ЕГЭ Профиль
Задание 4002
а) Решите уравнение: $$8\sin^{2} x + 2\sqrt{3}\cos x +1=0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку:$$[-\frac{7\pi}{2};-2\pi]$$
А) Воспльзуемся основным тригонометрическим тождеством: $$1-\cos^{2}x=\sin^{2}x$$
$$8(1-\cos^{2}x)+2\sqrt{3} \cos x+1=0$$
Замена: $$\cos x=y; |y|\leq 0$$
$$8-8y^{2}+2\sqrt{3}y+1=0\Leftrightarrow$$$$-8y^{2}+2\sqrt{3}y+9=0 |*(-1)\Leftrightarrow$$$$8y^{2}-2\sqrt{3}y-9=0$$
$$D=(2\sqrt{3})^{2}+4*8*9=12+288=300$$
$$y_{1}=\frac{2\sqrt{3}+10\sqrt{3}}{16}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$$ - не подходит ($$|\cos x| \leq 1)$$.
$$y_{2}=\frac{2\sqrt{3}-10\sqrt{3}}{16}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow$$ $$x_{1,2}=\pm \frac{5 \pi}{6 }+2 \pi n, n\in Z$$
Б) На данном промежутке встречаются оба корня:
$$x_{2}: -3 \pi +\frac{\pi}{6}=-\frac{17 \pi}{6}$$
$$x_{1} :-3 \pi -\frac{\pi}{6}=-\frac{19 \pi}{6}$$
Задание 4003
а) Решите уравнение: $$2\sin^{4} x+3\cos 2x + 1=0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\pi;3\pi]$$
А) Воспользуемся формулой двойного аргумента: $$\cos 2x =1-2 \sin^{2}x$$
$$2 \sin^{4}x +3(1-2 \sin^{2}x)+1=0\Leftrightarrow$$$$2 \sin^{4}x+3-6 \sin^{2}x+1=0\Leftrightarrow$$$$2 \sin^{4}x -6 \sin^{2}x+4=0 |:2\Leftrightarrow$$$$\sin ^{4}x-3 \sin^{2}x+2=0.$$
Пусть $$\sin^{2}x=y, D:|y|\leq 1\Rightarrow$$$$y^{2}-3y+2=0$$
$$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=3 \\y_{1}*y_{2}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}=2 \notin D\\y_{2}=1\end{matrix}\right.$$
$$\sin^{2}x =1\Leftrightarrow$$ $$\sin x=\pm 1\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z.$$
Б) Отберем корни, принадлежащие данному промежутку:
$$\frac{3 \pi}{2}; \frac{5 \pi}{2}$$.
Задание 4017
$$\frac{2-3\sin x-\cos2x}{6x^{2}-\pi x-\pi^{2}}=0$$
ОДЗ: $$6x^{2}-\pi x-\pi^{2}\neq0$$
$$D=\pi^{2}+24\pi^{2}=25\pi^{2}$$
$$x_{1}\neq\frac{\pi+5\pi}{12}=\frac{\pi}{2}$$
$$x_{2}\neq\frac{\pi-5\pi}{12}=-\frac{\pi}{3}$$
$$2-3\sin x-\cos2x=0$$
$$2-3\sin x-1+2\sin^{2}x=0$$
$$D=9-8=1$$
$$\left\{\begin{matrix}\sin x=\frac{3+1}{4}=1\\\sin x=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$
$$\sin x=1$$
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z,n\neq0$$
$$sin x=\frac{1}{2}$$
$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$$
$$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$
Задание 4024
Решите уравнение: $$(2\sin x-1)(\sqrt{-\cos x}+1)=0$$
А) Подкоренное выражение неотрицательно , следовательно: $$D: -\cos x\geq 0\Leftrightarrow \cos x\leq 0$$
С другой стороны $$\sqrt{f}\geq 0\Rightarrow$$ $$\sqrt{-\cos x}+1>0$$ при всех возможных x. Тогда остается:
$$2 \sin x-1=0\Leftrightarrow$$ $$\sin x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{\pi}{6}+2 \pi n \notin D\\x_{2}=\frac{5 \pi}{6}+2 \pi n , n \in Z\end{matrix}\right.$$
Б) Найдем значение на заданном промежутке:
$$x_{2}: 3 \pi-\frac{\pi}{6}=\frac{17}{6}$$
Задание 4025
а) Решите уравнение: $$2\sqrt{3}\cos^{2} (\frac{3\pi}{2} +x) -\sin 2x =0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[ \frac{3\pi}{2};3\pi]$$
A) Воспользуемся формулой приведение и формулой двойного аргумента:
$$2\sqrt{3} \sin^{2}x-2 \sin x \cos x=0$$
$$2 \sin x(\sqrt{3}\sin x- \cos x)=0$$
$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\sqrt{3} \sin x-\cos x=0\left.\begin{matrix}: \cos x\end{matrix}\right|\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pi n , n\in Z\\\sqrt{3}tg x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pi n, n \in Z\\tg x=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pi n, n \in Z\\x_{2}=\frac{\pi}{6}+\pi k,k \in Z\end{matrix}\right.$$
