ЕГЭ Профиль
Задание 6378
А)Можно ли в выражении $$\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*\frac{1}{4}*\frac{1}{5}*\frac{1}{6}*\frac{1}{7}*\frac{1}{8}$$ вместо всех знаков * так расставить знаки «+» и «‐», чтобы модуль этого выражения стал меньше $$\frac{1}{8}$$ ?
Б) Можно ли в выражении $$\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*\frac{1}{4}*\frac{1}{5}*\frac{1}{6}*\frac{1}{7}*\frac{1}{8}$$ вместо всех знаков * так расставить знаки «+» и «‐», чтобы модуль этого выражения стал меньше $$\frac{1}{500}$$ ?
В) Какое наименьшее значение может принимать выражение $$|\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*\frac{1}{4}*\frac{1}{5}*\frac{1}{6}*\frac{1}{7}*\frac{1}{8}|$$ , если разными способами заменять каждый из знаков * заменять знаками «+» и «‐»?
A) да, $$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}$$
Б) Приведем к общему знаменателю и найдем наибольшую сумму: $$\frac{4*3*5*7+8*5*7+2*3*5*7+8*3*7+4*5*7+8*3*5+3*5*7}{840}=$$$$\frac{420+280+210+168+140+120+105}{840}=\frac{1443}{840}$$
Очевидно, что $$\frac{1}{840}<\frac{1}{500}$$, $$\frac{2}{840}>\frac{1}{500}$$
То есть в числителе обязательно должна быть 1. С учетом того, что общая сумма 1443: пусть сумма m , разность - n.
Тогда $$\left | m-n \right |=1$$. Но из всех представленных чисел все, кроме 168 и 105 оканчиваются на 0, следовательно, их сумма/разность тоже на 0. $$\left | 168 \pm 105 \right |$$ оканчивается на 3 , то есть min значение в числителе $$\geq 3$$. Значит, не может быть.
B) $$1443=722+721$$. Т.е. идеальная сумма/разность для min была бы $$\left | 722-721 \right |$$. Но мы доказали , что $$\left | m \pm n \right |\geq 3$$. Т.е. $$\left\{\begin{matrix}m+n=1443\\m-n=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2m=1446\\n=m*3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}m=723\\n=720\end{matrix}\right.$$
Число 720 сумма тех, что оканчиваются на 0 . Но из {420;480;210;140;120} сумму в 720 не получить.
Пусть теперь: $$\left\{\begin{matrix}m+n=1443\\m-n=13\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}m=728\\n=715\end{matrix}\right.$$
$$715=105+120+210+280$$, т.е. $$min=\frac{13}{840}$$
Задание 6425
При изучении темы «Среднее арифметическое» в классе из 34 учащихся раздали синие и красные карточки, при этом каждый из учеников получил хотя бы одну карточку, но не более одной каждого цвета. На каждой карточке написано одно целое число от 0 до 20 (на различных карточках могут быть записаны одинаковые числа). Среднее арифметическое по всем розданным карточкам оказалось равным 15 по каждому цвету в отдельности. Затем каждый ученик назвал наибольшее из чисел на своих карточках (если ему досталась одна карточка, то он назвал число, написанное на этой карточке). Среднее арифметическое всех названных чисел оказалось равно S.
A) Пусть у 30 человек и синие, и красные , но каждой из которых по 16 , у двух синие с О и у двух красных с О
Синие: $$\frac{30*16+2*0}{32}=15$$
Красные :$$\frac{30*16+2*0}{32}=15$$
Условие среднего арифметического выполняются : $$S=\frac{30*16+4*0}{34}<15\Rightarrow$$ да
Б) Пусть:
Так как средняя для синих и красных отдельно составляет 15, то и среднее для всех вообще чисел равно 15.
При этом всего было выдано $$34+k$$ карточек. Значит общая сумма $$15(34+k)=510+15k$$ . С другой стороны эту же сумму можно представить как $$a+b+c$$: $$a+b+c=510+15k(1)$$. При этом $$a+b=9*34=306$$ . Подставим в (1): $$306+c=510+15k\Leftrightarrow$$ $$c=204+15k$$
С другой стороны $$c\leq 20k$$ ( сумма наименьших будет максимальна если на всех карточках число 20)
Получаем: $$204+15k\leq 20k\Leftrightarrow$$ $$5k\geq 204\Leftrightarrow$$ $$k\geq 40,8$$ но $$k\leq 34$$, следовательно , нет.
