ЕГЭ Профиль
Задание 7024
A) Все числа, что при возведении в квадрат имеют аналогичную цифру в единицах , как и первоначальное оканчиваются на 0,1,5 или 6 ($$0^{2}=0$$ ;$$1^{2}=1$$; $$5^{2}=25$$; $$6^{2}=36$$). Возьмем число 25: $$25^{2}=625\Rightarrow$$ подходит
Б) Самый простой способ рассмотреть двузначное числа, оканчивающиеся на 1: $$11^{2}=121$$; $$21^{2}=441$$; $$31^{2}=961$$; $$41^{2}=1681$$; $$51^{2}=2601$$; $$61^{2}=3721$$; $$71^{2}=5041$$; $$81^{2}=6561$$; $$91^{2}=8281$$. Видим , что не может .
B) Пусть дано трёхзначное число x. При возведении такого числа в квадрат мы получим числа 4х, 5-ти или 6-ти значимые . Следовательно, чтобы данное $$x^{2}$$ оканчивалось на x должно выполняться условие: $$x^{2}-1000K=x$$, где $$K \in N$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-x=1000K\Leftrightarrow$$ $$x(x-1)=2^{3}*5^{3}K$$
Следовательно, x и x-1 числа последовательные натуральные, одно из них четное, второе –нет . При этом одно из них вида $$2^{3}*m$$, второе $$5^{3}*n$$, где m и n -делители $$K$$ ($$K_{max }=998$$). Рассмотрим 1 случай: $$x=2^{3}m$$, тогда $$x-1=2^{3}m-1$$ и оно трехзначное кратное 125:
Т.е. одно число равно 376. Рассмотрим 2-ой случай : $$x=5^{3} *n \Rightarrow$$ $$x-1=5^{3} *n-1$$, и оно трехзначное , кратное 8 :
Четыре n не рассматриваем, т.к. x-1 нечетно и не кратно 8 . Получим 2 числа: 376 и 625.
Задание 7044
В последовательности 19752... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли в этой последовательности:
А) Рассмотрим последовательность: 19752.. Сначала идет сумма 4 нечетных , что даст четное. Затем получим 19752d , где d –нечетное (т.к. получается из суммы трех нечетных (9,7,5) и четного) Далее , аналогично , из 19752defgh, цифры e,f,g-нечетные и h-четные . Т.е. будет всегда на 4 нечетных и 1 четное , тогда 1234 и 3269 не получается никак.
Б) Докажем, что четверка цифр однозначно и единственно определяет последующее и предыдущее . Пусть дано a b c d. Допустим, что не определяет, тогда есть числа m и n такие, что $$\frac{m+a+b+c}{10}$$ и $$\frac{n+a+b+c}{10}$$ в остатке даст d. Тогда $$m-n$$ кратно 10 , но m и n цифры от 0 до 9 и не могут в разности быть кратны 10. Значит доказано. Но последовательность вида a b c d не могут быть больше 10^{4} (каждая цифра от 0 до 9 - 10 штук и всего их 4), то есть они могут повториться в силу единственности определения последующего $$\Rightarrow$$ 1975 снова появится.
В) Раз 1975 снова появятся , то перед ним однозначно будет 8, т.к. $$\frac{8+1+9+7}{10}$$ в остатке дает 5.
Задание 7065
16 учеников пишут контрольную работу, составленную в нескольких вариантах. Их рабочие места расположены в виде квадрата 4х4. Будем называть пару учеников «подозрительной», если они сидят на соседних (по вертикали, горизонтали или диагонали) местах и пишут один и тот же вариант. (Ученик может входить в несколько «подозрительных» пар).
19) A) Да, возможно, например:
Б) Нет, т.к. в квадрате размерностью 2*2 однозначно попадает минимум 1 подозрительная пара:
В) Из Б следует, что в квадрате 4*4 мы можем расположить минимум 5 квадратов 2 *2 $$\Rightarrow$$ минимум 5 подозрительных пар:
Например:
Задание 7112
Задано число от 1 до n. За один ход можно выбрать произвольное подмножество множества чисел от 1 до n и спросить, принадлежит ли ему заданное число. При ответе «да» будет начислено a баллов, при ответе «нет» – b баллов.