Б) Найдем корни на заданом промежутке:
$$x_{1} :2\pi ;3\pi$$
$$x_{2}:2\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{13 \pi}{6}.$$
Задание 4026
а) Решите уравнение: $$\cos^{2} x - \frac{1}{2}\sin 2x + \cos x = \sin x$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\frac{\pi}{2};2\pi]$$
А) Воспользуемся формулой двойного аргумента:
$$\cos^{2}x-\frac{1}{2}*2\sin x\cos x+\cos x-\sin x=0$$
$$\cos x(\cos x-\sin x)+(\cos x-\sin x)=0$$
$$(\cos x-\sin x)(\cos x+1)=0$$
$$\left\{\begin{matrix}\cos x+1=0\\\cos x-\sin x=0\left.\begin{matrix}\end{matrix}\right| : \cos x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=-1\\1-tg x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pi+2\pi n, n \in Z\\tg x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pi+2 \pi n , n \in Z\\x_{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\end{matrix}\right.$$
Б) Найдем корни на заданном промежутке :
$$x_{1} :\pi$$
$$x_{2} :\pi +\frac{\pi}{4}=\frac{5 \pi}{4}$$
Задание 4027
а) Решите уравнение $$2\sin^{2} x- \sqrt{3}\sin 2x =0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\frac{3\pi}{2};3\pi]$$
А) Воспользуемся формулой двойного аргумента:
$$2 \sin^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x=0\Leftrightarrow$$$$2 \sin x(\sin x-\sqrt{3}\cos x)=0$$
$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\sin x-\sqrt{3}\cos x=0\left.\begin{matrix}\end{matrix}\right|:\cos x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pi n, n \in Z\\tg x-\sqrt{3}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pi n , n \in Z\\x_{2}=\frac{\pi}{3}+\pi k, k \in Z\end{matrix}\right.$$
Б) Найдем корни на заданном промежутке:
$$x_{1:} 2\pi ;3\pi; x_{2} :2 \pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}.$$
Задание 4028
а) Решите уравнение $$\sin 2x + \sqrt{2}\sin x = 2\cos x + \sqrt{2}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\pi;\frac{5\pi}{2}]$$
А) Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:
$$2\sin x\cos x+\sqrt{2}\sin x-2 \cos x-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow$$$$\sin x(2 \cos x+\sqrt{2})-(2 \cos x+\sqrt{2})=0\Leftrightarrow$$$$(2\cos x+\sqrt{2})(\sin x-1)=0$$
$$\left\{\begin{matrix}2\cos x+\sqrt{2}=0\\\sin x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\\cos \sin x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1,2}=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n , n \in Z\\x_{3}=\frac{\pi}{4}+2\pi k, k\in Z\end{matrix}\right.$$
Б) Найдем корни на данном промежутке:
$$x_{1}:$$ нет
$$x_{2} :\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$$
$$x_{3}=\frac{5\pi}{2}$$
Задание 4029
а) Решите уравнение $$\cos 2x -3\cos x +2=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}]$$
А) Воспользуемся формулой косинуса двойного аргумента:
$$2 \cos^{2}x-1-3 \cos x+2=0$$
Замена: $$y=\cos x\Rightarrow \left | y \right |\leq 1$$
$$2 y^{2}-3y+1=0$$
$$D=9-8=1$$
$$\left\{\begin{matrix}y_{1}=\frac{3+1}{4}=1\\y_{2}=\frac{3+1}{4}=0,5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\cos x=1\\\cos x=0,5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=2 \pi n\\x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi k,n,k\in Z\end{matrix}\right.$$
Б) Найдем корни на промежутке: $$[-4 \pi -\frac{5\pi}{2}]$$
Для корня $$2\pi k: -4\pi$$
Для корня $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ :нет
Для корня $$\frac{\pi}{3}+2 \pi n$$: $$-4 \pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{11\pi}{3}$$.