B) Аналогично, $$a+b =34S, a+b+c=15(34+17)$$.Тогда $$34S+c=765\Rightarrow$$ $$S=\frac{765-c}{34}$$. Очевидно , что $$S\Rightarrow min$$, при $$c\Rightarrow max$$, т.е. $$S\geq \frac{765-17*20}{34}=12,5$$
Найдем такой пример :
У нас 17 человек с карточками красными и синими на каждой из которых по 20, тогда сумма на все оставшиеся карточки (по одной) составит :
$$765-2*340=85$$. При этом она приходится на 17 человек с одной карточкой . Пусть y-сумма на синих, тогда 85-y-на красных. Учитывая среднее 15 для синих и красных :
$$\left\{\begin{matrix}340+y=15(17+N)\\340+85-y=15(17+17-N)\end{matrix}\right.$$, Где N-число синих , тогда красных 17-N (речь идет об одиночных карточках)
$$\left\{\begin{matrix}\frac{340+y}{15}=17+N\\\frac{425-y}{15}=34-N\end{matrix}\right.$$
Слева должны быть натуральные числа, т.е. 340+y и 435-y делятся нацело на 15 . При y=20 получим :
$$\frac{340+20}{15}=\frac{360}{15}=24=17+N\Rightarrow N=7$$
$$\frac{425-20}{15}=27$$
Условия выполнились, следовательно , если у 17 человек синие и красные с числами 20, у 17 человек только синие с общей суммой 20( например 1+2+3+4+5+2+3) и у 10 только красных с суммой 65 (7+7+7+7+7+7+7+7+7+2), то S=12,5
Задание 6473
Из 26 последовательных нечетных чисел 1, 3, 5, … , 51 выбрали 11 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть А – шестое по величине среди этих чисел, а В – среднее арифметическое выбранных одиннадцати чисел.
Пусть мы выбрали 11 чисел $$a_{1},...a_{11}$$. Все данные числа являются нечетными и натуральными. Следовательно, $$B=\frac{a_{1}+...+a_{11}}{11}$$. При этом $$A=a_{6}$$. Тогда $$B-A=\frac{a_{1}+...+a_{11}}{11}-a_{6}=$$$$\frac{a_{1}+...+a_{11}-11a^{6}}{11}=$$$$\frac{a_{1}+...+a_{5}+a_{7}+...+a_{11}-10a_{6}}{11}$$.
A) $$\frac{a_{1}+...+a_{5}+a_{7}+...+a_{11}-10a_{6}}{11}=\frac{3}{11}$$. При этом $$a_{1}+...+a_{5}$$ - число нечетное (сумма 5 нечетных), $$a_{7}+...+a_{11}$$ - нечетное, $$10a_{6}$$ - четное, тогда в знаменателе сумма 2 нечетных, что даст четное, и из него вычитается четное. То есть в результате мы получаем число четное. То есть 3 (нечетное) получить невозможно и ответ на пункт А - нет
Б) Аналогично пункту А получаем, что такая возможно возможна. Найдем пример. Пусть $$a_{1},...,a_{5}$$ соответственно равны 1,3,5,7,11. А $$a_{7}+...+a_{11}=N$$. Тогда получим: $$27+N-10a_{6}=4$$ или $$a_{6}=\frac{23+N}{10}$$. С учетом того, что минимальное значение $$a_{6}$$ при данное выборке составяет 13 и оно обязательно нечетно: $$13=\frac{23+N}{10}$$, тогда N=107. Приведем пример выборки: 1 3 5 7 11 13 15 17 19 21 35.
