Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

ЕГЭ (профиль) / (C7) Числа и их свойства

 

Задание 7024

А) Приведите пример такого двухзначного числа A, что последние цифры числа A2 составляют число А.
Б) Может ли такое двухзначное число А заканчиваться на 1?
В) Найдите все такие трёхзначные числа A, что последние три цифры числа A2 составляют число А.
Ответ: 25;нет;376 и 625.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) Все числа, что при возведении в квадрат имеют аналогичную цифру в единицах , как и первоначальное оканчиваются на 0,1,5 или 6 ($$0^{2}=0$$ ;$$1^{2}=1$$; $$5^{2}=25$$; $$6^{2}=36$$). Возьмем число 25: $$25^{2}=625\Rightarrow$$ подходит

     Б) Самый простой способ рассмотреть двузначное числа, оканчивающиеся на 1: $$11^{2}=121$$; $$21^{2}=441$$; $$31^{2}=961$$; $$41^{2}=1681$$; $$51^{2}=2601$$; $$61^{2}=3721$$; $$71^{2}=5041$$; $$81^{2}=6561$$; $$91^{2}=8281$$. Видим , что не может .

     B) Пусть дано трёхзначное число x. При возведении такого числа в квадрат мы получим числа 4х, 5-ти или 6-ти значимые . Следовательно, чтобы данное $$x^{2}$$ оканчивалось на x должно выполняться условие: $$x^{2}-1000K=x$$, где $$K \in N$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-x=1000K\Leftrightarrow$$ $$x(x-1)=2^{3}*5^{3}K$$

     Следовательно, x и x-1 числа последовательные натуральные, одно из них четное, второе –нет . При этом одно из них вида $$2^{3}*m$$, второе $$5^{3}*n$$, где m и n -делители $$K$$ ($$K_{max }=998$$). Рассмотрим 1 случай: $$x=2^{3}m$$, тогда $$x-1=2^{3}m-1$$ и оно трехзначное кратное 125:

$$2^{3}m-1=125\Rightarrow$$ $$2^{3}m=126\Rightarrow m \notin N$$
$$2^{3}m-1=250\Rightarrow$$ $$2^{3}m=251\Rightarrow m \notin N$$
$$2^{3}m-1=375\Rightarrow$$ $$2^{3}m=376\Rightarrow m =47$$
$$2^{3}m-1=500\Rightarrow$$ $$^{3}m=501\Rightarrow m \notin N$$
$$2^{3}m-1=625 \Rightarrow$$ $$2^{3}m=626 \Rightarrow m \notin N$$
$$2^{3}m-1=750\Rightarrow$$ $$2^{3}m=751\Rightarrow m \notin N$$
$$2^{3}m-1=875\Rightarrow$$ $$2^{3}m=876\Rightarrow m \notin N$$

     Т.е. одно число равно 376. Рассмотрим 2-ой случай : $$x=5^{3} *n \Rightarrow$$ $$x-1=5^{3} *n-1$$, и оно трехзначное , кратное 8 :

$$n=1 \Rightarrow x-1=124$$,не кратно 8
$$n=2\Rightarrow x-1=249$$, не кратное 8
$$n=3 \Rightarrow x-1=374$$, не кратно 8
$$n=5 \Rightarrow x-1=624$$ $$\Rightarrow$$ кратно 8 $$\Rightarrow$$ $$x =625$$
$$n=7 \Rightarrow$$ $$x-1=724$$ , не кратно 8
$$n=9 \Rightarrow$$ $$x-1>100$$

     Четыре n не рассматриваем, т.к. x-1 нечетно и не кратно 8 . Получим 2 числа: 376 и 625.

 

Задание 7044

В последовательности 19752... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли в этой последовательности:

а) набор цифр 1234; 3269;
б) вторично набор 1975;
в) набор 8197?
Ответ: нет, да, да
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

        А) Рассмотрим последовательность: 19752.. Сначала идет сумма 4 нечетных , что даст четное. Затем получим 19752d , где d –нечетное (т.к. получается из суммы трех нечетных (9,7,5) и четного) Далее , аналогично , из 19752defgh, цифры e,f,g-нечетные и h-четные . Т.е. будет всегда на 4 нечетных и 1 четное , тогда 1234 и 3269 не получается никак.

