Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

ЕГЭ (профиль) / Наибольшее и наименьшее значение функций

 

Задание 6874

Найдите наименьшее значение выражения x2-x+y2-y

Ответ: -0,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Рассмотрим выражение по частям : Пусть $$f(x)=x^{2}-x$$; $$g(y)=y^{2}-y$$ (функции одинаковы, следовательно, минимальные значения будут так же одинаковы) $$f_{min}=f(x_{0}); x_{0}=-\frac{-1}{2}=0,5$$$$\Rightarrow$$ $$f(x_{0})=0,5^{2}-0,5=-0,25$$ $$g(y_{0})=0,5^{2}=0,5=-0,25$$$$\Rightarrow$$ $$f_{min}+g_{min}=-0,25-0,25=-0,5$$

 

Задание 6922

Найдите наименьшее значение функции $$y=3x^{4}+4x^{3}-12x^{2}-12$$ на отрезке [-0,5;2].

Ответ: -17
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную и приравняем ее к нулю: $${f}'(x)=12 x^{3}+12x^{2}-24x=0\Leftrightarrow$$ $$12x(x^{2}+x-2)=0\Leftrightarrow$$ $$x(x+2)(x-1)=0$$.

На промежутке  [-0,5;2] x=1 - точка минимума, следовательно, наименьшее значение функция принимает в этой точке: $$f_{min}=f(1)=3+4-12=-17$$

 

Задание 6970

Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=4^{x}-2^{x+4}+100$$

Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$f(x)=4^{x}-2^{x+4}+100=2^{2x}-16*2^{x}+100$$ Пусть $$2^{x}=y>0$$, тогда $$f(y)=y^{2}-16y+100$$ - график парабола, ветви направлены вверх: Найдем вершину параболы (в ней будет $$f_{min}(y)$$ при y>0): $$y_{0}=-\frac{-16}{2}=8\Rightarrow$$ $$f(18)=8^{2}-16*8+100=36$$

 

Задание 7017

Найдите наибольшее значение функции $$y=(27-x)\sqrt{x}$$ на отрезке [1;16]

Ответ: 54
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Найдем производную и приравняем к 0: $${y}'={(27-x)}'\sqrt{x}+({x}')(27-x)=0\Leftrightarrow$$ $$-1*\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}(27-x)=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{-2x+27-x}{2\sqrt{x}}=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{-3x+27}{2\sqrt{x}}=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=9\\x>0\end{matrix}\right.$$

     x=9 – точка максимума , тогда $$y_{max}=y(9)=(27-9)\sqrt{9}=54$$

 

Задание 7037

Найдите точку максимума функции $$y=x^{2}e^{x}$$

Ответ: -2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=x^{2}*e^{x}\Rightarrow$$ $${y}'={(x^{2})}'e^{x}+{e^{x}}'*x^{2}=$$$$2xe^{x}+e^{x}*x^{2}\Leftrightarrow$$ $$e^{x}(2x+x^{2})=0$$

Т.к. $$e^{x}>0$$ при любом x $$\Rightarrow$$ $$x(2+x)=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=0 \rightarrow min\\x=-2\rightarrow max\end{matrix}\right.$$

 

Задание 7058

Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=(x^{2}-4)e^{x}$$ на отрезке [0;2]

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   Найдем производную данной функции и приравняем к 0: $${f}'(x)={(x^{2}-4)}'e^{x}+{(e^{x})}'(x^{2}-4)=0\Leftrightarrow$$ $$2xe^{x}+e^{x}(x^{2}-4)=0\Leftrightarrow$$ $$e^{x}(x^{2}+2x-4)=0\Leftrightarrow$$ $$D=4+16=20$$; $$x_{1,2}=\frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2}=-1 \pm \sqrt{5}$$

   на отрезке [0; 2] есть точка минимума ($$x=-1+\sqrt{5}$$), следовательно, наибольшее значение функция принимает в одном из концов:

$$f(0)=(0^{2}-4)e^{0}=-4$$
$$f(2)=(4-4)e^{2}=0\Rightarrow$$ $$f_{max}=0$$
 

Задание 7105

Найдите точку минимума функции $$f(x)=2\sqrt[3]{x^{2}}-\frac{\sqrt[3]{x^{4}}}{4}$$

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную для данной функции : $${y}'=(2*\sqrt[3]{x^{2}}-\frac{\sqrt[3]{x^{4}}}{4})=$$$$2{(x^{\frac{2}{3}})}'-\frac{1}{4}{(x^{\frac{4}{3}})}'=$$$$2*\frac{2}{3}*x^{-\frac{1}{3}}-\frac{1}{4}*\frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}=0\Leftrightarrow$$$$\frac{4}{3} *\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{3}*\sqrt[3]{x}=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{1}{3}(\frac{4}{\sqrt[3]{x}}-\sqrt[3]{x})=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{4-\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x}}=0\Leftrightarrow$$ $$\sqrt[3]{x^{2}}=4\Leftrightarrow$$ $$x^{2}=64\Leftrightarrow$$ $$x=\pm 8$$ Тогда $$x=0$$ –точка минимума

