ЕГЭ (профиль) / (C4) Планиметрическая задача

В трапеции $$ABCD$$ с меньшим основанием $$BC$$ точки $$E$$ и $$F$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AD$$ соответственно. В каждый из четырёхугольников $$ABEF$$ и $$ECDF$$ можно вписать окружность.

В трапеции $$ABCD$$ с меньшим основанием $$ВС$$ точки $$Е$$ и $$F$$ — середины сторон $$ВС$$ и $$AD$$ соответственно. В каждый из четырёхугольников $$ABEF$$ и $$ECDF$$ можно вписать окружность.

В трапеции $$ABCD$$ с меньшим основанием $$BC$$ точки $$E$$ и $$F$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AD$$ соответственно. В каждый из четырёхугольников $$ABEF$$ и $$ECDF$$ можно вписать окружность.

Окружность с центром в точке $$C$$ касается гипотенузы $$AB$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ и пересекает его катеты $$AC$$ и $$BC$$ в точках $$E$$ и $$F$$. Точка $$D$$ - основание высоты, опущенной из вершины $$C$$. $$I$$ и $$J$$ — центры окружностей, вписанных в треугольники $$BCD$$ и $$ACD$$.

Окружность с центром в точке $$C$$ касается гипотенузы $$AB$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ и пересекает его катеты $$AC$$ и $$BC$$ в точках $$E$$ и $$F$$. Точка $$D$$ — основание высоты, опущенной на $$AB$$. $$I$$ и $$J$$ — центры окружностей, вписанных в треугольники $$BCD$$ и $$ACD$$.

На сторонах $$AB$$ и $$CD$$ четырёхугольника $$ABCD$$, около которого можно описать окружность, отмечены точки $$K$$ и $$N$$ соответственно. Около четырёхугольников $$AKND$$ и $$BCNK$$ также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника $$ABCD$$ равен 0,25.

На сторонах $$AB$$ и $$CD$$ четырёхугольника $$ABCD$$, около которого можно описать окружность, отмечены точки $$K$$ и $$N$$ соответственно. Около четырёхугольников $$AKND$$ и $$BCNK$$ также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника $$ABCD$$ равен 0,2.

Прямая, перпендикулярная стороне $$B C$$ ромба $$A B C D$$, пересекает его диагональ $$A C$$ в точке $$M$$, а диагональ $$B D$$ в точке $$N$$, причём $$A M: M C=1: 2, B N: N D=1: 3$$.

Прямая, перпендикулярная стороне $$AB$$ ромба $$ABCD$$ пересекает его диагональ $$AC$$ в точке $$K$$, а диагональ $$BD$$ в точке $$L$$, причём $$AK:KC=1:3, BL:LD=2:1$$.

В прямоугольный треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$A$$ вписана окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$R$$. К этой окружности параллельно прямой $$AB$$ проведена касательная, которая пересекает стороны $$BC$$ и $$AC$$ в точках $$D$$ и $$E$$ соответственно. В треугольник $$CDE$$ вписана окружность с центром в точке $$O_1$$ и радиусом $$r$$. Прямые $$OO_1$$ и $$AB$$ пересекаются в точке $$P$$.

В прямоугольный треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$A$$ вписана окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$R$$. К этой окружности параллельно прямой $$AB$$ проведем касательная, которая пересекает стороны $$BC$$ и $$AC$$ в точках $$D$$ и $$E$$ соответственно В треугольник $$CDE$$ вписана окружность с центром в точке $$O_{1}$$ и радиусом $$r$$. Прямые $$OO_1$$ и $$AB$$ пересекаются в точке $$P$$.

В трапеции $$KLMN$$ с основаниями $$KN$$ и $$ML$$ провели биссектрисы углов $$LKN$$ и $$LMN$$, которые пересеклись в точке $$P$$. Через точку $$P$$ параллельно прямой $$KN$$ провели прямую, которая пересекла стороны $$LK$$ и $$MN$$ соответственно в точках $$A$$ и $$B$$. При этом $$AB=KL$$.

В трапеции $$KLMN$$ с основаниями $$KN$$ и $$ML$$ провели биссектрисы углов $$LKN$$ и $$LMN$$, которые пересеклись в точке $$P$$. Через точку $$P$$ параллельно прямой $$KN$$ провели прямую, которая пересекла стороны $$LK$$ и $$MN$$ соответственно в точках $$A$$ и $$B$$. При этом $$AB=KL$$.

На стороне $$BC$$ ромба $$ABCD$$ отметили точку $$E$$ так, что $$BE:EC=1:4$$. Через точку $$E$$ перпендикулярно $$BC$$ провели прямую, которая пересекает диагонали $$BD$$ и $$AC$$ в точках $$R$$ и $$M$$ соответственно, при этом $$BR: RD=1:3$$.

На стороне $$BC$$ ромба $$ABCD$$ отметили точку $$E$$ так, что $$BE:EC=1:3$$. Через точку $$E$$ перпендикулярно $$BC$$ провели прямую, которая пересекает диагонали $$BD$$ и $$AC$$ в точках $$R$$ и $$M$$ соответственно, при этом $$B R:RD=1:2$$.