В) Чтобы $$B-A\Rightarrow max$$, необходимо, чтобы $$a_{6}\Rightarrow min$$. Наименьшее возможное $$a_{6}=11$$. При этом $$a_{7}+...+a_{11}\Rightarrow max$$. То есть $$a_{7},...,a_{11}$$ соответственно равны 43,45,47,49,51. Тогда: $$B-A=\frac{1+3+5+7+9+43+45+47+49+51-10*11}{11}=\frac{150}{11}$$
Задание 6480
Бесконечная геометрическая прогрессия $$b_{1},b_{2},...,b_{n},...$$ состоит из различных натуральных чисел. Пусть $$S_{1}=b_{1}$$ и $$S_{n}=b_{1}+b_{2}+...+b_{n}$$ при всех натуральных $$n\geq 2$$.
Обозначим первый член прогрессии через b, а знаменатель прогрессии- через q (b,q- натуральные числа) . Докажем два вспомогательных утверждения
1.Если b не делится на 24, то на 24 не могут делиться никакие две подряд идущие суммы. Доказательство следует из равенства : $$b=S_{n+1}-qS_{n}$$
Действительно , если предположить , что $$S_{n}$$ и $$S_{n+1}$$ делятся на 24, то b тоже будет делиться на 24.Противоречие .
2. Если $$S_{2}$$ делиться на 24, то на 24 делятся все четные суммы $$S_{2n}$$. Доказательство следует по индукции из равенства : $$S_{2n+2}=q^{2}S_{2n}+S_{n}, n \in Z$$
A) Ответ: да, например, прогрессия : 8,16,32,64….(b=8 ,q=2)
Б)Ответ : нет. Если b делится на 24 , то на 24 делятся все четыре суммы. Если b не делится на 24 , то $$S_{2},S_{3}$$ и $$S_{4}$$ не могут одновременно делиться на 24 в силу утверждения 1
В)Ответ: 4. Из утверждения 1 следует , что количество сумм, которые делятся на 24, не больше четырех . В примере из пункта А) на 24 делятся $$S_{2},S_{4},S_{6}$$ и $$S_{8}$$( утверждение 2)
Задание 6527
A) Пусть $$n=10a+b$$ , тогда $$n +24=10(a+2)+(b+4)$$ или $$n+24=10(a+3)+(b+4-10)$$ (если n оканчивается на число $$\geq 6$$). Рассмотрим первый вариант. Одинаковый остаток при делении на 100 дадут 2 числа, одно из которых оканчивается на 1, второе на 9 ( 2 и 8; 3 и 7; 4 и 6) .Как видим, для первого варианта (b и b+4) устраивают окончания 3 и 7 . Тогда $$n=10a+3$$,
$$n+24=10(a+2)+7$$. Тогда $$n^{2}=100x^{2}+60x+9$$; $$(n+24)^{2}=100x^{2}+540x+729$$
При делении на 100 у $$n^{2}$$ остаток $$60x+9$$, у $$(n+24)^{2}$$: $$540x+729$$. При этом, они отличаются на натуральное число : $$\frac{540x+729}{100}=N+\frac{69x+9}{100}\Leftrightarrow$$$$N=\frac{480x+720}{100}=\frac{48x+72}{10}$$. Откуда $$x=1$$ или 6 .То есть число 13 или 63.
Б) Если остатки одинаковы, то разность этих чисел кратна 100: $$\frac{(n+24)^{2}-n^{2}}{100}\in N \Rightarrow$$ $$\frac{24(2n+24)}{100}\in N \Leftrightarrow$$ $$\frac{12(n+12)}{25}\in N$$. Т.к. n $$\in [100; 999]$$ , то $$n+12\in [112;1011]$$. При этом, кратных 25 там: $$\frac{1011-111}{25}=36$$ чисел.
B) $$m \in [10;99], n \in [100; 999]$$. Ищем аналогично Б): $$\frac{(n+m)^{2}-n^{2}}{100}\in N \Leftrightarrow$$ $$\frac{m(2n+m)}{100}\in N$$. В данном случае m-четное( иначе не будет кратно 100-четному) .Путсь $$m=2k : k \in [\frac{10}{2}, \frac{99}{2}]\Leftrightarrow [5;49]$$. $$\frac{2k(2n+2k)}{100}\Leftrightarrow$$ $$\frac{k(n+k)}{25}\in N$$
При k кратному 5 получаем, что n+k тоже кратно 5, а таких чисел больше. Тогда k-не кратно 5, следовательно , n+k кратно 25. С учетом , что $$n \in [100; 999]$$, то $$n+k \in [100+k; 999+k]$$, тогда кратных к 25 среди них: $$\frac{999+k-(99+k)}{25}=36$$. Т.е. все числа [5;49] не кратных 5 подойдут, а их 36.
