Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

Планиметрия: задачи, связанные с углами

Решение прямоугольного треугольника

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10044

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, угол В равен 60°, AB = 10. Найдите АH.

Ответ: 7,5
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9140

Медианы прямоугольного треугольника, проведённые к катетам, равны $$13\sqrt{2}$$ и $$\sqrt{73}$$ . Найдите длину медианы, проведённой к гипотенузе.

Ответ: 5
Аналоги к этому заданию:

Задание 8790

Острые углы прямоугольного треугольника равны 80° и 10°. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 35
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8771

Один из углов прямоугольного треугольника равен 66°. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 21
Аналоги к этому заданию:

Задание 2724

 В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, $$\tan A=0,5$$, ВС = 4. Най­ди­те АС.

 

Ответ: 8
Аналоги к этому заданию:

Задание 2723

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, $$\cos A=\frac{\sqrt{17}}{17}$$, ВС = 2. Най­ди­те АС.

 

Ответ: 0,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 2722

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, BC = 4, $$\sin A=0,5$$. Най­ди­те АВ.

 

Ответ: 8
Аналоги к этому заданию:

Задание 1952

Два ка­те­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 4 и 9. Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 18
Скрыть

По определению площади прямоугольного треугольника: $$S=\frac{1}{2}4*9=18$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1951

Ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 8 и 15. Най­ди­те ги­по­те­ну­зу этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 17
Скрыть

По теореме Пифагора $$c=\sqrt{8^{2}+15^{2}}=17$$, где с - гипотенуза данного треугольника.

Аналоги к этому заданию:

Задание 1950

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ги­по­те­ну­за равна 70, а один из ост­рых углов равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 1225
Скрыть

  1. $$AB=AC*\sin 45^{\circ}=$$$$70*\frac{\sqrt{2}}{2}=35\sqrt{2}$$
  2. $$BC=AC*\cos 45^{\circ}=$$$$70*\frac{\sqrt{2}}{2}=35\sqrt{2}$$
  3. Площадь треугольника в таком случае: $$S=\frac{1}{2}*35\sqrt{2}*35\sqrt{2}=1225$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1949

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из ка­те­тов равен 4, а ост­рый угол, при­ле­жа­щий к нему, равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 8
Скрыть

  1. Пусть BC=4, тогда $$\angle C=45^{\circ}$$, тогда $$\angle A=90-45=45^{\circ}$$, следовательно, треугольника ABC - равнобедренный и AB=BC
  2. По определению площади прямоугольного треугольника $$S=\frac{1}{2}*4*4=8$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1948

Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, если его катет и ги­по­те­ну­за равны со­от­вет­ствен­но 28 и 100.

Ответ: 1344
Скрыть
  1. Пусть b - второй катет, тогда по теореме Пифагора: $$b=\sqrt{100^{2}-28^{2}}=96$$
  2. По определению площади прямоугольного треугольника : $$S=\frac{1}{2}*96*28=1344$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1947

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из ка­те­тов равен 10, ост­рый угол, при­ле­жа­щий к нему, равен 60°, а ги­по­те­ну­за равна 20. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, делённую на $$\sqrt{3}$$.

Ответ: 50
Скрыть

  1. Пусть AB=10, $$\angle A=60^{\circ}$$, тогда из определения тангенса $$BC=AB*tg A=10\sqrt{3}$$
  2. Из определения площади прямоугольного треуольника $$S=\frac{1}{2}*10*10\sqrt{3}=50\sqrt{3}$$, ответ необходимо указать деленный на $$\sqrt{3}$$, то есть 50
Аналоги к этому заданию:

Задание 1946

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из ка­те­тов равен 10, а угол, ле­жа­щий на­про­тив него, равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 50
Скрыть
  1. Если один острый угол прямоугольного треугольника составляет 45 градусов, то и другой угол также равен $$90-45=45^{\circ}$$, тогда треугольник равнобедренный, и катеты равны
  2. По определению площади прямоугольного треугольника: $$S=\frac{1}{2}*10*10=50$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 1908

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но, что AC=14, $$BC=\sqrt{165}$$, угол C равен 90°. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 9,5
Скрыть

Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы, тогда по теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=\sqrt{361}=19$$, тогда радиус описанной окружности составляет 9,5

Аналоги к этому заданию:

Задание 1907

Один из ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен 23°. Най­ди­те его дру­гой ост­рый угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 67
Скрыть

По свойству суммы острых углов прямоугольного треугольника второй острый угол будет равен: $$90-23=67^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1906

Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, если его катет и ги­по­те­ну­за равны со­от­вет­ствен­но 12 и 13.

