ЕГЭ (профиль) / (C2) Стереометрическая задача

В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром 4 и стороной основания $$2\sqrt{3}$$ вписан шар. Плоскость $$\alpha$$ перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды $$SABCD$$ относится к боковому ребру как $$1:\sqrt{2}$$. Через вершину $$D$$ проведена плоскость $$\alpha$$, перпендикулярная боковому ребру $$SB$$ и пересекающая его в точке $$M$$.

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды $$SABCD$$ относится к боковому ребру как $$1:\sqrt{2}$$ . Через вершину $$D$$ проведена плоскость $$\alpha$$, перпендикулярная боковому ребру $$SB$$ и пересекающая его в точке $$M$$.

Грань $$ABCD$$ куба $$ABCDA_{1}B_{1}C_{l}D_{1}$$ является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью $$A_{1}B_{1}C_{1}$$ является круг, вписанный в четырёхугольник $$A_{1}B_{1}C_{l}D_{1}$$.

Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью $$A_1B_1C_1$$ является круг, вписанный в четырёхугольник $$A_1B_1C_1D_1$$: $$AB=a$$, $$AA_1=\sqrt{2}$$.

В основании прямой призмы $$A B C D A_1 B_1 C_1 D_1$$ лежит параллелограмм $$A B C D$$. На рёбрах $$A_1 B_1, B_1 C_1$$ и $$B C$$ отмечены точки $$M, K$$ и $$N$$ соответственно, причём $$B_1 K: K C_1=1: 3$$. Четырёхугольник $$A M K N-$$ равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4 .

В основании прямой призмы $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ лежит параллелограмм $$ABCD$$. На рёбрах $$A_1B_1, B_1C_1$$ и $$BC$$ отмечены точки $$M, K$$ и $$N$$ соответственно, причём $$B_1K:KC_1=2:3$$. Четырёхугольник $$AMKN$$ - равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 5.

Основанием правильной треугольной пирамиды $$PABC$$ является треугольник $$ABC$$, $$AP=1,3AB$$. Через точку $$A$$ перпендикулярно апофеме грани $$BCP$$ проведена плоскость $$\alpha$$.

Основанием правильной треугольной пирамиды $$PABC$$ является треугольник $$ABC$$, $$AP:AB=3:4$$. На апофеме грани $$BCP$$ отметили точку $$K$$, которая делит эту апофему в отношении $$1:4$$, считая от точки $$P$$. Через точки $$A$$ и $$K$$ параллельно прямой $$BC$$ проведена плоскость $$\alpha$$.

На рёбрах $$AB$$ и $$B_{1}C_{1}$$ правильной треугольной призмы $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$ отметили соответственно точки $$T$$ и $$K$$ так, что $$AT:TB=2:1$$ и $$B_{1}K=KC_{1}$$. Через точки $$K$$ и $$C$$ параллельно прямой $$TB_{1}$$ проведена плоскость $$\alpha$$.

На рёбрах $$AB$$ и $$A_{1}C_{1}$$ правильной треугольной призмы $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$ отметили соответственно точки $$T$$ и $$K$$ так, что $$AT:TB=1:2$$ и $$A_{1} K=K C_{1}$$. Через точки $$K$$ и $$C$$ параллельно прямой $$TA_{1}$$ проведена плоскость $$\alpha$$.

Основанием четырёхугольной пирамиды $$SABCD$$ является квадрат $$ABCD$$, ребро $$SA$$ перпендикулярно плоскости основания. Через середины рёбер $$BC$$ и $$CD$$ параллельно прямой $$SC$$ проведена плоскость $$\alpha$$.

Основанием четырёхугольной пирамиды $$SABCD$$ является квадрат $$ABCD$$, ребро $$SA$$ перпендикулярно плоскости основания и равно 6 . На ребре $$SA$$ отмечена точка $K$ такая, что $$KS=1,5$$. Через точку $$K$$ и середины рёбер $$BC$$ и $$CD$$ проведена плоскость $$\alpha$$.

Основанием четырёхугольной призмы $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ является прямоугольная трапеция $$ABCD$$, в которой $$\angle BAD=90^{\circ}$$, а основания $$AB$$ и $$CD$$ соответственно равны $$c$$ и $$b$$.