Задание 6574
S(n) ‐ сумма цифр натурального числа n
A) Пусть $$n=10a+b$$, $$a,b \in N [0;9]$$. Пусть $$a\leq 4$$ и $$b \leq 4$$, тогда $$2n=1-*2a+10*2b$$. Тогда $$a+b=2a+2b\Leftrightarrow$$ $$a+b=0$$,что невозможно . Пусть $$a\leq 4$$ и $$b\geq 5$$, тогда $$2n=10(2a+1)+10(2b-10)$$ и $$a+b=2a+1+2b-10\Leftrightarrow$$ $$a+b=9$$. Су четом условия можно взять числа a=4 и b=5.Значит, может
Б) Аналогично А:
-пусть $$a\leq 4 ;b\leq 4\Rightarrow$$ решений нет
-пусть $$a\leq 4; b\geq 5\Rightarrow a+b=9$$, но тогда a и b не могут быть четными.
-пусть $$a\geq 5, b\leq 4\Rightarrow a+b=9\Rightarrow$$ нет
-пусть $$a\geq 5$$ и $$b\geq 5\Rightarrow$$ $$2n=100*1+10(2a-10+1)+2b-10$$. Тогда $$a+b=18$$. С учетом условия a=8, b=10, но $$a,b \leq 9\Rightarrow$$ нет
B) Аналогично A и Б. Пусть $$n=100a+10b+c$$
1) $$a\leq 4, b\leq 4, c\leq 4\Rightarrow$$ $$a+b+c=0\Rightarrow$$ нет
2) $$a\leq 4, b\leq 4, c\geq 5\Rightarrow$$ $$a+b+c=9$$. Тогда $$a=1,3;b=1,3; c=5,7,9$$. Возможные варианты: 135;117;315 - 3 числа
3) $$a\leq 4; b\geq 5; c\leq 4\Rightarrow a+b+c=9$$. Возможные варианты: $$153;171;351$$ - 3 числа.
4) $$a\leq 4; b\geq 5; c\geq 5\Rightarrow a+b+c=18$$, но a,b,c-нечетные $$\Rightarrow$$ нет чисел
5) $$a\geq 5; b\leq 4; c\leq 4\Rightarrow a+b+c=9$$$$\Rightarrow 513;531;711$$ - 3 числа.
6) $$a\geq 5; b\leq 4; c\geq 5\Rightarrow a+b+c=18$$$$\Rightarrow$$ нет
7) $$a\geq 5; b\geq 5; c\leq 4\Rightarrow a+b+c=18$$$$\Rightarrow$$ нет
8) $$a\geq 5; b\geq 5; c\geq 5\Rightarrow a+b+c=27$$$$\Rightarrow 999$$ - 1 число
Всего получим 10 чисел.
Задание 6621
На доске написаны числа 3 и 5. За один ход разрешено заменить написанную на доске пару чисел a и b парой чисел 2a-1 и a+b+1 (например, из пары чисел 3 и 5 за один ход можно получить либо числа 5 и 9 либо числа 9 и 9)
А) Да, например , $$a =5, b=3\Rightarrow (9;9)$$; $$a=9,b=9\Rightarrow (17;19)$$; $$a=19, b=17\Rightarrow (37;37)$$; $$a=37, b=37\Rightarrow (73;75)$$.
Б) Нет. Рассмотрим всевозможные варианты:
- Если $$(5;3)\Rightarrow$$ (9;9) или (5;9)
- Если (9;9)$$\Rightarrow$$ (17;19) $$\Rightarrow$$ (33;37) или (37,37) - не подходит
- Если (5;9) $$\Rightarrow$$ (9;15) или (17;15)
- Если (17; 15) $$\Rightarrow$$ (33;33) или (29;33) - не подходит
- Если (9;15) $$\Rightarrow$$ (17;25) или (29;25) - не подходит
B) Как видим из Б) каждый нечетный ход можно получить симметренную пару чисел $$\Rightarrow min=0$$. Но в таком случае числа будут равны, нам же нужны неравные числа. Тогда: пусть даны числа a и b, b>a, тогда следующий ход получим 2a-1 и a+b+1 или 2b-1 и a+b+1. В первом случае разность: b-a+2, во втором : b-a-2. Т.е. будет уменьшение или увеличение разности (b-a) на 2. Следовательно, 2015 ходов мы будем выводить разность в 0, а потом двумя ходами дважды увеличим или уменьшим ее на 2, тем самым получим, что наименьшая разность составит 4.
