ЕГЭ (профиль) / (C7) Числа и их свойства

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

а) Масса любых трёх таких глыб не превосходит 5 тонн. Значит, в 60 грузовиков можно погрузить 180 таких глыб. Всего глыб 170, поэтому их можно увезти на 60 грузовиках.

б) Суммарная масса глыб равна 50 · 800 + 60 · 1000 + 60 · 1500 = 190 000 (кг), то есть в точности совпадает с грузоподъёмностью 38 грузовиков. Значит, если возможно увезти эти глыбы на 38 грузовиках, то каждый грузовик должен быть загружен полностью (по массе груза).

Если в каком-то грузовике есть глыба массой 800 кг, то единственная возможность загрузить такой грузовик полностью — это добавить ещё 4 таких глыбы и одну глыбу массой 1 000 кг. Таким образом, грузовиков, загруженных так, понадобится 10 штук. Поскольку осталось 60 глыб, массой 1 500 кг каждая, и 28 грузовиков, то в одном из грузовиков должно быть хотя бы 3 такие глыбы. Но в грузовик, в который загружено 3 глыбы, массой 1 500 кг каждая, ничего больше погрузить не получится.

Значит, на 38 грузовиках увезти эти глыбы нельзя.

в) В предыдущем пункте было показано, что 38 грузовиков не хватит.

Если в 10 грузовиков загрузить по 5 глыб, массой 800 кг каждая, и глыбу массой 1 000 кг, в 25 грузовиков загрузить по 2 глыбы, массой 1 000 кг каждая, и по 2 глыбы, массой 1 500 кг каждая, в 3 грузовика загрузить

3 глыбы, массой 1 500 кг каждая, и в один грузовик глыбу массой 1 500 кг, то все глыбы окажутся загружены в 39 грузовиков. Значит, наименьшее количество грузовиков — это 39.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

а) Чтобы делилось на 15, то должно делиться и на 5, и на 3 $$\Rightarrow$$ оканчивается на 0 или 5 (на 0 не может $$\Rightarrow$$ на 5) и сумма цифр делится на 3.

Например: $$5a5$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{5+a+5}{3}\in N$$

$$\Rightarrow$$ $$\frac{10+a}{3}\in N$$ $$\Rightarrow$$ $$a=2$$; $$a=8$$ 

$$\Rightarrow$$ $$525;585$$

б) Пусть $$5aba5$$ - число $$\Rightarrow$$

$$\frac{5+a+b+a+5}{3}\in N,a,b\in N\in[0....9]$$

$$\frac{10+2a+b}{3}\in N$$, при этом $$2a+b\in[0...27]$$

$$\Rightarrow$$ $$10+2a+b\in[10...37]$$.

Выберем все кратные 3 из этого диапазона: $$12;15;18;21;24;27;30;33;36$$

1) $$10+2a+b=12$$

$$2a+b=2$$ $$\Rightarrow$$ $$a=1;b=0$$ или $$a=0;b=2$$

$$52025;20205$$

2) $$10+2a+b=15$$

$$2a+b=5$$ 

$$a=\frac{5-b}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$a=0;b=5$$ или $$a=2;b=1$$

