти­во­ле­жа­щий ос­но­ва­нию, равен 120°. Най­ди­те диа­метр окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 10
Скрыть

Пусть угол B равен 120 градусам, тогда $$\smile AC = 240^{\circ}$$ (по свойству вписанного угла), тогда меньшая дуга CA равна $$360-240=120^{\circ}$$, и центральный угол, опирающийся на эту дугу так же составляет 120 градусов ($$\angle AOC$$). Так как треугольники ABC и ACO равнобедренные, имею общую сторону и равные углы против этой стороны, то они между собой равны, следовательно, AO=5=r, где r - радиус окружности, следовательно, диаметр окружности равен 10

Аналоги к этому заданию:

Задание 1844

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC с ос­но­ва­ни­ем AC внеш­ний угол при вер­ши­не C равен 123°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 66
Скрыть

По свойству смежных углов: $$\angle BCA=180-\angle BCD=180-123=57^{\circ}$$, так как треугольник равнобедренный, то $$\angle A=\angle BCA=57^{\circ}$$, следовательно по свойству улов треугольника $$\angle ABC=180-57*2=66^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1843

В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке  ABC  ме­ди­а­ны  BK  и  AM  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Най­ди­те $$\angle AOK$$.

Ответ: 60
Скрыть

По свойству медианы раностороннего треугольника $$\angle AKO =90^{\circ}$$ и $$\angle OAK=\frac{1}{2}\angle A$$, по свойству углов равностороннего треугольника: $$\angle A=60^{\circ}\Rightarrow$$$$\angle OAK=30^{\circ}\Rightarrow$$$$\angle AOK=90-\angle OAK=60^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1842

В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­сы CN и AM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P. Най­ди­те $$\angle MPN$$.

Ответ: 120
Скрыть

По свойству биссектрис равностороннего треугольника $$\angle BNP=\angle BMP=90^{\circ}$$, по свойству углов равностороннего треугольника $$\angle B=60^{\circ}$$, тогда по свойству углов выпуклого четырехугольника $$\angle MPN=360-90*2-60=120^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 860

В тре­уголь­ни­ке ABC AC = BCAB = 4, вы­со­та CH равна  $$2\sqrt{3}$$ . Най­ди­те угол С. Ответ дайте в гра­ду­сах.

 

Ответ: 60
Аналоги к этому заданию:

Задание 859

В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC вы­со­та CH равна  $$2\sqrt{3}$$ . Най­ди­те сто­ро­ны этого тре­уголь­ни­ка.

 

Ответ: 4
Аналоги к этому заданию:

Задание 858

В тре­уголь­ни­ке ABC $$AB=BC=AC=2\sqrt{3}$$. Най­ди­те вы­со­ту CH.

 

Ответ: 3
Аналоги к этому заданию:

Задание 857

Боль­ший угол рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равен 98°. Най­ди­те мень­ший угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

 

Ответ: 41
Аналоги к этому заданию:

Задание 856

В тре­уголь­ни­ке ABC AC = BC. Внеш­ний угол при вер­ши­не B равен 122°. Най­ди­те угол C. Ответ дайте в гра­ду­сах.

 

Ответ: 64
Аналоги к этому заданию:

Задание 855

В тре­уголь­ни­ке ABC AC = BC, угол C равен 52°. Най­ди­те внеш­ний угол CBD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

 

Ответ: 116
Аналоги к этому заданию:

Задание 854

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 118°, AC = BC. Най­ди­те угол A. Ответ дайте в гра­ду­сах.

 

Ответ: 31
Аналоги к этому заданию:

Задание 853

В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 38°, AC = BC. Най­ди­те угол C. Ответ дайте в гра­ду­сах.

 

Ответ: 104
Аналоги к этому заданию:

Задание 852

Угол при вер­ши­не, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, равен 30°. Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка, если его пло­щадь равна 25.

 

Ответ: 10
Аналоги к этому заданию:

Задание 851

Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 5, а ос­но­ва­ние равно 6. Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.

 

Ответ: 12
Аналоги к этому заданию:

Задание 850

Угол при вер­ши­не, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, равен 30°. Бо­ко­вая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка равна 10. Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.

 

Ответ: 25
Аналоги к этому заданию:

Задание 849

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, CH  — вы­со­та, BH=12,  $$\tan A=\frac{2}{3}$$ . Най­ди­те AH.

