Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

ЕГЭ (профиль) / (C2) Стереометрическая задача

Задание 1154

Длина ребра пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра ABCD равна 1. Най­ди­те угол между пря­мы­ми DM и CL, где M — се­ре­ди­на ребра BC, L — се­ре­ди­на ребра AB.

Ответ: $$\arccos \frac{1}{6}$$

Задание 1155

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 1, а бо­ко­вые ребра равны 2, най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми SB и AD.

Ответ: $$\frac{1}{4}$$

Задание 1156

Сто­ро­на пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 равна 8. Вы­со­та этой приз­мы равна 6. Найти угол между пря­мы­ми CA1 и AB1.

Ответ: $$ \arccos 0.04$$

Задание 1157

В пи­ра­ми­де DABC пря­мые, со­дер­жа­щие ребра DC и AB, пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а) По­строй­те се­че­ние плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку E — се­ре­ди­ну ребра DB, и па­рал­лель­но DC и AB. До­ка­жи­те, что по­лу­чив­ше­е­ся се­че­ние яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б) Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми этого пря­мо­уголь­ни­ка, если DC = 24, AB =10.

Ответ: $$ \arccos \frac{119}{169} $$

Задание 1158

Точка E — се­ре­ди­на ребра CC1 куба ABCDA1B1C1D1. Най­ди­те угол между пря­мы­ми BE и B1D.

Ответ: $$ \arccos \frac{\sqrt{15}}{5}$$

Задание 1159

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной $$8\sqrt{2}$$. Высота призмы равна 6. Найдите угол между прямыми AC1 и CB1.

Ответ:

Задание 1160

На ребре CC1 куба ABCDA1B1C1D1 от­ме­че­на точка E так, что CE : EC1 = 1 : 2. Най­ди­те угол между пря­мы­ми BE и AC1.

Ответ: $$ \arccos \frac {2\sqrt{30}}{15}$$

Задание 1161

Бо­ко­вое ребро пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равно 6, а ко­си­нус угла ASB при вер­ши­не бо­ко­вой грани равен   $$\frac{1}{9}$$  Точка M — се­ре­ди­на ребра SC. Най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми BM и SA.

Ответ: $$\frac{1}{3\sqrt{41}}$$

Задание 1162

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD най­ди­те угол между вы­со­той тет­ра­эд­ра DH и ме­ди­а­ной BM бо­ко­вой грани BCD.

Ответ: $$\arccos \frac{\sqrt{2}}{3}$$

Задание 1163

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 1, а бо­ко­вые ребра равны 2, най­ди­те угол между пря­мы­ми SB и CD.

Ответ: 60°
 

Задание 2438

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре ВВ1 так, что ВМ:В1М=1:3.
Через точки М и С1 параллельно BD1 проведена плоскость β.
А) Докажите, что плоскость β проходит через середину ребра АА1.
Б) Найдите площадь сечения куба плоскостью β, если известно, что АВ=12.

Ответ: $$30\sqrt{26}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 2499

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 $$AB=2$$, $$AD=1$$, $$AA_{1}=3$$. Точка К лежит на ребре СС1 так, что $$CK\div C_{1}K=5\div 4$$.

А) Докажите,что прямые DB1 и D1K перпендикулярны.

Б) Найдите расстояние от точки D1 до полоски KA1D.

Ответ: $$\frac{18}{\sqrt{385}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
A) введем ортогональную систему координат: B1(0;0;3); D(1;2;0); K(1;0;$$\frac{5}{9}\cdot3$$); D1(1;2;3); $$\vec{B_{1}D}\left \{ 1;2;-3\right\}$$; $$\vec{K_{1}D}\left \{ 0;2;\frac{4}{3}\right\}$$; 

 

 

Задание 2830

Дана правильная пирамида PABCD с вершиной в точке Р. Через точку В
перпендикулярно прямой DP проведена плоскость Ω, которая пересекает DP в точке К.
А) Докажите, что прямые ВК и АС перпендикулярны.
Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью Ω, если известно, что сторона основания пирамиды равна 6 и высота пирамиды равна 6.

Ответ: $$12\sqrt{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 2867

Точки М, N и К принадлежат соответственно ребрам АD, AB и BC тетраэдра ABCD, причем АМ : МD = 2 :3, ВN : АN = 1 : 2, ВК = КС.
а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K.
б) Найдите отношение, в котором секущая плоскость делит ребро CD.

Ответ: $$3:1$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) В и М $$\in$$ (ABD) - соединяем В и K $$\in$$ (ABC) - соединяем $$BK\cap AC=P$$ M и P $$\in$$ (ADC) - соединяем $$\Rightarrow$$ $$MP\cap DC=Q$$ $$\Rightarrow$$ MQKN - искомая плоскость.

б) 1. Проведем  $$CO\parallel AB\Rightarrow \bigtriangleup BKN\sim \bigtriangleup COK$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BN}{CO}=\frac{BK}{CK}=\frac{NK}{KO}$$ $$\bigtriangleup POK\sim \bigtriangleup PNA$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{PC}{CA}=\frac{CO}{AN}=\frac{PO}{PN}$$

2. Возьмем $$\frac{BN}{CO}=\frac{BK}{CK}$$ и $$\frac{PC}{PA}=\frac{CO}{AN}$$ и умножим $$\frac{BN}{CO}\cdot\frac{CO}{AN}=\frac{BK}{CK}\cdot\frac{PC}{AP}$$ $$\Rightarrow$$ $$frac{BN}{AN}=\frac{BK}{CK}\cdot\frac{PC}{AP}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{y}{2y}=\frac{z}{z}\cdot\frac{PC}{AP}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{PC}{AP}=\frac{1}{2}$$

3. Аналогично $$\frac{DM}{AM}=\frac{CP}{AP}\cdot\frac{DQ}{QC}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{3x}{2x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{DQ}{QC}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{DQ}{QC}=\frac{3}{1}$$

 

Задание 2945

На диагонали АВ1 грани АВВ1А1 треугольной призмы взята точка М так, что АМ : МВ1 = 5 : 4.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку М, параллельно диагоналям А1С и ВС1 двух других граней.
б) Найдите в каком отношении плоскость сечения делит ребро СС1
Ответ: 2 : 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!