        Б) Докажем, что четверка цифр однозначно и единственно определяет последующее и предыдущее . Пусть дано a b c d. Допустим, что не определяет, тогда есть числа m и n такие, что $$\frac{m+a+b+c}{10}$$ и $$\frac{n+a+b+c}{10}$$ в остатке даст d. Тогда $$m-n$$ кратно 10 , но m и n цифры от 0 до 9 и не могут в разности быть кратны 10. Значит доказано. Но последовательность вида a b c d не могут быть больше 10^{4} (каждая цифра от 0 до 9 - 10 штук и всего их 4), то есть они могут повториться в силу единственности определения последующего $$\Rightarrow$$ 1975 снова появится.

         В) Раз 1975 снова появятся , то перед ним однозначно будет 8, т.к. $$\frac{8+1+9+7}{10}$$ в остатке дает 5.

 

Задание 7065

16 учеников пишут контрольную работу, составленную в нескольких вариантах. Их рабочие места расположены в виде квадрата 4х4. Будем называть пару учеников «подозрительной», если они сидят на соседних (по вертикали, горизонтали или диагонали) местах и пишут один и тот же вариант. (Ученик может входить в несколько «подозрительных» пар).

А) Может ли не оказаться ни одной «подозрительной» пары, если имеется 4 варианта контрольной работы?
Б) Может ли не оказаться ни одной «подозрительной» пары, если имеется 3 варианта контрольной работы?
В) Найдите наименьшее возможное количество «подозрительных» пар, если имеется 3 варианта контрольной работы.
Ответ: да,нет,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

19) A) Да, возможно, например:

Б) Нет, т.к. в квадрате размерностью 2*2 однозначно попадает минимум 1 подозрительная пара:

В) Из Б следует, что в квадрате 4*4 мы можем расположить минимум 5 квадратов 2 *2 $$\Rightarrow$$ минимум 5 подозрительных пар:

Например:

 

Задание 7112

Задано число от 1 до n. За один ход можно выбрать произвольное подмножество множества чисел от 1 до n и спросить, принадлежит ли ему заданное число. При ответе «да» будет начислено a баллов, при ответе «нет» – b баллов.

а) Можно ли наверняка угадать число, получив не менее 16 и не более 21 баллов, если $$a=3, b=1, n=128$$ 
б) Может ли n быть равным 144, если известно, что число можно наверняка угадать, получив не менее 11 баллов, и при этом $$a=2, 1\leq b\leq 4$$ ?
в) Какую наименьшую сумму баллов можно получить, чтобы наверняка угадать число, если $$a=3,b=1, 128\leq n\leq 170$$ ?
Ответ: а) да; б) нет; в) 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7185

Пусть n ‐ трехзначное число, а f (n) ‐ сумма квадратов его цифр 
А) Существует ли такое, что $$\frac{f(n)}{n}>1$$ ?
Б) Существует ли такое n, что $$\frac{f(n)}{n}>\frac{1}{2}$$?
В) Найдите наибольшее возможное значение отношения $$\frac{f(n)}{n}$$.
Ответ: нет, да, $$\frac{163}{199}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$n=100a+10b+c$$, где $$a \in [1; 9]\in N, b,c \in [0; 9]\in Z$$

     A) $$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{100a+10b+c}>1\Rightarrow$$ $$a^{2}+b^{2}+c^{2}>100a+10b+c\Rightarrow$$ $$a^{2}-100a+b^{2}-10b+c^{2}-c>0\Leftrightarrow$$ $$(a-50)^{2}-2500+(b-5)^{2}-25+(c-\frac{1}{2})^{2}-0,25>0\Leftrightarrow$$ $$(a-50)^{2}+(b-5)^{2}+(c-\frac{1}{2})^{2}>2525,25$$

   $$(a-50)^{2}=(1-50)^{2}=49^{2}=2401$$. При этом $$max(b-5)^{2}=max(0-5)^{2}=25$$; $$max(c-\frac{1}{2})^{2}=72,25$$. При этом сумма этих максимальных значений : $$2401+25+72,25=2498,25$$, что меньше , чем $$2525,25$$ $$\Rightarrow$$ не может