Задание 6669
Дано натуральное четырехзначное число n, в записи которого нет нулей. Для этого числа составим дробь $$f(n)$$ , в числителе которой само число n , а в знаменателе – произведение всех цифр числа n.
Пусть число $$M=10^{3}a+10^{2}b+10c+d$$, $$0<a,b,c,d<9 \in N$$
A) $$\frac{643}{160}=\frac{643*k}{160*k}$$. $$M=643k$$ ; $$abcd=160k$$
Разложим 160: $$160=2^{5}*5$$. С учетом , что $$a,b,c,d \in N$$ и $$a,b,c,d \in [1;9]$$, то среди чисел точно есть 5. Рассмотрим умножение 643 на натуральное $$k\geq 2$$.
$$643*2=1286$$ - нет 5
$$643*3=1929$$ - нет 5
$$643*4=2572$$. При этом 2*5*7*2=140 не кратно 160.
$$643*5=3215\Rightarrow$$ $$3*2*1*5=30$$ - не подходит.
$$643*6=3858\Rightarrow$$ $$3*8*5*8=960=160*6$$ - подходит
Т.е. пример числа: 3858
B) Рассмотрим сначала наименьшее возможное f(n) . С учетом , что $$160=2^{5}*5$$ и $$a,b,c,d$$ – натуральные, меньшие 10, то возможные a,b,c и d : $$1,4,8,5$$; $$2,2,8,5$$; $$2,4,4,5$$ . При этом $$\frac{M}{abcd}\rightarrow min$$, при $$abcd\rightarrow max$$. Пусть k-множитель, который бы сокращался . $$k_{max}=18=2*3^{2}$$ т.к. тогда бы $$1\rightarrow 9$$; $$4\rightarrow 8$$ и M состояло бы из цифр $$9,8,8,5$$ (очевидно, что наибольшее k именно для множителей $$1,4,8,5$$) . При k>18 получим, что одна из цифр станет больше 9. При этом k - число составное.
Рассмотрим их. $$k=18\Rightarrow$$ $$a,b,c,d: 9,8,8,5$$. Но $$9+8+8+5=30$$, число 30 не делится нацело на 9, значит при сокращении на k мы не получим знаменатель 160.
$$k=16$$; $$a,b,c,d\Rightarrow$$ $$8,8,8,5$$. Комбинации с этими цифрами:
$$\frac{5888}{160*16}=\frac{368}{160}$$ - сократима дальше
$$\frac{8588}{160*16}=\frac{2147}{640}$$ - нет знаменателя 160
$$\frac{8858}{160*16}=\frac{4429}{1280}$$
$$\frac{8885}{160*16}$$ - не делится на 16
$$k=14$$: $$a,b,c,d: 7,8,8,5$$. Аналогично предыдущему нет чисел.
$$k=12$$: $$a,b,c,d :6,8,8,5$$. При использовании данных чисел наименьшее $$f(n)=\frac{5868}{160*12}=\frac{489}{160}$$
Задание 6704
Конечная последовательность a1,a2,...,an состоит из $$n \geq 3$$ не обязательно различных натуральных чисел, причем при всех натуральных $$k \leq n-2$$ выполнено равенство $$a_{k+2}=2a_{k+1}-a_{k}+1$$.
$$a_{1}, a_{2} .., a_{n }, n \geq 3$$. При $$\forall k \leq n-2$$; $$a_{n+2}=2a_{k+1}-a_{k}+1$$
A) Видим, что $$a_{k+2}-a_{k+1}=a_{k+1}-a_{k}+1$$. Т.е разница соседних членов увеличивается на 1. Если $$a_{5}=3$$, то пусть $$a_{4}=3$$. Разница $$a_{5}-a_{4}=0$$, следовательно , $$a_{4}-a_{3}=-1$$, $$a_{3}-a_{2}=-2$$, $$a_{2}-a_{1}=-3$$. Получим : 9 6 4 3 3.