или $$a=2;b=1$$

$$50505;52125;51315$$

3)  $$10+2a+b=18$$

$$2a+b=8$$ $$\Rightarrow$$ $$a=4;b=0$$

$$a=3;b=2$$ или $$a=2;b=4$$

$$a=1;b=6$$ или $$a=0;b=0$$

4) $$10+2a+b=21$$

$$2a+b=11$$ $$\Rightarrow$$ $$a=5;b=1$$ или $$a=4;b=3$$

$$a=3;b=5$$ или $$a=2;b=7$$

$$a=1;b=9$$

5) $$10+2a+b=24$$

$$2a+b=14$$ $$\Rightarrow$$

$$a=7;b=0$$ или $$a=6;b=2$$

$$a=5;b=4$$ или $$a=4;b=6$$

$$a=3;b=8$$

6) $$10+2a+b=27$$

$$2a+b=17$$ $$\Rightarrow$$

$$a=8;b=1$$

$$a=7;b=3$$ или $$a=6;b=5$$

$$a=5;b=7$$ или $$a=4;b=9$$

7)  $$10+2a+b=30$$

$$2a+b=20$$ $$\Rightarrow$$

$$a=9;b=2$$ или $$a=8;b=4$$

$$a=7;b=6$$ или $$a=6;b=8$$

8) $$10+2a+b=33$$

$$2a+b=23$$ $$\Rightarrow$$

$$a=9;b=5$$ или $$a=8;b=7$$

$$a=7;b=9$$

9) $$10+2a+b=36$$

$$2a+b=26$$ $$\Rightarrow$$

$$a=9;b=8$$ 

Всего: $$2+3+5+5+5+5+4+3+1=33$$ числа

в) С учетом пункта б) получим: 3^хзначных чисел 3 штуки

4^х: $$\frac{5aa5}{3}=N$$

$$\frac{10+2a}{3}=N$$

$$2a\in[0...18]$$ $$\Rightarrow$$ $$10+2a\in[10...18]$$

12: $$2a=2$$ $$\Rightarrow$$ $$a=1$$

15: $$2a=5$$ $$\Rightarrow$$ $$​\varnothing$$

18: $$2a=8$$ $$\Rightarrow$$ $$a=4$$

21: $$2a=11$$ $$\Rightarrow$$ $$​\varnothing$$

24: $$2a=14$$ $$\Rightarrow$$ $$a=7$$

27: $$2a=17$$ $$\Rightarrow$$ $$\varnothing$$

Всего 3 числа.

То есть 3^х и 4^х значных в сумме 6 штук.

5^ти всего 33  $$\Rightarrow$$ вместе 39, нам нужно 37, то есть предпоследнее  $$\Rightarrow$$ 59295

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

а) четные в сумме дают 2 четных или 2 нечетных; чтобы получалось нечетное надо, чтобы чередовались четные и нечетные, но, пусть 1^ый куст нечетный, тогда 19^ый будет тоже нчеетный $$\Rightarrow$$ т.к. дан круг, то они окажутся рядом и в сумме получим четное

б) Нет, пусть на на четных по номеру по 2, на нечетных по 3, тогда всегда сумма $$2+3$$, а у первого и 19^го $$2+2=4$$, ни там, на там не делится на 3

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

а) Квадрат натурального числа либо делится на 9, либо при делении на 3 дает остаток 1. Пусть а кратно 3 $$\Rightarrow$$ $$a=3k$$ $$\Rightarrow$$ $$a^{2}=9k$$ делится на 9. Пусть не кратно $$\Rightarrow$$ $$a=3k+1$$ $$\Rightarrow$$ $$a^{2}=(3k+1)^{2}=9k^{2}+6k+1=3(3k^{2}+2k)+1$$ $$\Rightarrow$$ остаток 1.

$$a=3k+2$$ $$\Rightarrow$$ $$a^{2}=9k^{2}+12k+4=3(3k^{2}+4k+1)+1$$ $$\Rightarrow$$ остаток 1.

Аналогично тогда и сумма цифт делится на 9 или при делении на 3 дает в остатке 1.

Сумма цифт числа в таком случае: $$1\cdot10+2\cdot10+3\cdot10=60$$ - это число не делится на 9 и при делении на 3 не дает остаток 1 $$\Rightarrow$$ нет.

б) Аналогично сумма цифр $$2\cdot10+3\cdot10+6\cdot10=110$$ $$\Rightarrow$$ нет.

в) 1970 на 9 не делится. При делении на 3 дает остаток 2 $$\Rightarrow$$ нет.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Обозначим разности из условия задачи через $$s_{1}$$ и $$s_{2}$$,  n-й член прогрессии - через $$x_{n}$$, сумму первых n ее членов  - через $$S_{n}$$. Как известно, квадрат суммы любого числа слагаемых равен сумме квадратов и различных удвоенных произведений  слагаемых. Поэтому: $$s_{1}=2(x_{1}x_{2}+...+x_{n-1}x_{n})$$, $$s_{2}=2(x_{1}x_{2}+..+x_{n}x_{n+1})$$. В $$s_{2}$$ входят все слагаемые из $$s_{1}$$ и удвоенные произведения $$x_{n+1}$$ на все члены прогрессии от $$x_{1}$$ до $$x_{n}$$. Значит, $$s_{2}-s_{1}=2x_{n+1}(x_{1}+..x_{n})=2x_{n+1}S_{n}(1)$$

     А) Ответ: 1,3,(5).Если  $$s_{2}-s_{1}=40, x_{n+1}S_{n}=20$$. Последнее равенство выполняется , например , для прогрессии 1,3,(5).