     Б) Аналогично п.А : может , например 199: $$\frac{1^{2}+9^{2}+9^{2}}{199}>\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$\frac{163}{199}>\frac{1}{2}$$

     B) Рассмотрим $$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{100a+10b+c}\rightarrow max$$. Очевидно , что a=1 (иначе в знаменателе прибавится сотня),а c=9 $$\Rightarrow$$ $$\frac{^{2}+b^{2}+9^{2}}{100+10b+9}=\frac{82+b^{2}}{109+10b}\rightarrow max$$

     Найдем производную: $$\frac{(82+b^{2})^{'}(109+10b)-(109+10b)^{'}(82+b^{2})}{(109+10b)^{2}}=$$$$\frac{2b(109+10b)-10(82+b^{2})}{(109+10b)^{2}}=$$$$\frac{10b^{2}+218b-820}{(109+10b)^{2}}=0\Leftrightarrow$$ $$5b^{2}+114b-410=0$$: $$D=20081\approx 141\Rightarrow$$ $$b_{1}=\frac{-114+141}{2*5}=2,7$$; $$b_{2}=\frac{-114-141}{10}=-25,5\rightarrow$$ 2,7-точка минимума $$\Rightarrow$$ $$\frac{82+b^{2}}{109+10b}\rightarrow$$ $$max$$ при $$b=0$$ или при $$b=9$$:

  • $$b=0$$: $$\frac{82+0^{2}}{109+10*0}=\frac{82}{109}$$;
  • $$b=9$$ :$$\frac{82+9^{2}}{109+10*9}=\frac{163}{199}$$;

$$\frac{163}{199}>\frac{82}{109}\Rightarrow$$ максимальное значение $$\frac{163}{199}$$

 

Задание 7205

А) Чему равно максимальное значение разности трёхзначного числа и суммы кубов его цифр?
Б) Для какого числа оно достигается?
В) Чему равно минимальное значение этой разности?
Ответ: 396; 620 и 621; -1260
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Пусть дано число $$100a+10b+c$$ ,где $$a \in [1; 9] \in N$$ ; $$b,c \in [0;9] \in Z$$. Тогда мы получим разность $$f=100a-a^{3}+10b-b^{3}+c-c^{3}=$$$$g(a)+g(b)+g(c)$$

     A) Рассмотрим п отдельности части f:

   1) $$g(a)=100a-a^{3}\Rightarrow$$ $$g^{'}(a)=100-3a^{2}\Rightarrow$$ $$a=\sqrt{\frac{100}{3}}\approx 5,7$$ (с учетом , что $$a\geq 1$$)$$\Rightarrow$$ $$g_{max}(a)=g(5)$$ или $$g_{max}=g(6)$$

$$g(5)=500-125=375$$
$$g(6)=600-216=384\Rightarrow a=6$$

   2) Аналогично, $$g^{'}(b)=10-3b^{2}\Rightarrow$$ $$b=\sqrt{\frac{10}{3}}\approx 1,8$$ - точка максимума $$\Rightarrow$$ $$g_{max}(b)=g(1)$$ или $$g_{max}(b)=2$$

$$g(1)=10-1=9$$
$$g(2)=20-8=12\Rightarrow b=2$$

   3) $$g^{'}(c)=1-3c^{2}\Rightarrow$$ $$c=\sqrt{\frac{1}{3}}\Rightarrow$$ $$g_{max}(c)=g(0)$$ или $$g_{max}(c)=g(1)$$

$$g(0)=0-0=0$$
$$g(1)=1-1=0$$

   Когда число 620 или 621 и $$f=396$$

     Б) Для чисел 620 и 621.