Б) Последовательность с какого-то момента возрастает .При этом , чтобы $$a_{3}=a_{11}$$ она должна сначала возрастать . Тогда будет 2 одинаковых члена (когда их разность равна 0) , но 11-2=9 , то есть с $$a_{3}$$ по $$a_{11}$$ - 9 членов , с учетом необходимости симметрии нужно четное количество , следовательно, не может.
В) Очевидно, что наибольшее количество чисел, в случае, когда есть убывание и возрастание . Рассмотрим симметрию в середине числа 50:
4 10 15 19 22 24 25 25 26 28 31 35 40 46
Мы видим, что можем сдвинуть центр на 3 единицы влево (до 1) :
1 7 12 16 19 21 22 22 23 25 28 32 37 43 50
Всего 15 чисел.
Задание 6763
В последовательности натуральных чисел a1=47 , каждый следующий член равен произведению суммы цифр предыдущего члена и a1
A) $$a_{2}=(4+7)*47=517$$
$$a_{3}=(5+1+7)*47=611$$
$$a_{4}=(6+1+1)*47=376$$
$$a_{5}=(3+7+6)*47=752$$
Б) вычислим еще несколько членов.
$$a_{6}=(7+5+2)*47=14*47=658$$
$$a_{7}=(6+5+8)*47=19*47=893$$
$$a_{8}=(8+9+3)*47=20*47=940$$
$$a_{9}=(9+4+0)*47=13*47=611=a_{3}$$
Получаем повторение с периодом: $$9-3=6 \Rightarrow$$ $$a_{50}=a_{8}=940$$ (можно составить таблицу, можно посчитать 50-2=48(т.к. начинаем с 3-го) и 48/6=8 полных повторений без остатка , следовательно $$a_{50}$$ равен крайнему в выборке $$a_{3}...a_{8}$$)
B) $$\sum_{8}^{n=3} a_{n}=61+376+752+..+940=4230$$
Тогда $$\sum_{n=3}^{5a}=4230*8=33840$$
С учетом $$a_{1}$$ и $$a_{2}$$, получим $$34404$$
Задание 6810
В некотором царстве было несколько (более двух) княжеств. Однажды некоторые из этих княжеств объявили себя царствами и разделились каждое на то же самое число княжеств, которое было в самом начале. Затем всё новые и новые княжества из числа прежних и вновь образующихся объявляли себя царствами и делились каждое на то же самое число княжеств, которое было в самом начале.
A) Пусть было x княжеств ( $$x\in N$$; $$x\geq 3$$), $$y_{i}$$ - число княжеств, объявляющие деление на i-ый раз, $$S_{i}$$ - сумма княжеств после i-го деления, тогда :
$$S_{1}=x-y_{1}+xy_{1}=x+y_{1}(x-1)\Rightarrow$$$$S_{2}=S_{1}-y_{2}+xy_{2}=$$$$x+y_{1}(x-1)+y_{2}(x-1)=$$$$x+(x-1)(y_{1}+y_{2})\Rightarrow$$$$S_{n}=x+(x-1)(y_{1}+....+y_{n})=x+(x-1)\sum_{i=1}^{n}y_{i}$$
Тогда, $$x+(x-1)\sum_{i=1}^{n}y_{i}= 102 \Leftrightarrow$$ $$\sum_{i=1}^{n}y_{i}=\frac{102-x}{x-1}=\frac{101}{x-1}-1 \in N \Rightarrow$$ $$x-1=101\Rightarrow$$ $$i=1\Rightarrow x=102$$ . Т.е изначально (до деления) было уже 102 , что не удовлетворяет условию , хотя бы одного деления.