Ответ: 30
Скрыть

По теореме Пифагора найдем второй катет: $$\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$$
Найдем площадь прямоугольного треугольника как половину произведения длин его катетов :$$\frac{1}{2}*12*5=30$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1904

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC катет AC равен 35, а вы­со­та CH, опу­щен­ная на ги­по­те­ну­зу, равна $$14\sqrt{6}$$. Най­ди­те $$\sin\angle ABC$$.

Ответ: 0,2
Скрыть

По свойству высоты прямоугольного треугольника, опущенной из прямого угла: $$\angle ACH=\angle ABC$$

Тогда из треугольника ACH: $$\cos ACH=\frac{CH}{AC}=\frac{14\sqrt{6}}{35}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$$

По основному тригонометрическому тождеству: $$\sin ACH=\sqrt{1-\cos^{2} ACH}=\sqrt{\frac{24}{25}}=\frac{1}{5}$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 1903

Точка H яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты, про­ведённой из вер­ши­ны пря­мо­го угла B тре­уголь­ни­ка ABC к ги­по­те­ну­зе AC. Най­ди­те AB, если AH = 6, AC = 24.

Ответ: 12
Скрыть

Из подобия треугольников BHA и ABC (по свойтсву высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла): $$\frac{HA}{AB}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow$$$$AB=\sqrt{HA*AC}=12$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1902

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, AC=12, $$\tan A=\frac{2\sqrt{10}}{3}$$. Най­ди­те AB.

Ответ: 28
Скрыть

Из определения тангенса угла: $$CB=AC*tg A=8\sqrt{10}$$

По теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=\sqrt{144+640}=28$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1901

Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна $$32\sqrt{3}$$. Один из ост­рых углов равен 30°. Най­ди­те длину ги­по­те­ну­зы.

Ответ: 16
Скрыть

Пусть катет, лежащий напротив угла в 30 градусов равен х, тогда по свойству катета, лежащего напротив угла в 30 градусов, гипотенуза равна 2х.
По теореме Пифагора третий катет будет равен: $$\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$$
Распишем площадь треугольника как половину произведения его катетов:$$\frac{1}{2}x*\sqrt{3}x=32\sqrt{3}\Leftrightarrow$$$$x^{2}=64\Leftrightarrow$$$$x=8$$, тогда гипотенуза составит $$2*8=16$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1900

Ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны $$\sqrt{15}$$ и 1. Най­ди­те синус наи­мень­ше­го угла этого тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 0,25
Скрыть

Найдем гипотенузу по теореме Пифагора: $$\sqrt{(\sqrt{15})^{2}+1^{2}}=4$$
Напротив меньшей стороны лежит меньший угол, то есть меньший угол лежит напротив катета, равного 1, тогда $$\sin \alpha=\frac{1}{4}=0,25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1899

Ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 35 и 120. Най­ди­те вы­со­ту, про­ве­ден­ную к ги­по­те­ну­зе.

Ответ: 33,6
Скрыть

Найдем гипотенузу треугольника по теореме Пифагора: $$\sqrt{35^{2}+120^{2}}=125$$
Высоту прямоугольного треугольника, опущенного из прямого угла можно выразить как: $$h=\frac{ab}{c}$$, где a,b - катеты, с - гипотенуза, тогда $$h=\frac{35*120}{125}=33,6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1898

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, BC = 20, $$\tan A=0,5$$. Най­ди­те AC.

Ответ: 40
Скрыть

Из определения тангенса угла: $$AC=\frac{BC}{tg A}=\frac{20}{0,5}=40$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1897

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, AC = 20, tgA = 0,5. Най­ди­те BC.

