ЕГЭ Профиль
Задание 6874
Найдите наименьшее значение выражения x2-x+y2-y
Рассмотрим выражение по частям : Пусть $$f(x)=x^{2}-x$$; $$g(y)=y^{2}-y$$ (функции одинаковы, следовательно, минимальные значения будут так же одинаковы) $$f_{min}=f(x_{0}); x_{0}=-\frac{-1}{2}=0,5$$$$\Rightarrow$$ $$f(x_{0})=0,5^{2}-0,5=-0,25$$ $$g(y_{0})=0,5^{2}=0,5=-0,25$$$$\Rightarrow$$ $$f_{min}+g_{min}=-0,25-0,25=-0,5$$
Задание 6922
Найдите наименьшее значение функции $$y=3x^{4}+4x^{3}-12x^{2}-12$$ на отрезке [-0,5;2].
Найдем производную и приравняем ее к нулю: $${f}'(x)=12 x^{3}+12x^{2}-24x=0\Leftrightarrow$$ $$12x(x^{2}+x-2)=0\Leftrightarrow$$ $$x(x+2)(x-1)=0$$.
На промежутке [-0,5;2] x=1 - точка минимума, следовательно, наименьшее значение функция принимает в этой точке: $$f_{min}=f(1)=3+4-12=-17$$
Задание 6970
Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=4^{x}-2^{x+4}+100$$
$$f(x)=4^{x}-2^{x+4}+100=2^{2x}-16*2^{x}+100$$ Пусть $$2^{x}=y>0$$, тогда $$f(y)=y^{2}-16y+100$$ - график парабола, ветви направлены вверх: Найдем вершину параболы (в ней будет $$f_{min}(y)$$ при y>0): $$y_{0}=-\frac{-16}{2}=8\Rightarrow$$ $$f(18)=8^{2}-16*8+100=36$$
Задание 7017
Найдите наибольшее значение функции $$y=(27-x)\sqrt{x}$$ на отрезке [1;16]
Найдем производную и приравняем к 0: $${y}'={(27-x)}'\sqrt{x}+({x}')(27-x)=0\Leftrightarrow$$ $$-1*\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}(27-x)=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{-2x+27-x}{2\sqrt{x}}=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{-3x+27}{2\sqrt{x}}=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=9\\x>0\end{matrix}\right.$$
x=9 – точка максимума , тогда $$y_{max}=y(9)=(27-9)\sqrt{9}=54$$
Задание 7037
Найдите точку максимума функции $$y=x^{2}e^{x}$$
$$y=x^{2}*e^{x}\Rightarrow$$ $${y}'={(x^{2})}'e^{x}+{e^{x}}'*x^{2}=$$$$2xe^{x}+e^{x}*x^{2}\Leftrightarrow$$ $$e^{x}(2x+x^{2})=0$$
Т.к. $$e^{x}>0$$ при любом x $$\Rightarrow$$ $$x(2+x)=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=0 \rightarrow min\\x=-2\rightarrow max\end{matrix}\right.$$
Задание 7058
Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=(x^{2}-4)e^{x}$$ на отрезке [0;2]
Найдем производную данной функции и приравняем к 0: $${f}'(x)={(x^{2}-4)}'e^{x}+{(e^{x})}'(x^{2}-4)=0\Leftrightarrow$$ $$2xe^{x}+e^{x}(x^{2}-4)=0\Leftrightarrow$$ $$e^{x}(x^{2}+2x-4)=0\Leftrightarrow$$ $$D=4+16=20$$; $$x_{1,2}=\frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2}=-1 \pm \sqrt{5}$$
на отрезке [0; 2] есть точка минимума ($$x=-1+\sqrt{5}$$), следовательно, наибольшее значение функция принимает в одном из концов:
Задание 7105
Найдите точку минимума функции $$f(x)=2\sqrt[3]{x^{2}}-\frac{\sqrt[3]{x^{4}}}{4}$$