Б) Пусть сумма после n-го : $$S_{n}=168$$, после m-го: $$S_{m}=320 (m\geq 2)$$. Тогда :
$$S_{m}-S_{n}=x+(x-1)\sum_{i=1}^{m} y _{i}-x-(x-1)\sum_{i=1}^{n} y_{i}=$$$$(x-1)\sum_{i=n+1}^{m} y_{i}=$$$$320-168=79*2$$. Но 79 и 2 -простые , тогда:
- $$x-1=2\Rightarrow$$ $$x=3\Rightarrow$$ $$S_{m}=3+(3-1)\sum_{i=1}^{m} y_{i}=320\Rightarrow$$ $$2 \sum_{i=1}^{m} y_{i}=317$$ – не может быть, т.к. $$\sum_{i=1}^{m} y_{i}\in N$$
- $$x-1=79\Rightarrow$$ $$x=80\Rightarrow$$ $$S_{m}=80+(80-1) \sum_{i=1}^{m} y_{i}=320\Rightarrow$$ $$79 \sum_{i=1}^{m} y_{1}=240$$ – не может быть
- $$x-1=1\Rightarrow$$ $$x=2$$ – не подходит , т.к. $$x\geq 3$$
- $$x-1=158$$ - не подходит
B) Получим, что $$x+(x-1) \sum_{i=1}^{n} y_{i}=38 x\Rightarrow$$ $$(x-1)\sum_{i=1}^{n} y_{i}=37x$$. x и (x-1) взаимопростые $$\Rightarrow$$ $$\sum_{i=1}^{n} =xN\Rightarrow$$ $$(x-1)xN=37x\Leftrightarrow$$ $$(x-1)N=37\Rightarrow$$ или $$x-1=1$$ и $$N=37$$, тогда $$x=2$$ - не подходит, или $$N=1$$ и $$x-1=37\Rightarrow$$ $$x=38$$
Задание 6830
Бесконечная арифметическая прогрессия a1,a2,...,an,... состоит из различных натуральных чисел.
A) Да, например, 12;24;36;48;60;72;84.
Б) Пусть $$a_{m}$$ и $$a_{n}$$ (m>n) - члены, кратные 24, d - разность прогрессии (при этом очевидно, что d - делитель 24), получаем: $$a_{m}-a_{n}=$$$$a_{1}+d(m-1)-(a_{1}+d(n-1))=$$$$d(m-n)$$. При этом $$\frac{a_{m}-a_{n}}{24}=R$$, где R - из последовательности целых от 0 $$\Rightarrow$$ $$\frac{d(m-n)}{24}=R$$. Раз d –делитель 24, то пусть $$\frac{24}{d}=k$$ ($$k \in N, k\leq 24$$)$$\Rightarrow$$ $$\frac{d(m-n)}{dk}=R$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{m-n}{k}=R$$$$\Rightarrow$$ $$m=R*k+n$$. Следовательно, из любых k последовательных членов - одно делится на 24. При $$k\leq 3$$ получим $$\frac{30}{k}\geq 0$$$$\Rightarrow$$ не подходит (надо 9) , при $$k\geq 4$$ имеем , что $$\frac{30}{k}<8$$ - не подходит $$\Rightarrow$$ не может.
B) Среди чисел $$a_{1},a_{2}, a_{3n}$$ делится на 24 не более $$[\frac{3 n}{k}]+1$$, где $$[\frac{3 n }{k}]$$ - целая часть числа $$\frac{3n}{k}$$(рассмотрите числа при n=17 для понимания) , из чисел $$a_{3n+1}....a_{7n}$$ не менее $$[\frac{7n-3n}{k}]=[\frac{4n}{k}]$$. При этом : $$[\frac{3n}{k}]+1>[\frac{4n}{k}]$$. Очевидно, что выполняется только, если $$[\frac{3n}{k}]=[\frac{4n}{k}]$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{4n}{k}-\frac{3n}{k}<1$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{n}{k}<1$$$$\Rightarrow$$ $$[\frac{3n}{k}]<3$$ как и $$[\frac{4n}{k}]<3$$. Тогда получим , что и $$\frac{4n}{k}<3$$$$\Rightarrow$$ $$n<\frac{3k}{4}$$, но так как k $$\leq 24$$, то $$n<\frac{3*24}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$n<18$$, т.е. $$n=17$$. (Например, при $$a_{1}=22$$ получим , что: $$a_{1}.. a_{3n} =a_{1}... a_{51}$$ : 24,48,72-3 кратных; $$a_{3n+1}... a_{5n}=a_{52}....a_{119}$$: 96,120-2 кратных).