Задание 7185
Пусть $$n=100a+10b+c$$, где $$a \in [1; 9]\in N, b,c \in [0; 9]\in Z$$
A) $$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{100a+10b+c}>1\Rightarrow$$ $$a^{2}+b^{2}+c^{2}>100a+10b+c\Rightarrow$$ $$a^{2}-100a+b^{2}-10b+c^{2}-c>0\Leftrightarrow$$ $$(a-50)^{2}-2500+(b-5)^{2}-25+(c-\frac{1}{2})^{2}-0,25>0\Leftrightarrow$$ $$(a-50)^{2}+(b-5)^{2}+(c-\frac{1}{2})^{2}>2525,25$$
$$(a-50)^{2}=(1-50)^{2}=49^{2}=2401$$. При этом $$max(b-5)^{2}=max(0-5)^{2}=25$$; $$max(c-\frac{1}{2})^{2}=72,25$$. При этом сумма этих максимальных значений : $$2401+25+72,25=2498,25$$, что меньше , чем $$2525,25$$ $$\Rightarrow$$ не может
Б) Аналогично п.А : может , например 199: $$\frac{1^{2}+9^{2}+9^{2}}{199}>\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$\frac{163}{199}>\frac{1}{2}$$
B) Рассмотрим $$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{100a+10b+c}\rightarrow max$$. Очевидно , что a=1 (иначе в знаменателе прибавится сотня),а c=9 $$\Rightarrow$$ $$\frac{^{2}+b^{2}+9^{2}}{100+10b+9}=\frac{82+b^{2}}{109+10b}\rightarrow max$$
Найдем производную: $$\frac{(82+b^{2})^{'}(109+10b)-(109+10b)^{'}(82+b^{2})}{(109+10b)^{2}}=$$$$\frac{2b(109+10b)-10(82+b^{2})}{(109+10b)^{2}}=$$$$\frac{10b^{2}+218b-820}{(109+10b)^{2}}=0\Leftrightarrow$$ $$5b^{2}+114b-410=0$$: $$D=20081\approx 141\Rightarrow$$ $$b_{1}=\frac{-114+141}{2*5}=2,7$$; $$b_{2}=\frac{-114-141}{10}=-25,5\rightarrow$$ 2,7-точка минимума $$\Rightarrow$$ $$\frac{82+b^{2}}{109+10b}\rightarrow$$ $$max$$ при $$b=0$$ или при $$b=9$$:
- $$b=0$$: $$\frac{82+0^{2}}{109+10*0}=\frac{82}{109}$$;
- $$b=9$$ :$$\frac{82+9^{2}}{109+10*9}=\frac{163}{199}$$;
$$\frac{163}{199}>\frac{82}{109}\Rightarrow$$ максимальное значение $$\frac{163}{199}$$
Задание 7205
Пусть дано число $$100a+10b+c$$ ,где $$a \in [1; 9] \in N$$ ; $$b,c \in [0;9] \in Z$$. Тогда мы получим разность $$f=100a-a^{3}+10b-b^{3}+c-c^{3}=$$$$g(a)+g(b)+g(c)$$
A) Рассмотрим п отдельности части f:
1) $$g(a)=100a-a^{3}\Rightarrow$$ $$g^{'}(a)=100-3a^{2}\Rightarrow$$ $$a=\sqrt{\frac{100}{3}}\approx 5,7$$ (с учетом , что $$a\geq 1$$)$$\Rightarrow$$ $$g_{max}(a)=g(5)$$ или $$g_{max}=g(6)$$
2) Аналогично, $$g^{'}(b)=10-3b^{2}\Rightarrow$$ $$b=\sqrt{\frac{10}{3}}\approx 1,8$$ - точка максимума $$\Rightarrow$$ $$g_{max}(b)=g(1)$$ или $$g_{max}(b)=2$$
3) $$g^{'}(c)=1-3c^{2}\Rightarrow$$ $$c=\sqrt{\frac{1}{3}}\Rightarrow$$ $$g_{max}(c)=g(0)$$ или $$g_{max}(c)=g(1)$$
Когда число 620 или 621 и $$f=396$$
Б) Для чисел 620 и 621.