Найдем производную для данной функции : $${y}'=(2*\sqrt[3]{x^{2}}-\frac{\sqrt[3]{x^{4}}}{4})=$$$$2{(x^{\frac{2}{3}})}'-\frac{1}{4}{(x^{\frac{4}{3}})}'=$$$$2*\frac{2}{3}*x^{-\frac{1}{3}}-\frac{1}{4}*\frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}=0\Leftrightarrow$$$$\frac{4}{3} *\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{3}*\sqrt[3]{x}=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{1}{3}(\frac{4}{\sqrt[3]{x}}-\sqrt[3]{x})=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{4-\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x}}=0\Leftrightarrow$$ $$\sqrt[3]{x^{2}}=4\Leftrightarrow$$ $$x^{2}=64\Leftrightarrow$$ $$x=\pm 8$$ Тогда $$x=0$$ –точка минимума
Задание 7178
Найдите наибольшее значение функции $$y=(x-1)*2^{x}$$ на отрезке [2; 6]
1) Найдем производную функции и приравняем к 0 : $$y^{'}=(x-1)^{'}2^{x}+(x-1)(2^{x})^{'}=2^{x}+(x-1)2^{x}\ln 2=0\Leftrightarrow$$$$2^{x}(1+(x-1)\ln 2)=0\Leftrightarrow$$ $$1+(x-1)\ln 2=0\Leftrightarrow$$ $$x-1=\frac{-1}{\ln 2}\Leftrightarrow$$ $$x=-\frac{1}{\ln 2}-1=-\log_{2}e-1=$$$$\log_{2}\frac{1}{e}-1=$$$$\log_{2}\frac{1}{2e}<0\Rightarrow$$ на промежутке [2 ;6] $$y_{max}=y(6)=(6-1)2^{6}=320$$
2) Можно решить рассуждением:
На промежутке [2; 6] : y=(x-1) и возрастает $$y=2^{x} \Rightarrow$$ $$y=(x-1)2^{x}\Rightarrow$$ $$y_{max}=y(6)$$
Задание 7198
Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=2-\sqrt[4]{x^{2}-10x+41}$$
Наибольшее значение f(x) будет при наименьшем $$g(x)=\sqrt{x^{2}-10x+41}$$. При этом $$m(x)=x^{2}-10x+41$$ принимает наименьшее значение (а, следовательно, и $$g(x)$$ ) в вершине параболы: $$x_{0}=-\frac{-10}{2}=5\Rightarrow$$$$m(x_{0})=5^{2}-10*5+41=16 \Rightarrow$$ $$g(x_{0})=\sqrt[4]{16}=2\Rightarrow$$ $$f(x)_{min}=2-2=0$$
Задание 7219
Найдите точку минимума функции $$y=x^{3}\cdot e^{x}$$
Найдем производную данной функции и приравняем к 0 : $$y^{'}=(x^{3})^{'}e^{x}+(e^{x})^{'}x^{3}=0\Leftrightarrow$$ $$3x^{2}e^{x}+e^{x}x^{3}=0\Leftrightarrow$$ $$x^{2}e^{x}(3+x)=0\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=0\\x=-3\end{matrix}\right.$$
x=-3 точка минимума
Задание 7321
Найдите наименьшее значение функции $$y=-\frac{4x^{2}+4x+7}{4x^{2}+4x+3}$$
Преобразуем данную функцию: $$y=-\frac{4x^{2}+4x+7}{4x^{2}+4x+3}=$$$$-(1+\frac{4}{4x^{2}+4x+3})=$$$$-1-\frac{4}{4x^{2}+4x+3}$$
Найдем производную: $$y^{'}=-\frac{4^{'}(4x^{2}+4x+3)-(4x^{2}+4x+3)^{'}*4}{(4x^{2}+4x+3)^{2}}=0$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{(8x+4)*4}{4x^{2}+4x+3}=0$$$$\Rightarrow$$ $$8x+4=0\Rightarrow$$ $$x=-\frac{1}{2}$$
$$y(-2)=-\frac{4*\frac{1}{4}+4(-\frac{1}{2})+7}{4*\frac{1}{4}+4(-\frac{1}{2})+3}=$$$$-\frac{6}{2}=-3$$
Задание 7512
В какой точке отрезка [12;22] первообразная F(x) для функции $$f(x)=-1-\ln^{2}(x-2)$$ достигает своего наименьшего значения на этом отрезке?
Заметим, что функция $$g(x)=-\ln^{2}(x-2)$$ меньше или равна при любых значениях х (так как натуральный логарифм в квадрате и перед ним стоит знак "-"), следовательно, $$f(x)=-1-\ln^{2}(x-2)$$ отрицательна при любом х. При этом данная функция является функцией производной для первообразной F(x). То есть производная отрицательна на всем промежутке по х, следовательно, сама функция F(x) убывает на нем. Тогда наименьшее значение будет в конце промежутка, то есть в точке 22