Задание 6881
На волшебной яблоне выросли 15 бананов и 20 апельсинов. Одновременно разрешается срывать один или два плода. Если сорвать один из плодов вырастет такой же, если сорвать сразу два одинаковых плода – вырастет апельсин, а если два разных – вырастет банан.
19) A) Если сорвать 1 шт. , то вырастет такой же , т.е. общее число не меняется. Тогда срываем по 2. Пусть Sx=15 число бананов,Sy=20-число апельсинов.
-если срываем 2 одинаковых, то будет -2x и + y (если 2 банана) или – y(если 2 апельсина)
-если 2 разных, то – y.
Тогда будем срывать сначала 2 банана 7 раз и получим : $$S_{x}=15-7*2=1$$ банан и $$S_{y}=20+7*1=27$$ апельсинов
А потом 26 раз по 2 апельсина: $$S_{x}=1$$ банан ; $$S_{y}=27-26*1=1$$ – апельсин. И оба плода, тогда: $$S_{x}=1$$ и $$S_{y}=0$$
Б) из п. A это будет банан.
B) Нет, так как изначально имеем нечетное количество бананов, следовательно, убирая по 2 банана в итоге в остатке получим 1 банан (других вариантов, кроме как убрать 2 банана, нет) . А далее мы в любом случае будем его получать, уменьшая Sy до 0 апельсинов.
Задание 6929
A) Пусть дано число $$10^{n}a_{n}+10^{n+1}a_{n+1}+10^{1}*a_{1}+a_{0}$$. Если мы вычтем из него сумму цифр, то получим : $$(10^{n}-1)a_{n}+(10^{n-1}-1)a_{n-1}+...+(10^{1}-1)a_{1}$$. Видим, что каждый из множителей $$(10^{n}-1)$$; $$(10^{n-1}-1)$$ и т.д. кратен 9 $$\Rightarrow$$ полученное число кратно 9 . Но 1 не кратно 9 $$\Rightarrow$$ не может .
Б) Раз последнее равно 0 и разность последнего и предпоследнего кратно 9, то очевидно, что предпоследнее 9.
B) Аналогично, Б и учитывая, что каждая разность делится на 9 , получим последовательность разностей: 0,9,18,27…81. Из 81 можно получить 90 или 99. Если взять 90 , то следующее должно быть 90+9=99 , но 99-(9+9)=81. Следовательно, после 81 идет 99 . А 99 можно получить уже из любого изначального целого числа из промежутка [100;109]
Задание 6977
В двух группах учится одинаковое количество студентов. Каждый студент изучает по крайней мере один язык: английский или французский. Известно, что 5 человек в первой и 5 во второй группе изучают оба языка. Количество изучающих французский в первой группе в 3 раза меньше, чем во второй. Количество изучающих английский во второй группе в 4 раза меньше, чем в первой.
Пусть французский в первой группе учат x человек (и только французский, и оба языка), тогда во второй - 3x. Английский во второй y ( и только английский, и оба языка) человек, тогда в первой 4y. Всего в первой : x+4y-5 ; во второй : 3x+y-5
A) Получим: $$x+4y-5=3x+y-5\Leftrightarrow$$ $$2x=3y\Rightarrow$$ $$x=\frac{3y}{2}\Rightarrow$$ y - четное. Тогда $$x+4y-5=33\Leftrightarrow$$ $$x+4y=38\Leftrightarrow$$ $$\frac{3y}{2}+4y=38\Leftrightarrow$$ $$3y+8y=76\Leftrightarrow$$ $$y=\frac{76}{11}\in N$$ - не может
Б) Если 2 учат только английский, то всего английский учат $$2+5=7=y$$, но y - четное $$\Rightarrow$$ не может
B) $$x=\frac{3y}{2}$$. При этом $$y\geq 5$$ и y - четное . Чем меньше y, тем меньше группа $$\Rightarrow$$ $$y=6; x=9$$ (минимальное четное больше 5). Общее число в группе тогда: 9+4*6=28.