B) С учетом п.А получим, что $$g_{min }(a)=g(1)$$ или $$g(9)$$ (т.к. точка максимума на промежутке [1 ; 9], следовательно, минимальное значение на концах:
Аналогично, $$g_{min}(b)=g(0)$$ или $$g(9)$$:
Аналогично, $$g_{min}(c)=g(0)$$или $$g(9)$$:
Тогда $$f_{min}=99-639-720=-1260$$
Задание 7226
Для членов последовательности a1,a2,...,a10 целых чисел при всех натуральных $$k\leq 8$$ выполняется неравенство ak+ak+2>2ak+1
A) т.к. $$a_{k}+a_{k+2}>2a_{k+1}\Leftrightarrow$$ $$a_{k}-a_{k+1}>a_{k+1}-a_{k}(*)$$ Пусть $$a_{10}=0$$, рассмотрим убывающую последовательность . Т.к. все числа целые и с учетом (*) получаем , что разность смежных меняется на 1. Например: $$a_{10}=0; a_{9}=1$$$$\Rightarrow$$ $$a_{9}-a_{10}=1$$$$\Rightarrow$$ $$a_{8}-a_{9}=2$$; $$min (a_{7} -a_{8})=3$$ и т.д. Получим : 45;36;28;21;15;10;6;3;1;0 , следовательно , может.
Б) Пусть разница между 1-ым и 2-м членами последовательности равна $$x_{1}$$, между 2-ым и 3-ым - $$x_{2}$$ и т .д. С учетом (*) получим $$x_{1}>+x_{2}...>x_{9}(**)$$ При этом $$x_{1}, ,,, x_{9}\in Z$$. Выразим $$a_{1}$$ и $$a_{7}$$ через $$a_{10}$$ и разницы ($$x_{1}...x_{9}$$):
$$a_{1}=a_{10}+(x_{1}+x_{2}+..+x_{9})=a_{10}+\sum_{i=1}^{9} x_{i}$$
$$a_{7}=a_{10}+(x_{9}+x_{8}+x_{7})=a_{10}+\sum_{i=7}^{9} x_{i}$$
Тогда $$a_{10}+\sum_{i=1}^{9} x_{i}+a_{10}=2(a_{10}+\sum_{i=1}^{9})\Leftrightarrow$$ $$x_{1}+x_{2}+..+x_{6}=x_{7}+x_{8}+x_{9}$$
С учетом (**) : $$x_{1}+x_{2}+..+x_{6}>x_{7}+x_{8}+x_{9}\Rightarrow$$ не может быть
B) Аналогично (Б) представим все через разности и $$a_{10}$$:
$$a_{1}=a_{10}+\sum_{i=1}^{9} x_{i}$$; $$a_{5}=a_{10}+\sum_{i=5}^{9} x_{i}$$; $$a_{6}=a_{10}+\sum_{i=6}^{9} x_{i}$$.
Тогда получим : $$a_{10}+\sum_{i=1}^{9} x_{i}-a_{10}+\sum_{i=5}^{9}x_{i}-a_{10}+\sum_{i=6}^{9} x_{i}-a_{10}=$$$$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}-(x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9})$$
Необходима минимальная разность между членами $$\Rightarrow$$ $$x_{8}=x_{9}+1$$; $$x_{7}=x_{8}+1=x_{9}+2$$ и $$x_{1}=x_{9}+8$$
Тогда получим : $$x_{9}+8+x_{9}+7+x_{9}+6+x_{9}+5-(x_{9}+3+x_{9}+2+x_{9}+1+x_{9})=$$$$5*4=20$$
Задание 7328
Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три непустые группы. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).
A) да могут, например 1-ая группа 2-ая группа 4;6 $$\Rightarrow$$ среднее арифметическое равно 5.
Б) Учтем, что сумма всех чисел 61. Пусть группа составляет из x,y,z элементов ($$x,y,z, \in N$$ ) , тогда $$x+y+z=10$$. Пусть среднее арифметическое для них равно k ,тогда $$kx+ky+kz=61\Rightarrow$$ $$k(x+y+z)=61\Leftrightarrow$$ $$10k=61\Rightarrow$$ $$k=6,1$$. Но тогда $$6,1x$$ - целое число(т.к. это сумма целх чисел) $$\Rightarrow$$ x кратно 10, но при этом $$x\leq 8$$, т.к. в двух остальных группах минимум 1 число $$\Rightarrow$$ не может.
B) Рассмотрим разбиение (6) ; (3;9) ; (1;2;4;5;7;8;16) .Среднее арифметическое для первых двух групп равно 6, для третьей $$\frac{43}{7}$$. Очевидно, что среднее арифметическое одной из групп больше 6 , иначе бы сумма всех чисел не превосходила бы 60. Тогда не меньше $$6k+1$$ для к чисел , и среднее арифметическое для нее не меньше , чем $$\frac{6k+1}{k}=6+\frac{1}{k}$$. Чем меньше $$\frac{1}{k}$$ , тем больше k. Минимальное количество чисел в двух других группах равно 2. Если одно из чисел больше или равно 7 , то $$\frac{43}{7}<7$$ , следовательно, не рассматриваем (т.к. нужно минимальное среднее).Иначе меньше или равно 5 , тогда среднее арифметическое для оставшихся $$\frac{(61-(5+6))}{8}=\frac{50}{8}$$ больше или равно $$\frac{50}{8}$$ , но $$\frac{50}{8}>\frac{43}{7}$$, не подходит . При $$k\leq 7$$ же среднее арифметическое больше или равно $$\frac{43}{7}\Rightarrow$$ минимум $$\frac{43}{7}$$
Задание 7370
На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо нескольких (возможно, одного) из чисел на доске написали числа, меньшие первоначальных на 1. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.
