ЕГЭ (профиль) / (C1) Уравнения

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$18^{x}-9^{x+1}-2^{x+2}+36=0$$ $$18^{x}-9\cdot9^{x}-4\cdot2^{x}+36=0$$ $$9^{x}\cdot(2^{x}-9)-4\cdot(2^{x}-9)=0$$ $$(2^{x}-9)\cdot(9^{x}-4)=0$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\log_{2}9\in [2;4]\\x=\log_{9}4\notin [2;4]\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$(2\sin^{2}x-3\sin x+1)\sqrt{\tan x}=0$$ $$\tan x\geq 0$$ $$\Rightarrow x\in [\pi n; \frac{\pi}{2}+\pi n]$$ $$n\in Z $$ $$\left\{\begin{matrix}(2\sin^{2}x-3\sin x+1)=0\\\tan x=0\end{matrix}\right.$$ $$x=\pi k, k\in Z$$ $$D=9-8=1$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin x=\frac{3+1}{4}=1\\\sin x=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\\x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\\x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\end{matrix}\right.$$ 1 и 2 $$\notin$$ ОДЗ

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\cos x+\frac{1}{\cos x}+\cos^{2}x+\frac{1}{\cos^{2}x}-1=\frac{3}{4}$$

$$\cos x+\frac{1}{\cos x}+\cos^{2}x+\frac{1}{\cos^{2}x}=\frac{7}{4}$$

Пусть $$\cos x+\frac{1}{\cos x}=y$$

$$y^{2}=\cos^{2}x+2+\frac{1}{\cos^{2}x}$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\cos^{2}x+\frac{1}{\cos^{2}x}=y^{2}-2$$

$$y+y^{2}-2-\frac{7}{4}=0$$

$$y^{2}+y-\frac{15}{4}=0$$

$$D=1+15=16$$

$$y_{1}=\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2}$$

$$y_{1}=\frac{-1-4}{2}=-\frac{5}{2}$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x+\frac{1}{\cos x}=\frac{3}{2}\\\cos x+\frac{1}{\cos x}=-\frac{5}{2}\end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2\cos^{2}x+2-3\cos x=0\\2\cos^{2}x+2-5\cos x=0\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}D<0\Rightarrow\varnothing\\D=25-16=9\end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{-5+3}{4}=-\frac{1}{2}\\\cos x=\frac{-5-3}{4}=-2\end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k, k\in Z\\\varnothing \end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\log_{2}\sin x\cdot\log_{\sin x}\cos^{2}x=-1$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin x>0\\\cos^{2}x>0\\\sin x\neq1\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}x\in(2\pi n;\pi+2\pi n)\\x\neq\frac{\pi}{2}+\pi n\end{matrix}\right.$$ $$\frac{1}{\log_{\sin x}2}\cdot\log_{\sin x}\cos^{2}x=-1$$ $$\frac{\log_{\sin x}\cos^{2}x}{\log_{\sin x}2}=-1$$ $$\log_{2}\cos^{2}x=-1$$ $$\cos^{2}x=\frac{1}{2}$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n\\x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n\end{matrix}\right.$$ $$n\in Z$$ С учетом ОДЗ: $$x_{1}=\frac{\pi}{4}+2\pi n$$ $$x_{2}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$ б) $$4\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{17\pi}{4}$$ $$5\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{19\pi}{4}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$3\tan x-4\neq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\tan x\neq\frac{4}{3}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\neq\arctan\frac{4}{3}+\pi n$$, $$n\in Z$$ Если $$\tan x\neq\frac{4}{3}$$, то $$\sin x\neq\frac{4}{5}$$; $$\cos x\neq\frac{3}{5}$$ или $$\sin x\neq-\frac{4}{5}$$; $$\cos x\neq-\frac{3}{5}$$ $$25\sin2x-2=0$$ $$\sin2x=\frac{24}{25}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\arcsin\frac{24}{25}}{2}+\pi n\\x=\frac{\pi}{2}-\frac{\arcsin\frac{24}{25}}{2}+\pi n\end{matrix}\right.$$ $$n\in Z$$ $$\sin2x=2\sin x\cos x=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25}$$ Имеем совпадение, нужно сравнивать с ОДЗ

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\cos3x=\sqrt{3}\sin4x+\cos5x$$ $$\cos3x-\cos5x=\sqrt{3}\sin4x$$ $$2\sin\frac{3x+5x}{2}\sin\frac{5x-3x}{2}-\sqrt{3}\sin4x=0$$ $$2\sin4x\cdot\sin x-\sqrt{3}\sin4x=0$$ $$\sin4x(2\sin x-\sqrt{3})=0$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin4x=0\\2\sin x=\sqrt{3}\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}4x=\pi n,n\in Z\\x=\frac{\pi}{3}+2\pi k\\x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,k\in Z\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi n}{4},n\in Z\\x=(-1)^{n}\frac{\pi}{3}+2\pi k,k\in Z\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

a) $$8^{x}+3=3\cdot4^{x}+2^{x}$$

$$2^{3x}-3\cdot2^{2x}-2^{x}+3=0$$

Пусть $$2^{x}=y>0$$

$$y^{3}-3y^{2}-y+3=0$$

$$y(y^{2}-1)-3(y^{2}-1)=0$$

$$(y^{2}-1)(y-3)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}y^{2}=1\\y=3\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}y=1\\y=-1\\y=3\end{matrix}\right.$$