Ответ: 10
Скрыть

По определению тангенса: $$CB=AC*tg A=20*0,5=10$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1896

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, BC=12, $$\sin A=\frac{4}{11}$$.  Най­ди­те AB.

Ответ: 33
Скрыть

По определению синуса: $$AB=\frac{BC}{\sin A}=\frac{12}{\frac{4}{11}}=33$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1895

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, AC=15, $$\cos A=\frac{5}{7}$$. Най­ди­те AB.

Ответ: 21
Скрыть

По определению косинуса: $$AB=\frac{AC}{\cos A}=\frac{15}{\frac{5}{7}}=21$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 1894

Два ост­рых угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 4:5. Най­ди­те боль­ший ост­рый угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 50
Скрыть

Пусть меньший угол равен 4х, тогда больший - 5х. По свойству суммы острых углов прямоугольного треугольника: $$4x+5x=90\Leftrightarrow$$$$x=10$$, тогда больший угол $$5*10=50^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 827

Угол между бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ны­ми из вер­ши­ны пря­мо­го угла, равен 14°. Най­ди­те мень­ший угол этого тре­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

 

Ответ: 31
Аналоги к этому заданию:

Задание 826

Ост­рые углы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 24° и 66°. Най­ди­те угол между бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной, про­ве­ден­ны­ми из вер­ши­ны пря­мо­го угла. Ответ дайте в гра­ду­сах.

 

 

Ответ: 21
Аналоги к этому заданию:

Задание 825

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке угол между вы­со­той и ме­ди­а­ной, про­ве­ден­ны­ми из вер­ши­ны пря­мо­го угла, равен 40°. Най­ди­те боль­ший из ост­рых углов этого тре­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

 

Ответ: 65
Аналоги к этому заданию:

Задание 824

Ост­рые углы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 24° и 66°. Най­ди­те угол между вы­со­той и ме­ди­а­ной, про­ве­ден­ны­ми из вер­ши­ны пря­мо­го угла. Ответ дайте в гра­ду­сах.

 

Ответ: 42
Аналоги к этому заданию:

Задание 823

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке угол между вы­со­той и бис­сек­три­сой, про­ве­ден­ны­ми из вер­ши­ны пря­мо­го угла, равен 21°. Най­ди­те мень­ший угол дан­но­го тре­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

 

Ответ: 24
Аналоги к этому заданию:

Задание 822

Один из углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен 29°. Най­ди­те угол между вы­со­той и бис­сек­три­сой, про­ведёнными из вер­ши­ны пря­мо­го угла. Ответ дайте в гра­ду­сах.

 

Ответ: 16
Аналоги к этому заданию:

Задание 821

Най­ди­те ост­рый угол между бис­сек­три­са­ми ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

 

Ответ: 45
Аналоги к этому заданию:

Задание 820

Ост­рый угол пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равен 32°. Най­ди­те ост­рый угол, об­ра­зо­ван­ный бис­сек­три­са­ми этого и пря­мо­го углов тре­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 61
Аналоги к этому заданию:

Задание 819

В тре­уголь­ни­ке ABC угол ACB равен 90°, угол B равен 58°, CD — ме­ди­а­на. Най­ди­те угол ACD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 32
Аналоги к этому заданию:

Задание 818

Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 24. Один из его ка­те­тов на 2 боль­ше дру­го­го. Най­ди­те мень­ший катет.

 

Ответ: 6
Аналоги к этому заданию:

Задание 817

Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, если его катет и ги­по­те­ну­за равны со­от­вет­ствен­но 6 и 10.

 

Ответ: 24
Аналоги к этому заданию:

Задание 816

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, CH – вы­со­та, AH = 12,  $$\cos A=\frac{2}{3}$$. Най­ди­те AB.

 

Ответ: 27
Аналоги к этому заданию:

Задание 815

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, CH – вы­со­та, BH = 12,  $$\sin A=\frac{2}{3}$$. Най­ди­те AB.