 

Задание 7178

Найдите наибольшее значение функции $$y=(x-1)*2^{x}$$ на отрезке [2; 6]

Ответ: 320
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     1) Найдем производную функции и приравняем к 0 : $$y^{'}=(x-1)^{'}2^{x}+(x-1)(2^{x})^{'}=2^{x}+(x-1)2^{x}\ln 2=0\Leftrightarrow$$$$2^{x}(1+(x-1)\ln 2)=0\Leftrightarrow$$ $$1+(x-1)\ln 2=0\Leftrightarrow$$ $$x-1=\frac{-1}{\ln 2}\Leftrightarrow$$ $$x=-\frac{1}{\ln 2}-1=-\log_{2}e-1=$$$$\log_{2}\frac{1}{e}-1=$$$$\log_{2}\frac{1}{2e}<0\Rightarrow$$ на промежутке [2 ;6] $$y_{max}=y(6)=(6-1)2^{6}=320$$

     2) Можно решить рассуждением:

На промежутке [2; 6] : y=(x-1) и возрастает $$y=2^{x} \Rightarrow$$ $$y=(x-1)2^{x}\Rightarrow$$ $$y_{max}=y(6)$$

 

Задание 7198

Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=2-\sqrt[4]{x^{2}-10x+41}$$

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   Наибольшее значение f(x) будет при наименьшем $$g(x)=\sqrt{x^{2}-10x+41}$$. При этом $$m(x)=x^{2}-10x+41$$ принимает наименьшее значение (а, следовательно, и $$g(x)$$ ) в вершине параболы: $$x_{0}=-\frac{-10}{2}=5\Rightarrow$$$$m(x_{0})=5^{2}-10*5+41=16 \Rightarrow$$ $$g(x_{0})=\sqrt[4]{16}=2\Rightarrow$$ $$f(x)_{min}=2-2=0$$

 

Задание 7219

Найдите точку минимума функции $$y=x^{3}\cdot e^{x}$$

Ответ: -3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную данной функции и приравняем к 0 : $$y^{'}=(x^{3})^{'}e^{x}+(e^{x})^{'}x^{3}=0\Leftrightarrow$$ $$3x^{2}e^{x}+e^{x}x^{3}=0\Leftrightarrow$$ $$x^{2}e^{x}(3+x)=0\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=0\\x=-3\end{matrix}\right.$$

x=-3 точка минимума

 

Задание 7321

Найдите наименьшее значение функции $$y=-\frac{4x^{2}+4x+7}{4x^{2}+4x+3}$$

Ответ: -3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Преобразуем данную функцию: $$y=-\frac{4x^{2}+4x+7}{4x^{2}+4x+3}=$$$$-(1+\frac{4}{4x^{2}+4x+3})=$$$$-1-\frac{4}{4x^{2}+4x+3}$$

Найдем производную: $$y^{'}=-\frac{4^{'}(4x^{2}+4x+3)-(4x^{2}+4x+3)^{'}*4}{(4x^{2}+4x+3)^{2}}=0$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{(8x+4)*4}{4x^{2}+4x+3}=0$$$$\Rightarrow$$ $$8x+4=0\Rightarrow$$ $$x=-\frac{1}{2}$$

$$y(-2)=-\frac{4*\frac{1}{4}+4(-\frac{1}{2})+7}{4*\frac{1}{4}+4(-\frac{1}{2})+3}=$$$$-\frac{6}{2}=-3$$

 

Задание 7361

Найдите наименьшее значение функции $$y=7^{x-3}+7^{5-x}$$

Ответ: 14
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7410

Найдите наименьшее значение функции $$y=\log_{\sqrt{3}} (x-4\sqrt{x-2}+5)$$ на отрезке [5;10].

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7439

Найдите наименьшее значение функции $$y=2^{\sqrt{x}}+3^{\sqrt[3]{x}}+4$$ на отрезке [1;64]

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7512

В какой точке отрезка [12;22] первообразная F(x) для функции $$f(x)=-1-\ln^{2}(x-2)$$ достигает своего наименьшего значения на этом отрезке?

Ответ: 22
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Заметим, что функция $$g(x)=-\ln^{2}(x-2)$$ меньше или равна при любых значениях х (так как натуральный логарифм в квадрате и перед ним стоит знак "-"), следовательно, $$f(x)=-1-\ln^{2}(x-2)$$ отрицательна при любом х. При этом данная функция является функцией производной для первообразной F(x). То есть производная отрицательна на всем промежутке по х, следовательно, сама функция F(x) убывает на нем. Тогда наименьшее значение будет в конце промежутка, то есть в точке 22