ЕГЭ Профиль
Задание 4063
а) Решите уравнение $$\sqrt{2}\sin^{3} x - \sqrt{2}\sin x + \cos^{2} x =0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[-\frac{5\pi}{2};-\pi]$$
А) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
$$\sqrt{2}\sin x(\sin ^{2}x -1)+(1-\sin^{2}x)=0\Leftrightarrow$$$$(\sin^{2}-1)(\sqrt{2}\sin x-1)=0$$
$$\left\{\begin{matrix}\sin^{2}x -1=0\\\sqrt{2}\sin x-1 =0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin^{2}x=1\\\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\sin x=\pm 1\\\sin x=(-1)^{n}\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{\pi}{2}+\pi k,k \in Z\\x_{2}=(-1)^{k}\frac{\pi}{4}+\pi n,n \in Z\end{matrix}\right.$$
Б) $$x_{1}:-\frac{5 \pi}{2}; -\frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2}:- 2\pi +\frac{\pi}{4}=-\frac{7\pi}{4}; -\pi- \frac{\pi}{4}=-\frac{5\pi}{4}$$
Задание 4064
а) Решите уравнение $$4\sin^{3} x=3\cos (x-\frac{\pi}{2})$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\frac{7\pi}{2};\frac{9\pi}{2}]$$
А) $$4 \sin ^{3}x=3 \cos(x-\frac{\pi}{2})\Leftrightarrow$$$$4 \sin ^{3}x=3 \cos(\frac{\pi}{2}-x)\Leftrightarrow$$$$4 \sin^{3}x=3 \sin x\Leftrightarrow$$$$4 \sin^{3}x-3 \sin x=0\Leftrightarrow$$$$\sin x(4 \sin^{2}x-3)=0$$
$$\left[\begin{matrix}\sin x=0\\4 \sin^{2}x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pi n,n \in Z\\\sin^{2}x=\frac{3}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pi n , n \in Z\\\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=\pi n, n\in Z\\x_{2}=(-1)^{n}\frac{\pi}{3}+\pi k, k \in Z\\x_{3}=(-1)^{m+1}+\pi m,m \in Z\end{matrix}\right.$$
Б) $$x_{1}: 4\pi$$
$$x_{2}:4\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{13\pi}{3}$$
$$x_{3}:4 \pi -\frac{\pi}{3}=\frac{11\pi}{3}$$
Задание 4065
а) Решите уравнение $$tg^{2} x+(1+\sqrt{3})tg x + \sqrt{3}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\frac{5\pi}{2};4\pi]$$
А) $$tg^{2}x+(1+\sqrt{3})tgx+\sqrt{3}=0$$
$$D=(1+\sqrt{3})^{2}-4\sqrt{3}=1+2\sqrt{3}+3-4\sqrt{3}=1-2\sqrt{3}+3=(1-\sqrt{3})^{2}$$
$$\left[\begin{matrix}tg x=\frac{-1-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1}{2}=-1\\tgx=\frac{-1-\sqrt{3}-\sqrt{3}+1}{2}=-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=-\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\\x_{2}=-\frac{\pi}{3}+\pi k, k \in Z \end{matrix}\right.$$
Б) $$x_{1}$$: $$3\pi -\frac{\pi}{4}=\frac{11\pi}{4};$$$$4\pi -\frac{\pi}{4}=\frac{15\pi}{4}$$
$$x_{2}$$:$$3\pi-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi}{3};$$ $$4\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{11\pi}{3}$$
Задание 4066
Решите уравнение: $$ |\cos x+ \sin x|= \sqrt{2}\sin 2x$$
А) Так как слева модуль, то ОДЗ (D): $$\sin 2x\geq 0$$
Возведем обе части в квадрат:
$$(\left | \cos x+\sin x \right |)^{2}=(\sqrt{2}\sin 2x)^{2}$$
$$\cos^{2}x+2\sin x \cos x+\sin^{2}x=2 \sin ^{2}2x$$
$$1+\sin 2x -2 \sin^{2}x=0$$
$$D=1+8-9$$
$$\left\{\begin{matrix}\sin 2x =\frac{-1+3}{-4} =-\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{-1-3}{-4}=1\end{matrix}\right.$$
$$\sin 2x=-\frac{1}{2} \notin D$$
$$\sin 2x=1\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+2 \pi k,k\in Z\Leftrightarrow$$$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,k \in Z$$