Задание 4030
а) Решите уравнение $$2\cos^{3} x -\cos^{2} x +2\cos x -1=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[2\pi;\frac{7\pi}{2}]$$
А) Сгруппируем слагаемые:
$$\cos^{2} x(2 \cos x-1)+(2\cos x-1)=0$$
$$(2 \cos x-1)(\cos^{2}x+1)=0$$
Т.к. $$\cos^{2}x\geq 0$$ при любом x,тогда $$\cos ^{2}+1>0$$, при любом x.
$$2\cos x-1=0 \Leftrightarrow$$ $$\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n,n\in Z$$
Б) На заданном промежутке корни $$\frac{\pi}{3}+2 \pi n$$: $$2\pi +\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}$$
$$-\frac{\pi}{3}+2 \pi n$$: нет
Задание 4031
а) Решите уравнение $$\cos 2x - \sin^{2} (\frac{\pi}{2}-x) = -0,25$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\pi; \frac{5\pi}{2}]$$
A) Воспользуемся формулой косинуса двойного аргумента:
$$2 \cos ^{2}x-1-\cos ^{2}x+0,25=0\Leftrightarrow$$$$\cos^{2}x-0,75=0\Leftrightarrow$$$$\cos^{2}x=\frac{3}{4}$$
$$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n\\x=\pm \frac{5\pi}{6}+2 \pi k, k ,n \in Z\end{matrix}\right.$$
Б) Найдем корни на заданном промежутке :
$$-\frac{5 \pi}{6}+2\pi n$$ : $$\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$$
$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n$$: $$2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$$
$$\frac{\pi}{6}+2\pi n 2$$:$$\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{19\pi}{6}$$
$$\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$: нет
Задание 4032
Дано уравнение $$2\cos^{2} x +2\sin 2x = 3$$
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}]$$
А) Воспользуемся формулами синуса двойного аргумента и основным тригонометрическим тождеством:
$$2\cos^{2}x+2 *2\sin x \cos x-3(\sin^{2}x+\cos^{2}x)=0\Leftrightarrow$$$$-\cos^{2}x+4 \sin x\cos x-3 \sin^{2}x=0| :(-\cos^{2})x\Leftrightarrow$$$$3tg^{2}x-4 tg x+1=0$$
$$D=16-12=4$$
$$\left\{\begin{matrix}tg x=\frac{4+2}{6} =1\\tg x=\frac{4-2}{6} =\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n ,n\in Z\\x=arctg \frac{1}{3}+\pi k, k\in Z\end{matrix}\right.$$
Б) Найдем корни на заданном промежутке :
$$arctg \frac{1}{3}+\pi k$$: $$-\pi+arctg \frac{1}{3 }$$
$$\frac{\pi}{4}+\pi n$$: $$-\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi }{4}$$
Задание 4033
а) Решите уравнение $$\sin x + (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\pi;\frac{5\pi}{2}]$$
А) Уберем скобки, использую формулу сокращенного умножения:
$$\sin x+\cos^{2}\frac{x}{2}-\sin^{2}\frac{x}{2}=0$$
Воспользуемся формулой косинуса двойного аргумента:
$$\sin x+\cos x=0|:\cos x \neq 0\Leftrightarrow$$$$tg x+1=0$$$$tgx=-1\Leftrightarrow$$ $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, n \in Z$$
Б) $$2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}$$
Задание 4034
а) Решите уравнение $$\sin 2x -2\sqrt{3}\cos^{2} x - 4\sin x + 4\sqrt{3}\cos x = 0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\pi ; \frac{5\pi}{2}]$$
А) Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:
$$2 \sin x \cos x-2\sqrt{3}\cos^{2}x-4 \sin x+4\sqrt{3} \cos x=0\Leftrightarrow$$$$2 \sin x(\cos x-2)-2\sqrt{3}\cos x(\cos x-2)=0\Leftrightarrow$$$$(2 \sin x-2\sqrt{3} \cos x)(\cos x-2)=0$$
$$\left\{\begin{matrix}2 \sin x-2\sqrt{3}\cos x=0\\\cos x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}tg x-\sqrt{3} =0\\ \varnothing , \left | \cos x \right |\leq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$tg x=\sqrt{3}\Leftrightarrow x =\frac{\pi}{3}+\pi n, n \in Z$$
Б) $$\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$$
$$2\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}$$
Задание 4062
а) Решите уравнение $$\cos^{2} \frac{x}{2} -\sin^{2} \frac{x}{2} =\sin(\frac{\pi}{2}-2x)$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\pi;\frac{5\pi}{2}]$$
А) Воспользуемся формулами косинуса двойного агрумента и приведения:
$$\cos 2*\frac{x}{2}=\cos 2x\Leftrightarrow$$$$\cos x=2 \cos ^{2}x -1=0\Leftrightarrow$$$$2 \cos ^{2}x =\cos x-1=0$$
$$D=1+8=9$$
$$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{1+3}{4} =1\\\cos x=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=2 \pi n, n \in Z\\x=\pm \frac{2\pi}{3}+2 \pi k, k \in Z\end{matrix}\right.$$
Б) $$2 \pi n$$: $$2\pi$$
$$- \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ :$$\pi + \frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$$