 

Ответ: 27
Аналоги к этому заданию:

Задание 814

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, вы­со­та CH равна 8, BH = 4. Най­ди­те  tg A .

 

Ответ: 0,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 813

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, вы­со­та CH равна 7BH = 24. Най­ди­те  cos A .

 

Ответ: 0,28
Аналоги к этому заданию:

Задание 812

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, вы­со­та CH равна 24, BH = 7. Най­ди­те  cos A .

 

Ответ: 0,28
Аналоги к этому заданию:

Задание 811

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, вы­со­та CH равна 4,  $$BC=\sqrt{17}$$. Най­ди­те  tg A .

 

Ответ: 0,25
Аналоги к этому заданию:

Задание 810

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, вы­со­та CH равна 4, BC = 8. Най­ди­те  cos A .

 

Ответ: 0,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 809

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, вы­со­та CH равна 20, BC = 25. Най­ди­те  sin A .

 

Ответ: 0.6
Аналоги к этому заданию:

Задание 808

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, CH – вы­со­та,  $$BC=4\sqrt{5}$$, BH = 4. Най­ди­те  tg A .

 

Ответ: 0,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 807

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, CH — вы­со­та, BC = 25, BH = 20. Най­ди­те  cos A .

 

Ответ: 0,6
Аналоги к этому заданию:

Задание 806

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, CH – вы­со­та, AC = 3,  $$\cos A=\frac{1}{6}$$. Най­ди­те BH.

 

Ответ: 17,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 805

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, CH  — вы­со­та, BC = 8, BH = 4. Най­ди­те  sin A .

 

Ответ: 0,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 804

В тре­уголь­ни­ке АВС угол С равен 90°, BC = 8,  $$\cos A=0,5$$ . Най­ди­те СН.

 

Ответ: 4
Аналоги к этому заданию:

Задание 803

В тре­уголь­ни­ке АВС угол С равен 90°, СН — вы­со­та, BC = 5 ,  $$\cos A=\frac{7}{25}$$. Най­ди­те ВН.

 

Ответ: 4.8
Аналоги к этому заданию:

Задание 802

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, СН — вы­со­та, BC = 3,  $$\cos A=\frac{\sqrt{35}}{6}$$. Най­ди­те АН.

 

Ответ: 17,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 801

В тре­уголь­ни­ке АВС угол С равен 90°, BC = 5,  $$\sin A=\frac{7}{25}$$. Най­ди­те вы­со­ту СН.

 

Ответ: 4,8
Аналоги к этому заданию:

Задание 800

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, CH — вы­со­та, BC  = 8,  $$\sin A=0,5$$. Най­ди­те BH.

 

Ответ: 4
Аналоги к этому заданию:

Задание 799

В тре­уголь­ни­ке АВС угол С равен 90°, CH — вы­со­та, BC = 3,  $$\sin A=\frac{1}{6}$$. Най­ди­те АН.

 

Ответ: 17,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 798

В тре­уголь­ни­ке ABC угол равен 90°, AB = 13,  $$\tan A=\frac{1}{5}$$. Най­ди­те вы­со­ту CH.

 

Ответ: 2,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 797

В тре­уголь­ни­ке АВС угол С равен 90°, СН — вы­со­та, AB = 13,  $$\tan A=5$$. Най­ди­те ВН.

 

Ответ: 12,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 796

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, CH – вы­со­та, AB = 13,  $$\tan A=\frac{1}{5}$$. Най­ди­те AH

 

Ответ: 12,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 795

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, AC = 24, BC = 7. Най­ди­те  sin A.

 

Ответ: 0,28
Аналоги к этому заданию:

Задание 793

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°,   $$\tan A=\frac{33}{4\sqrt{33}}$$, АС = 4. Най­ди­те АВ.

 

Ответ: 7
Аналоги к этому заданию:

Задание 791

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, AC = 2,  $$\sin A=\frac{\sqrt{17}}{17}$$ . Най­ди­те BC.

 

Ответ: 0,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 790

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, AC=4,8, $$\sin A=\frac{7}{25}$$. Най­ди­те AB.

 

Ответ: 5