     B) С учетом п.А получим, что $$g_{min }(a)=g(1)$$ или $$g(9)$$ (т.к. точка максимума на промежутке [1 ; 9], следовательно, минимальное значение на концах:

$$g(1)=100-1=99$$
$$g(9)=900-9^{3}=171\Rightarrow g_{min}(a)=99$$

   Аналогично, $$g_{min}(b)=g(0)$$ или $$g(9)$$:

$$g(0)=0-0=0$$;
$$g(9)=90-9^{3}=-639$$

   Аналогично, $$g_{min}(c)=g(0)$$или $$g(9)$$:

$$g(0)=0$$ ;
$$g(9)=9-9^{3}=-720$$

   Тогда $$f_{min}=99-639-720=-1260$$

 

 

Задание 7226

Для членов последовательности a1,a2,...,a10 целых чисел при всех натуральных $$k\leq 8$$ выполняется неравенство ak+ak+2>2ak+1

А) Может ли в такой последовательности выполняться равенство a10=0 ?
Б) Может ли в такой последовательности выполняться равенство a1+a10=2a7 ?
В) Какое наименьшее значение может принимать выражение a1-a5-a6+a10 ?
Ответ: да, нет, 20
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) т.к. $$a_{k}+a_{k+2}>2a_{k+1}\Leftrightarrow$$ $$a_{k}-a_{k+1}>a_{k+1}-a_{k}(*)$$ Пусть $$a_{10}=0$$, рассмотрим убывающую последовательность . Т.к. все числа целые и с учетом (*) получаем , что разность смежных меняется на 1. Например: $$a_{10}=0; a_{9}=1$$$$\Rightarrow$$ $$a_{9}-a_{10}=1$$$$\Rightarrow$$ $$a_{8}-a_{9}=2$$; $$min (a_{7} -a_{8})=3$$ и т.д. Получим : 45;36;28;21;15;10;6;3;1;0 , следовательно , может.

     Б) Пусть разница между 1-ым и 2-м членами последовательности равна $$x_{1}$$, между 2-ым и 3-ым - $$x_{2}$$ и т .д. С учетом (*) получим $$x_{1}>+x_{2}...>x_{9}(**)$$ При этом $$x_{1}, ,,, x_{9}\in Z$$. Выразим $$a_{1}$$ и $$a_{7}$$ через $$a_{10}$$ и разницы ($$x_{1}...x_{9}$$):

$$a_{1}=a_{10}+(x_{1}+x_{2}+..+x_{9})=a_{10}+\sum_{i=1}^{9} x_{i}$$

$$a_{7}=a_{10}+(x_{9}+x_{8}+x_{7})=a_{10}+\sum_{i=7}^{9} x_{i}$$

   Тогда $$a_{10}+\sum_{i=1}^{9} x_{i}+a_{10}=2(a_{10}+\sum_{i=1}^{9})\Leftrightarrow$$ $$x_{1}+x_{2}+..+x_{6}=x_{7}+x_{8}+x_{9}$$

   С учетом (**) : $$x_{1}+x_{2}+..+x_{6}>x_{7}+x_{8}+x_{9}\Rightarrow$$ не может быть

     B) Аналогично (Б) представим все через разности и $$a_{10}$$:

     $$a_{1}=a_{10}+\sum_{i=1}^{9} x_{i}$$;    $$a_{5}=a_{10}+\sum_{i=5}^{9} x_{i}$$;    $$a_{6}=a_{10}+\sum_{i=6}^{9} x_{i}$$.

     Тогда получим : $$a_{10}+\sum_{i=1}^{9} x_{i}-a_{10}+\sum_{i=5}^{9}x_{i}-a_{10}+\sum_{i=6}^{9} x_{i}-a_{10}=$$$$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}-(x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9})$$

     Необходима минимальная разность между членами $$\Rightarrow$$ $$x_{8}=x_{9}+1$$; $$x_{7}=x_{8}+1=x_{9}+2$$ и $$x_{1}=x_{9}+8$$

     Тогда получим : $$x_{9}+8+x_{9}+7+x_{9}+6+x_{9}+5-(x_{9}+3+x_{9}+2+x_{9}+1+x_{9})=$$$$5*4=20$$

 

Задание 7328

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три непустые группы. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а) Могут ли получиться одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?
б) Могут ли получиться одинаковыми все три значения средних арифметических?
в) Найдите минимальное возможное значение максимального из получаемых средних арифметических.
Ответ: да, нет, $$\frac{43}{7}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     A) да могут, например 1-ая группа 2-ая группа 4;6 $$\Rightarrow$$ среднее арифметическое равно 5.