 

Ответ: 27
Аналоги к этому заданию:

Задание 848

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, CH  — вы­со­та, AH=27,  $$\tan A=\frac{2}{3}$$ . Най­ди­те BH.

 

Ответ: 12
Аналоги к этому заданию:

Задание 847

В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  ABC AC = BC, вы­со­та AH равна 4, CH = 8.  Най­ди­те  tg ACB .

 

Ответ: -0,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 846

В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  ABC AC = BC, вы­со­та AH равна 24, CH = 7. Най­ди­те  cos ACB .

 

Ответ: -0,28
Аналоги к этому заданию:

Задание 845

В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  ABC AC = BC, вы­со­та AH равна 7, CH = 24. Най­ди­те  sin ACB .

 

Ответ: 0,28
Аналоги к этому заданию:

Задание 844

В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC $$AC=BC=\sqrt{17}$$ , AH – вы­со­та, CH = 4. Най­ди­те  tg ACB .

 

Ответ: -0,25
Аналоги к этому заданию:

Задание 843

В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC AC = BC=8AH – вы­со­та CH = 4. Най­ди­те  cos ACB .

 

Ответ: -0,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 842

В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC $$AC = BC=4\sqrt{5}$$ , AH – вы­со­та равна 4.Най­ди­те  tg ACB .

 

Ответ: -0.5
Аналоги к этому заданию:

Задание 841

В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC AC = BC=25AH – вы­со­та равна 20. Най­ди­те  cos ACB .

 

Ответ: -0,6
Аналоги к этому заданию:

Задание 840

В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC AC = BC=8AH – вы­со­та равна 4. Най­ди­те  sin ACB .

 

Ответ: 0,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 839

В тре­уголь­ни­ке ABC AC =BCAH – вы­со­та, AB = 7, $$\tan BAC=\frac{4\sqrt{33}}{33}$$ . Най­ди­те вы­со­ту BH

 

Ответ: 4
Аналоги к этому заданию:

Задание 838

В тре­уголь­ни­ке ABC AC =BCAH – вы­со­та, AB = 8, $$\tan BAC=\frac{4\sqrt{33}}{33}$$ . Най­ди­те вы­со­ту AH.

 

Ответ: 4
Аналоги к этому заданию:

Задание 837

В тре­уголь­ни­ке ABC AC =BCAH – вы­со­та, AB = 8,  cos BAC = 0.5 . Най­ди­те BH.

 

Ответ: 4
Аналоги к этому заданию:

Задание 836

В тре­уголь­ни­ке ABC AC =BCAH – вы­со­та, AB = 5,  $$\cos \angle BAC=\frac{7}{25}$$. Най­ди­те вы­со­ту AH

 

Ответ: 4,8
Аналоги к этому заданию:

Задание 835

В тре­уголь­ни­ке ABC AC =BCAH – вы­со­та, AB = 5. Най­ди­те BH.

 

Ответ: 4.8
Аналоги к этому заданию:

Задание 834

В тре­уголь­ни­ке ABC AC = BCAB = 8,  sin BAC = 0.5  Най­ди­те вы­со­ту AH.

 

Ответ: 4
Аналоги к этому заданию:

Задание 833

В тре­уголь­ни­ке ABC AC = BC, AB= 8,  $$\tan A=\frac{33}{4\sqrt{33}}$$. Найдите AC.

 

Ответ: 7
Аналоги к этому заданию:

Задание 832

В тре­уголь­ни­ке ABC AC = BC = 7,  $$\tan A=\frac{33}{4\sqrt{33}}$$. Найдите AB.

 

Ответ: 8
Аналоги к этому заданию:

Задание 831

В тре­уголь­ни­ке ABC AC = BCAB = 8,  cos A = 0.5  Най­ди­те AC.

 

Ответ: 8
Аналоги к этому заданию:

Задание 830

В тре­уголь­ни­ке ABC AC = BC = 8,  cos A = 0.5.  Най­ди­те АВ.

 

Ответ: 8
Аналоги к этому заданию:

Задание 829

В тре­уголь­ни­ке ABC AC = BCAB = 9,6,  $$\sin A=\frac{7}{25}$$ Най­ди­те AC.

 

Ответ: 5
Аналоги к этому заданию:

Задание 828

В тре­уголь­ни­ке ABC AC = BC = 5,  $$\sin A=\frac{7}{25}$$. Най­ди­те АВ.

 

Ответ: 9,6