ЕГЭ (профиль) / (C7) Числа и их свойства

Написаны три различных натуральных числа. Затем написаны три различных попарных произведения этих чисел и произведение всех трех исходных чисел. Сумма полученных семи чисел оказалась равной 1514 .

В фирме имеется n отделов, в одном из которых работает 1/8 сотрудников, в другом ‐ 210 сотрудников, а численность каждого из оставшихся отделов составляет 1/9 от всей численности сотрудников фирмы.

Последовательность $$(a_{n})$$ состоит из 100 натуральных чисел. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое меньше предыдущего, либо больше его на 150.

Два натуральных числа a и b таковы, что если к десятичной записи числа приписать справа десятичную запись числа b, то получится число, большее произведения a и b на 32.

На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник размера $$m\times n$$ клеток и проведена его диагональ. Все вершины прямоугольника лежат в узлах сетки и стороны прямоугольника не пересекают клетки.

В течение дня посетители приходили к кассиру, желая произвести различные платежи (сумма любого платежа – четное число рублей). Каждый протягивал купюру номиналом 5000 рублей. Кассир выдавал сдачу, имея только 300 монет по 10 рублей и 500 монет по 2 рубля. По итогам дня все монеты оказались потраченными на сдачу.

За круглым столом сидели 110 человек, а на столе лежали абрикосы. Для каждой пары соседей число съеденных ими абрикосов отличается на 3.

Имеются два многочлена от целочисленной переменной x :

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$$ от целочисленной переменной x , определенную для тех значений x , для которых $$q(x)\neq 0$$

В ячейках таблицы 5 на 9 расставлены натуральные числа, среди которых ровно 33 нечетных. Александра рассматривает пары соседних ячеек, имеющих общую сторону. Если произведение чисел в паре четно, наша героиня считает такую пару зачетной.

В рамках проекта ежегодной аттестации учителей начальных классов, в котором приняли участие два города А и В, 51 учитель написал тест. Известно, что из каждого города тест написали хотя бы два учителя, причем каждый набрал целое положительное количество баллов, а после предварительных подсчетов средний балл в каждом городе оказался целым числом. Затем один из учителей, писавших тест, переехал из города А в город В, и средние баллы по городам пришлось пересчитать.

Набор состоит из сорока пяти целых положительных чисел, среди которых есть числа 6, 7, 8. Среднее арифметическое любых тридцати пяти чисел этого набора меньше 2.

На доске выписаны все натуральные числа от 1 до 2014 без пропусков и повторений: 1, 2, 3, …, 2013, 2014. С выписанными на доске числами проделывают следующие операции: выбирают какие‐либо два числа и записывают на доске модуль их разности, увеличенный на 1, а сами выбранные числа стирают. Так продолжают до тех пор, пока на доске не останется только одно число.

На доске написано 38 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 5. Сумма написанных чисел равна 1255.

Натуральное число $$A$$ таково, что, если его первую цифру переставить на последнее место, получится число, в $$n>1$$ раз меньше числа $$A$$.

а) Существует ли двухзначное число $$A$$, удовлетворяющее указанным условиям?

б) Найдите наименьшее число $$A$$, удовлетворяющее указанным условиям, если $$n=5$$, а число $$A$$ начинается с цифры 7. в) Приведите пример числа, которое при перестановке его первой цифры на последнее место увеличивается в 3 раза.

Имеется прямоугольная таблица размером $$M\times N$$, заполненная числами 0 и 1, обладающая следующими свойствами. Во-первых, в каждой строке и в каждом столбце есть хотя бы один элемент, равный 1. Во-вторых, нет ни одной пары одинаковых строк, а также ни одной пары одинаковых столбцов. Таблицы, обладающие этими свойствами, назовем «хорошими».

Две таблицы назовем эквивалентными в том (и только в том) случае, если из одной из них можно получить другую путем перестановки строк и/или столбцов. Приведем пример двух эквивалентных таблиц размером $$3\times 3$$.

Вторая таблица получается из первой сначала перестановкой в ней 1-й и 3-й строк, потом 2-го и 3-го столбца в полученной таблице, а затем 1-й и 2-й строки в последней полученной таблице.

а) Сколько существует различных попарно неэквивалентных «хороших» таблиц размером $$2\times 3$$?

б) Укажите количество всех таблиц, эквивалентных «хорошей» таблице

в) Какое максимальное число столбцов может быть в «хорошей» таблице, содержащей М строк?