     Б) Учтем, что сумма всех чисел 61. Пусть группа составляет из x,y,z элементов ($$x,y,z, \in N$$ ) , тогда $$x+y+z=10$$. Пусть среднее арифметическое для них равно k ,тогда $$kx+ky+kz=61\Rightarrow$$ $$k(x+y+z)=61\Leftrightarrow$$ $$10k=61\Rightarrow$$ $$k=6,1$$. Но тогда $$6,1x$$ - целое число(т.к. это сумма целх чисел) $$\Rightarrow$$ x кратно 10, но при этом $$x\leq 8$$, т.к. в двух остальных группах минимум 1 число $$\Rightarrow$$ не может.

     B) Рассмотрим разбиение (6) ; (3;9) ; (1;2;4;5;7;8;16) .Среднее арифметическое для первых двух групп равно 6, для третьей $$\frac{43}{7}$$. Очевидно, что среднее арифметическое одной из групп больше 6 , иначе бы сумма всех чисел не превосходила бы 60. Тогда не меньше $$6k+1$$ для к чисел , и среднее арифметическое для нее не меньше , чем $$\frac{6k+1}{k}=6+\frac{1}{k}$$. Чем меньше $$\frac{1}{k}$$ , тем больше k. Минимальное количество чисел в двух других группах равно 2. Если одно из чисел больше или равно 7 , то $$\frac{43}{7}<7$$ , следовательно, не рассматриваем (т.к. нужно минимальное среднее).Иначе меньше или равно 5 , тогда среднее арифметическое для оставшихся $$\frac{(61-(5+6))}{8}=\frac{50}{8}$$ больше или равно $$\frac{50}{8}$$ , но $$\frac{50}{8}>\frac{43}{7}$$, не подходит . При $$k\leq 7$$ же среднее арифметическое больше или равно $$\frac{43}{7}\Rightarrow$$ минимум $$\frac{43}{7}$$

 

Задание 7370

На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо нескольких (возможно, одного) из чисел на доске написали числа, меньшие первоначальных на 1. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.

а) Могло ли среднее арифметическое чисел на доске увеличиться после произведённой операции?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел было равно 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел получиться равным 34?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел было равно 27. Найдите максимальное возможное значение среднего арифметического оставшихся на доске чисел.
Ответ: а) да; б) нет; в) $$38\frac{1}{7}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7417

Ученики писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 83 баллов. Из‐за того, что задания оказались трудными, всем участникам теста добавили по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.

а) Мог ли средний балл участников, не сдавших тест, понизиться?
б) Мог ли средний балл участников, сдавших тест, понизиться и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизиться?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл участников, сдавших тест, составил 100, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 75. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 103, а не сдавших тест—79. При каком минимальном числе участников теста возможна такая ситуация?
Ответ: да, да, 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А)   Да. Например, не сдали два человека, их баллы 0 и 82, т.е. среднее арифметическое: $$\frac{0+82}{2}=41$$. После повышения на пять балов один из них сдал, остался один с 5 баллами, то есть новое среднее арифметическое составляет 5. 

Б)   Да. Например, не сдало два человека с баллами 0 и 79, сдал один, и его балл 200. Тогда среднее арифметическое для не сдавших составит 39,5, для сдавших 200. После повышения среднее арифметичекое не сдавших будет 5, а сдавших 144,5

В)    Пусть изначально было Х сдавших, У - не сдавших, тогда сумма баллов славших 100х, не сдавших 75у. Пусть Z сдали после повышения на 5 баллов, и их начальная сумма составляла N. Тогда:

$$\left\{\begin{matrix}\frac{100x+75y}{x+y}=90\\\frac{100x+5(x+z)+N}{x+z}=103\\\frac{75y+5(y-z)-N}{y-z}=79\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2x=3y\\2x+N=98x\\y-N=-74z\end{matrix}\right.$$

     Сложим 2 и 3 уравнения: $$2x+y=24z$$, подставим из 1: $$3y+y=24z\rightarrow$$$$y=6z;x=9z$$. Так как минимальное z составляет 1 (иначе бы изменения среднего было на 5 баллов), то  y=6 и x=9. То есть всего было 15 человек минимум

Задание 7427

Склад имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длины ребер которого выражаются целыми числами. Этот склад заполняют контейнерами размером 1x1x3. При этом контейнеры можно располагать как угодно, но их грани должны быть параллельны граням склада.