     Б) Ответ: не могла . В условиях задачи наименьшее значение в (1) при  n=13  равно $$2*13(0+1+..+12)=2028>1768$$

     В) Ответ: 8. Из формулы (1) получаем : $$s_{2}-s_{1}=2x_{n+1}\frac{(x_{1}+x_{n})n}{2}=x_{n+1}(x_{1}+x_{n})n=1768$$. Следовательно , $$1768=2^{3}*13*17$$ делится на  n. Из пункта Б)  $$n<13$$ ; наибольший из таких делителей равен 8 . Проверим это значение . Если $$n=8$$, $$x_{9}(x_{1}+x_{8})=13*17$$. Возможны следующие два варианта

   1. $$x_{9}=17\Rightarrow$$ $$x_{8}\leq 13\Rightarrow$$ разность прогрессии  $$d\geq 4\Rightarrow$$ $$x_{1}=x_{9}-8d\leq 17-32<0$$

   2. $$x_{9}=13\Rightarrow$$ при $$d\geq 2$$ будем иметь : $$x_{1}=x_{9}-8d\leq 13-16<0$$. Значит, $$d=1$$. Конечная прогрессия 5,6,7,8,9,10,11,12 удовлетворяет условию задачи.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

а) Можно смело утверждать, что первое число из последовательности однозначно было записано на листке. В таком случае у нас точно была 2. Далее, чтобы получить 4, у нас должна была быть еще одно 2 или просто число 4. В первом случае затем, чтобы получить шесть придется добавить еще 2. И так же еще 2, чтобы получить 8. В итоге получаем последовательность чисел на листочке: 2,2,2,2. Для второго случая необходимо будет добавить еще одну 2. И получим 2,2,4. б)Аналогично рассуждая получаем, что точно есть 1. Чтобы получить 3 она изначально должна присутствовать, или нужно число 2, или же изначально три единицы. Число 2 явно отсутствует, иначе оно было бы в последовательности, как и три единицы, так же была бы двойка. Значит уже есть 1 и 3. Далее у нас есть 5, чтобы ее получить у нас должна быть или 5, или 1,1,3 или 1,1,1,1,1 (варианты с 2ками уже отбросили). Крайние два не подходят, при сумме появилась бы двойка, значит есть 5, но тогда 3+5=8, а 8 отсутствует в последовательности, то есть не может быть в) Аналогично с пунктом б рассуждая получаем, что точно есть 9, 10 и 11. А далее путем подборов находим, что нам понадобится еще 11 и 11, или же 22.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть девочки фотографировали k дней. Разность между числом Наташиных и Машиных фотографий равна:

$$S_{k}^{n}-S_{k}^{m}=$$$$\frac{(n+n+k-1)k}{2}-\frac{(m+m+k-1)k}{2}=$$$$k(n-m)=1615$$   

     А) Ответ: да. Из формулы (1) при k = 5 будет n – m = 323 $$\Rightarrow$$ равенство (1) выполняется, например, при m = 1, n = 324.
     Б) Ответ: нет. При k = 6 в левой части равенства (1) четное число, а в правой – нечетное, что невозможно.
     В) Ответ: 1995. Из формулы (1): k(n-m)= 5*17*19. (2). По условию k > 1, и Маша в последний день сделала m+k-1<30 фотографий. Поэтому k<31-m, и в равенстве (2) k может быть равно 5, 17 или 19.
   1. k = 5. Наибольшее значение m, удовлетворяющее неравенству m+k-1<30 равно $$m_{max}=25\Rightarrow$$$$S_{max}^{m}=\frac{(25+29)5}{2}=135\Rightarrow$$$$S_{max}^{n}=135+1615=1750$$ 
   2. k = 17 $$\Rightarrow$$$$m_{max}=13\Rightarrow$$$$S_{max}^{m}=\frac{(13+29)17}{2}=357\Rightarrow$$$$S_{max}^{n}=357+1615=1972$$ 
   3. k = 19 $$\Rightarrow$$$$m_{max}=11\Rightarrow$$$$S_{max}^{m}=\frac{(11+29)19}{2}=380\Rightarrow$$$$S_{max}^{n}=380+1615=1995$$ 