Задание 7417
Ученики писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 83 баллов. Из‐за того, что задания оказались трудными, всем участникам теста добавили по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
А) Да. Например, не сдали два человека, их баллы 0 и 82, т.е. среднее арифметическое: $$\frac{0+82}{2}=41$$. После повышения на пять балов один из них сдал, остался один с 5 баллами, то есть новое среднее арифметическое составляет 5.
Б) Да. Например, не сдало два человека с баллами 0 и 79, сдал один, и его балл 200. Тогда среднее арифметическое для не сдавших составит 39,5, для сдавших 200. После повышения среднее арифметичекое не сдавших будет 5, а сдавших 144,5
В) Пусть изначально было Х сдавших, У - не сдавших, тогда сумма баллов славших 100х, не сдавших 75у. Пусть Z сдали после повышения на 5 баллов, и их начальная сумма составляла N. Тогда:
$$\left\{\begin{matrix}\frac{100x+75y}{x+y}=90\\\frac{100x+5(x+z)+N}{x+z}=103\\\frac{75y+5(y-z)-N}{y-z}=79\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2x=3y\\2x+N=98x\\y-N=-74z\end{matrix}\right.$$
Сложим 2 и 3 уравнения: $$2x+y=24z$$, подставим из 1: $$3y+y=24z\rightarrow$$$$y=6z;x=9z$$. Так как минимальное z составляет 1 (иначе бы изменения среднего было на 5 баллов), то y=6 и x=9. То есть всего было 15 человек минимум
Задание 7427
Склад имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длины ребер которого выражаются целыми числами. Этот склад заполняют контейнерами размером 1x1x3. При этом контейнеры можно располагать как угодно, но их грани должны быть параллельны граням склада.
Задание 7446
Задание 7519
Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три непустые группы. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).
а) Пусть группы будут, например, такими: 1) 2; 2) 1, 3; 3) 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16. Тогда среднее арифметическое в первых двух группах равно 2.
б) Пусть среднее арифметическое в каждой группе равно x. Тогда сумма всех чисел равна количеству чисел, умноженному на x, значит, $$x=(1+2+3+...+9+16):10=\frac{61}{10}$$ . Таким образом, среднее арифметическое в каждой группе равно $$\frac{61}{10}$$ , но это значит, что количество чисел в каждой группе не меньше 10, но этого не может быть.
в) Среднее арифметическое всех данных чисел равно $$6\frac{1}{10}$$ . В пункте б) мы выяснили, что при разбиении чисел на три группы такое среднее в группах получить невозможно. Ясно, что возможные средние это рациональные числа со знаменателем меньшим или равным количеству чисел в группе. Максимальное количество чисел в одной группе равно 8, поэтому среднее арифметическое $$6\frac{1}{9}$$ получить тоже нельзя. Покажем, что среднее 6 дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби тоже не получится. Действительно, если группа состоит из 8 чисел со средним $$6\frac{1}{8}$$ , то сумма чисел в этой группе равна 49. Тогда сумма двух оставшихся чисел равна 12. Это могут быть пары чисел 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7. Все они не подходят, одно из средних будет больше, чем $$6\frac{1}{8}$$ .
Приведем теперь пример для наибольшего из средних равного $$6\frac{1}{7}$$ . Разобьем наши числа на такие три группы: 1) 6; 2) 5, 7; 3) 1, 2, 3, 4, 8, 9, 16. Их средние арифметические будут равны соответственно $$6;6;6\frac{1}{7}$$.
Задание 7566
Известно, что все члены арифметической прогрессии an являются различными натуральными числами и что ее второй член в 8 раз больше первого.
Задание 7641
Бесконечная арифметическая прогрессия $$a_{1},a_{2},...,a_{n}$$ состоит из различных натуральных чисел. Пусть $$S_{1}=a_{1}$$, $$S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$$ при всех натуральных $$n\geq 2$$.