ЕГЭ (профиль) / Наибольшее и наименьшее значение функций

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Найдем производную и приравняем ее к нулю: $$y'=-(\sqrt{x+13}+\frac{1}{2\sqrt{x+13}}*(x-14))=0 \Leftrightarrow $$$$\frac{2x+26+x-14}{\sqrt{x+13}}=0 \Leftrightarrow $$$$x=-4$$. Нарисуем координатную прямую, отметим эту точку, расставим знаки производной и получим, что она является точкой максимума, так как она еще и попадает на заданный отрезок, то наибольшее значение будет именно там: $$y(-4)=5-(-4-14)\sqrt{-4+13}=5+18*3=59$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$y'=\sin x+x\cos x-\sin x-\frac{3}{4}\cos x=0 \Leftrightarrow $$$$\cos x(x-\frac{3}{4})=0\Leftrightarrow $$$$x=0,75 ; x=\frac{\pi}{2}+\pi*n, n \in Z$$

отметим полученные точки на координатной прямой и расставим знаки производной (сначала будет рассматривать каждый из множителей, входящих в производную, затем только знак самой производной, как произведение множителей):

Как видим по рисунку (F=0 - начало отрезка, на котором ищем) точка минимума x=0,75.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$y'=18\cos x-9\sqrt{3}-0$$; $$\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$$; $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\\x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$;

$$y(\frac{\pi}{6})=18\sin\frac{\pi}{6}-9\sqrt{3}\frac{\pi}{6}+1,5\sqrt{3}\pi+21=18\cdot\frac{1}{2}+21=30$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$y=\frac{x^{3}+x^{2}+9}{x}-x^{2}=$$ $$x^{2}+x+\frac{9}{x}-x^{2}=x+\frac{9}{x}$$; $$y'=1-\frac{9}{x^{x}}=0$$; $$\frac{x^{2}-9}{x^{2}}=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\pm3$$;

$$y(-3)=\frac{(-3)^{3}+(-3)^{2}+9}{-3}-(-3)^{2}=\frac{-27+9+9}{-3}-9=3-9=-6$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Найдем $${f}'(x)=0$$: $${f}'(x)=6x^{2}-30x+24=0|:6$$

$$x^{2}-5x+4=0$$

$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=5 & & \\x_{1}x_{2}=4 & &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=1 & & \\x_{2}=4 & &\end{matrix}\right.$$

$$x=1\rightarrow$$ $$max$$ . Тогда $$f_{min}=f(-3)$$ или $$f(12)$$

$$f(-3)=2(-3)^{3}-15*(-3)^{2}+24(-3)+200=-61$$

$$f(2)=2*2^{3}-15*2^{2}+24*2+200=204$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$y=11+6x^{\frac{1}{2}}-2x^{\frac{3}{2}}$$; $$y'=6\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}-2\cdot\frac{3}{2}\cdot\sqrt{x}=$$ $$\frac{3}{\sqrt{x}}-3\sqrt{x}=0$$; $$\frac{3-3x}{\sqrt{x}}=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=1$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$y=\frac{250+50x-x^{3}}{x}$$; $$y'=\frac{(50-3x^{2})x-(250+50x-x^{3})}{x^{2}}=$$ $$\frac{50x-3x^{3}-250-50x+x^{3}}{x^{2}}=$$ $$\frac{-2x^{3}-250}{x^{2}}=0$$; $$x^{3}=-125$$ $$\Rightarrow$$ $$x=-5$$;

$$y(-5)=\frac{250+50\cdot(-5)-(-5)^{3}}{(-5)}=\frac{125}{-5}=-25$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Найдем производную данной функции и приравняем ее к нулю: $$y'=(2x-4)e^{x}+e^{x}*(x^{2}-4x+4)=0$$ $$e^{x}(2x-4+x^{2}-4x+4)=0$$ Число $$e^{x}$$ всегда положительно, поэтому можем его убрать: $$x^{2}-2x=0$$ Тогда $$x=0 ; x=2$$ Начертим координатную прямую, расставим знаки производной и получим, что $$x=2$$ - точка минимума, то есть в ней будет наименьшее значение функции на заданном в условии отрезке: $$y(2)=(2^{2}-4*2+4)e^{2}=0$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Найдем производную данной функции и приравняем ее к нулю: $$y'=\frac{(x^{2}-8x+64)'x-x'(x^{2}-8x+64)}{x^{2}}=0$$ $$y'=\frac{2x^{2}-8x-x^{2}+8x-64}{x^{2}}=0$$ $$\frac{x^{2}-64}{x^{2}}=0$$ $$x_{1}=-8 ; x_{2}=8$$ Отметим полученные значения на координатной прямой и расставим знаки производной, получим, что $$x_{2}$$ является точкой минимума. Тогда наименьшее значение функции на заданном отрезке будет именно в этой точке: $$y(8)=\frac{8^{2}-8*8+64}{8}=8$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Найдем производную данной функции:

$$y'=(10x)'\cos x + 10x(\cos x)'-7(\cos x)'-10(\sin x)'=0 \Leftrightarrow$$$$10\cos x-10x*\sin x +7\sin x -10\cos x = 0 \Leftrightarrow$$$$\sin x(7-10x)=0 \Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\sin x =0\\ 10-7x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x =\pi*n, n\in Z\\ x=0,7\end{matrix}\right.$$

Отметим на координатной прямой полученные корни (учитываем, что корней вида $$\pi*n$$ бесконечно, потому отметим те, которые наиболее близко расположены к промежутку $$(0 ; \frac{\pi}{2})$$):

В итоге точкой максимума на данном промежутке является $$x=0,7$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$y=4*\cos x+13*x+9$$ $${y}'=-4*\sin x+13$$

Минимальное значение $$-4*\sin x$$ состовляет -4, когда $$\sin x=1 \Rightarrow {y}'_{min}=-4+13=9> 0$$

Т.е. значение производной положительно на всей $$D(f) \Rightarrow y_{min}=y(0)$$. $$y_{min}=4*\cos 0+13*0+9=4+9=13$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$y=(2x-3)\cos x-2\sin x+10$$

Найдем производную заданной функции:

$$y'=(2x-3)'\cos x+(2x-3)(\cos x)'-2(\sin x)'=2\cos x-\sin x(2x-3)-2\cos x=0$$

Приравняем производную к нулю:

$$\sin x(3-2x)=0$$

Найдем точки экстремума:

$$\left[\begin{matrix}\sin x=0\\3-2x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left[\begin{matrix}x=\pi *n, n\in Z \\x=+1,5\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим какие значения принимает производная на полученных промежутках:

Как видим, точка минимума соответсвует 1,5