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     А) Ответ: да,  $$\frac{445}{545}$$

     Б) Ответ: нет. Предположим , что нашлись c и d, удовлетворяющие условию задачи, для которых $$\frac{c}{d}=\frac{1}{423}$$.Если d - пятизначное число, а c - однозначное, то $$\frac{c}{d}<\frac{10}{10000}=$$$$\frac{1}{1000}<\frac{1}{423}(1)$$. Если c и d –трехзначные число,то $$\frac{c}{d}>\frac{100}{1000}=$$$$\frac{1}{10}>\frac{1}{423}(2)$$

   Значит ,c-двухзначное число, а d-четырехзначное . Заметим, что в случае $$\frac{c}{d}<\frac{10}{1000}=\frac{1}{10}(3)$$; $$c=\frac{d}{423}<\frac{10000}{423}<24$$. Проверяя равенство $$423c=d$$ для всех $$c\in[11;23]$$ (в каждом из случаев легко устанавливается несовпадение цифр чисел c и 423c), убеждаемся, что числа c и d, удовлетворяющих условию задачи ,не существует.

     В) Ответ: $$\frac{988}{989}$$. Из неравенства (1) – (3) следует, что c и d-трехзначные числа .

   Далее, так как $$\frac{c}{d}<1$$ должно быть наибольшим ,наименьшим должно быть значение $$\Delta =1-\frac{c}{d}=\frac{d-c}{d}$$. Если $$d-c\geq 2$$, $$\Delta >\frac{2}{1000}=\frac{1}{500}$$; если $$d-c=1,\Delta =\frac{1}{d}$$ и ,например, при c=544, d=545, $$\Delta =\frac{1}{545}<\frac{1}{500}$$.Значит $$d-c=1(4)$$

   Так как для записи c и d используются не равные нулю цифры, равенство (4) возможно лишь в случае , когда одна из цифр на 1 больше другой ,а первые две цифры через c и  d совпадают : $$c=\bar{baa}$$, $$d=\bar{bab}$$ или $$c=\bar{abb}(b=a+1)$$

   Поскольку значение $$\Delta =\frac{1}{d}$$ должно быть наименьшим ,c=988,d=989

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

a) Выпишем все числа: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21. Из них простых - 8: 2,3,5,7,11,13,17,19. Остальные составные $$\Rightarrow$$ делятся на 1 из предыдущих минимум 8

б) Т.к, необходимо взять 8 чисел есть несколько возможных вариантов. Можно взять все 8 простых и 4 составных. Но если взять 8 простых, то из 12 оставшихся только 3 нечетных, то есть минимум 1 четное $$\Rightarrow$$ делится на 2. Значит не подойдет.

Брать разные числа, но каждое из первых десяти чисел будет делителем хотя бы для одного из следующих 10^ти (т.к. однозначное, умноженное на 2,в любом случае не больше 20) $$\Rightarrow$$ из 12 чисел хотя бы 1 будет однозначным  $$\Rightarrow$$ делителем  $$\Rightarrow$$ ответ: нет.

в) сумма квадратов n-первых натуральных чисел: $$p(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{21\cdot22\cdot43}{6}=3311$$; т.к. 1 не входит, то 3310  $$\Rightarrow$$ в каждом по 1655. 

$$21^{2}+20^{2}+19^{2}+18^{2}=1526$$  $$\Rightarrow$$ осталось 129

$$10^{2}+5^{2}+2^{2}=129$$ $$\Rightarrow$$ в певрвой: 2,5,10,18,19,20,21

во второй: 3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,15,16,17.