1) $$2^{x}=1$$

$$x=0$$

2) $$2^{x}=-1$$ - нет решений

3) $$2^{x}=3$$

$$x=\log_{2}3$$

б) Сравним: $$\log_{2}3$$ и $$\frac{3}{2}$$

$$\frac{3}{2}=\log_{2}2^{\frac{3}{2}}=\log_{2}\sqrt{8}$$

$$\log_{2}3=\log_{2}\sqrt{9}$$

$$\log_{2}\sqrt{9}>\log_{2}\sqrt{8}$$ $$\Rightarrow$$

$$\log_{2}3\notin[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}]$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$7\sin(2x-\frac{5\pi}{2})+9\cos x+1=0$$

$$-7\sin(\frac{5\pi-2x}{2})+9\cos x+1=0$$

$$-7\cos2x+9\cos x+1=0$$

$$-7(2\cos^{2}x-1)+9\cos x+1=0$$

$$-14\cos^{2}x+7+9\cos x+1=0$$

$$14\cos^{2}x-9\cos x-8=0$$

$$D=81+448=529=23^{2}$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{9+23}{2\cdot14}=\frac{16}{14}\\\cos x=\frac{9-23}{2\cdot14}=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\varnothing;|\cos x|\leq1\\x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$

б) $$-\pi-\frac{\pi}{3}=-\frac{4\pi}{3}$$

$$-\pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}$$

$$\sin 8\pi x+1=\cos 4\pi x+\sqrt{2}* \cos (4\pi x -\sin \frac{\pi}{4})$$

Воспользуемся формулой косинуса разности: $$\cos (4 \pi x-\frac{\pi}{4})=$$$$\cos 4\pi x* \cos \frac{\pi}{4}+ \sin 4 \pi x * \sin\frac{\pi}{4}=$$$$\frac{\sqrt{2}}{2}* \cos 4 \pi x +\frac{\sqrt{2}}{2}* \sin 4 \pi x$$

$$\sin 8 \pi x+1= \cos 4 \pi x +\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}* \cos 4 \pi x+\frac{\sqrt{2}}{2}* \sin 4 \pi x)$$

$$\sin (2* 4 \pi x)+1=\cos 4 \pi x+ \cos 4 \pi x+\sin 4 \pi x$$

$$2 \sin 4 \pi x* \cos 4 \pi x +1-2 \cos 4 \pi x- \sin 4 \pi x=0$$

$$2 \cos 4 \pi x(\sin 4 \pi x-1)+(1-\sin 4 \pi x)=0$$

$$(\sin 4\pi x-1)(2 \cos 4 \pi x-1)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin 4 \pi x-1 =0\\2 \cos 4 \pi x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin 4 \pi x=1\\\cos 4 \pi x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}4 \pi x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n\in Z\\4 \pi x=\frac{\pi}{3}+2 \pi n,\\4 \pi x=-\frac{\pi}{3}+2 \pi x, \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{1}{8} +\frac{n}{2}\\x_{2}=\frac{1}{12} +\frac{n}{2}\\x_{3}=-\frac{1}{12} +\frac{n}{2}, n\in Z\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим значение $$\sqrt{7}: \sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}\Rightarrow 2<\sqrt{7}<3$$

рассмотрим корни: $$x_{1}: 2-\sqrt{7}<\frac{1}{8}+\frac{n}{2}<\sqrt{7}-2$$

$$\frac{15}{8}-\sqrt{7}< \frac{n}{2}<\sqrt{7}-\frac{17}{8}$$

$$\frac{15}{4}-2\sqrt{7}<n< 2\sqrt{7}-\frac{17}{4}$$

Тогда n=-1 ;0; 1; следовательно $$x_{1}=-\frac{3}{8};\frac{1}{8};\frac{5}{8}$$

Аналогично рассуждая для $$x_{2}=-\frac{5}{12};\frac{1}{12};\frac{7}{12};$$

И для $$x_{3}=-\frac{7}{12};-\frac{1}{12};\frac{5}{12};$$

a) $$\cos (\frac{\pi }{2}+2 x)=\sqrt{2} \sin x$$
$$-\sin 2x-\sqrt{2} \sin x=0$$
$$-2 \sin x* \cos x-\sqrt{2} \sin x=0$$
$$- \sin x(2 \cos x+\sqrt{2})=0$$
$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\2 \cos x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x=\pi n\\x=\pm \frac{\pi}{4}+2 \pi k, k\in Z\end{matrix}\right.$$

b)1) $$-5 \pi; -4 \pi$$
2) $$-5 \pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{19 \pi}{4}$$

$$\cos 2x-\sqrt{2} \cos (\frac{3 \pi}{2}+x)-1=0$$

Воспользуемся формулой двойного аргумента и привидения:

$$\cos 2x=1-2 \sin ^{2}x$$ 

$$\cos (\frac{3 \pi}{2}+x)=\sin x$$

Получим:

$$1-2 \sin ^{2}x -\sqrt{2} \sin x=0$$

$$-2 \sin^{2}x-\sqrt{2} \sin x=0$$

$$\sin x(2 \sin x+\sqrt{2})=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{\pi}{2}+2 \pi n , n \in Z\\x_{2}=-\frac{\pi}{4}+2 \pi n\\x_{3}=-\frac{3\pi}{4}+2 \pi n\end{matrix}\right.$$

c) на данном промежутке встречается корень: $$x_{1}: \frac{3 \pi}{2}$$ и $$x_{2} :2\pi -\frac{\pi}{4}=\frac{7 \pi}{4}$$