А) Могли ли получиться так, что склад объемом 150 невозможно полностью заполнить контейнерами?
Б) Могло ли получиться так, что на складе объемом 400 невозможно разместить 133 контейнера?
В) Какой наибольший процент объема любого склада объемом не менее 200 гарантированно удастся заполнить контейнерами?
Ответ: нет; да; 96
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7446

   а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр десятичной записи которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа.
   б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр десятичной записи которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?
   в) Найдите все такие четырёхзначные числа, произведение цифр десятичной записи которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.
Ответ: а) 3525; б) нет; в) 8655 и все числа, полученные перестановкой цифр этого числа
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7519

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три непустые группы. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

     а) Могут ли получиться одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?
     б) Могут ли получиться одинаковыми все три значения средних арифметических?
     в) Найдите минимальное возможное значение максимального из получаемых средних арифметических.
Ответ: а) да; б) нет; в) $$\frac{43}{7}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) Пусть группы будут, например, такими: 1) 2; 2) 1, 3; 3) 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16. Тогда среднее арифметическое в первых двух группах равно 2.

б) Пусть среднее арифметическое в каждой группе равно x. Тогда сумма всех чисел равна количеству чисел, умноженному на x, значит, $$x=(1+2+3+...+9+16):10=\frac{61}{10}$$ . Таким образом, среднее арифметическое в каждой группе равно $$\frac{61}{10}$$ , но это значит, что количество чисел в каждой группе не меньше 10, но этого не может быть.

в) Среднее арифметическое всех данных чисел равно $$6\frac{1}{10}$$ . В пункте б) мы выяснили, что при разбиении чисел на три группы такое среднее в группах получить невозможно. Ясно, что возможные средние это рациональные числа со знаменателем меньшим или равным количеству чисел в группе. Максимальное количество чисел в одной группе равно 8, поэтому среднее арифметическое $$6\frac{1}{9}$$ получить тоже нельзя. Покажем, что среднее 6 дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби тоже не получится. Действительно, если группа состоит из 8 чисел со средним $$6\frac{1}{8}$$ , то сумма чисел в этой группе равна 49. Тогда сумма двух оставшихся чисел равна 12. Это могут быть пары чисел 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7. Все они не подходят, одно из средних будет больше, чем $$6\frac{1}{8}$$ .

Приведем теперь пример для наибольшего из средних равного $$6\frac{1}{7}$$ . Разобьем наши числа на такие три группы: 1) 6; 2) 5, 7; 3) 1, 2, 3, 4, 8, 9, 16. Их средние арифметические будут равны соответственно $$6;6;6\frac{1}{7}$$.

 

Задание 7566

Известно, что все члены арифметической прогрессии an являются различными натуральными числами и что ее второй член в 8 раз больше первого.

А) Может ли один из членов этой прогрессии быть больше другого ее члена в 567 раз?
Б) Найдите наименьшее возможное отношение двух членов этой прогрессии, отличных от a1, если известно, что отношение является целым числом, и укажите любую пару таких ее членов
В) Найдите третий член этой прогрессии, если известно, что один из ее членов равен 546.
Ответ: а) нет; б) 8; $$a_{n}=7n-6, a_{2}=8; a_{10}=64$$; в) 105 или 8190
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7641

Бесконечная арифметическая прогрессия $$a_{1},a_{2},...,a_{n}$$ состоит из различных натуральных чисел. Пусть $$S_{1}=a_{1}$$, $$S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$$ при всех натуральных $$n\geq 2$$.

А) Существует ли такая прогрессия, для которой $$S_{10}=100S_{1}$$?
Б) Существует ли такая прогрессия, для которой $$S_{10}=50S_{2}$$?
В) Какое наименьшее значение может принимать дробь $$\frac{S_{5}^{2}}{S_{1}\cdot S_{10}}$$-?
Ответ: а) да; б) нет; в) $$\frac{200}{81}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!