Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

ЕГЭ (профиль) / Наибольшее и наименьшее значение функций

 

Задание 3157

Найдите наименьшее значение функции $$y=x\sqrt{x}-18x+15$$ на отрезке [25; 625]. 

Ответ: -849
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y^{'}=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-18=0$$ $$x^{\frac{1}{2}}=18*\frac{2}{3}=12$$ $$x=144$$ $$y(144)=144*12-18*144+15=-849$$

 

Задание 3202

Найдите точку минимума функции: $$y=-\frac{x^{2}+676}{x}$$

Ответ: -26
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y'=-(\frac{(x^{2}+676)'\cdot x-x'(x^{2}+676)}{x^{2}})=$$ $$=-(\frac{2x^{2}-x^{2}+676}{x^{2}})=$$ $$=-\frac{x^{2}-676}{x^{2}}=\frac{676-x^{2}}{x^{2}}$$

 

Задание 3247

Найдите наименьшее значение функции: $$f(x)=6-\log_{2}(16x-x^{2})$$

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$f(x)=6-\log_{2}(16x-x^{2})$$ $$x_{0}=\frac{-16}{-2}=8$$ $$f(8)=6-\log_{2}(16\cdot8-8^{2})=f(8)=6-\log_{2}64=6-6=0$$

 

Задание 3288

Найдите точку максимума функции $$y=0,5x^{2}-11x+28*\ln x + 9$$

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y'=x-11+\frac{28}{x}=0$$ $$\frac{x^{2}-11x+28}{x}=0$$ $$x=7 ; x=4 ; x\neq 0$$ Начертим координатную прямую и отметим полученные точки. На интервале от 0 до 4 производная имеет положительные значения, от 4 до 7 - отрицательные и от 7 до плюс бесконечности - положительные, значит: 7 - точка минимума 4 - точка максимума

 

Задание 3328

Найдите наибольшее значение функции $$y=6+12x-4x\sqrt{x}$$ на отрезке [2;11].

Ответ: 22
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю: $$y'=12 - 4 * \frac{3}{2} * \sqrt{x} = 0$$ $$\sqrt{x}=2$$ $$x=4$$ - это точка максимума функции (можно проверить, что на промежутке от 0 до 4 производная положительна, а далее - отрицательна, просто подставив значения, например, 1 и 9, в производную). Тогда значение функции в этой точке: $$f(4)=6+12*4-4*4\sqrt{4}=6+48-32=22$$

 

Задание 3375

Найдите точку минимума функции $$f(x)=x^{8}\cdot e^{5x+6}$$

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$f'(x)=(x^{8})'\cdot\exp^{5x+6}+x^{8}\cdot(\exp^{5x+6})'=$$ $$=8x^{7}\cdot\exp^{5x+6}+x^{8}\cdot\exp^{5x+6}\cdot5=$$ $$=\exp^{5x+6}\cdot x^{7}\cdot(8+5x)=0$$ $$x=0$$ или $$x=-\frac{8}{5}=-1,6$$

 

Задание 3423

Найдите наименьшее значение функции: $$y=-\frac{4x^{2}+4x+7}{4x^{2}+4x+3}$$

Ответ: -3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=-\frac{4x^{2}+4x+7}{4x^{2}+4x+3}=-(1+\frac{4}{4x^{2}+4x+3})$$ $$\Rightarrow 4x^{2}+4x+3\Rightarrow f(x)$$ y будет наименьшим, если $$f(x)$$ будет наименьшим: $$x_{0}=-\frac{4}{4\cdot2}=-0,5$$ $$f(-0,5)=4\cdot\frac{1}{4}-4\cdot\frac{1}{2}+3=1-2+3=2$$ $$y_{min}=-(1+\frac{4}{2})=-3$$

 

Задание 3660

Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=9\sin^{2}x+6\sin x-1$$

Ответ: -2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$f(x)=9\sin^{2}x+6\sin x-1$$

$$f'(x)=18\sin x\cos -6\cos x=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x=0\\3\sin x-1=0\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n,n\in Z\\x=\arcsin\frac{1}{3}+2\pi n\\x=\pi-\arcsin\frac{1}{3}+2\pi n\end{matrix}\right.$$

$$f(\arcsin\frac{1}{3})=9\sin^{2}(\arcsin\frac{1}{3})-6\sin(\arcsin\frac{1}{3})-1=$$

$$=9\cdot\frac{1}{9}-6\cdot\frac{1}{3}-1=1-2-1=-2$$

 

Задание 3859

Найдите наименьшее значение функции $$y=\frac{x^{2}-6x+36}{x}$$ на отрезке $$[3;9]$$

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y'=\frac{(2x-6)x-x^{2}+6x-36}{x^{2}}=$$

$$=\frac{2x^{2}-6x-x^{2}+6x-36}{x^{2}}=$$

$$=\frac{x^{2}-36}{x^{2}}$$

$$f_{min}=f(6)=\frac{6^{2}-6\cdot6+36}{6}=6$$

 

Задание 4016

Найдите точку макcимума функции $$y=11+6\sqrt{x}+2x\sqrt{x}$$

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=11+6\sqrt{x}+2x\sqrt{x}=$$

$$=11+6x^{\frac{1}{2}}-2x^{\frac{3}{2}}$$

$$y'=3x^{\frac{1}{2}}-3x^{\frac{1}{2}}=$$

$$=3(\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x})=0$$

$$\frac{1-x}{\sqrt{x}}=0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$x=1$$

 

Задание 4186

Найдите наибольшее значение функции $$y=(7-x)\sqrt{x+5}$$ на отрезке $$[-4;4]$$

Ответ: 16
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y'=(7-x)'\sqrt{x+5}+(7-x)(\sqrt{x+5})'=$$ $$-\sqrt{x+5}+\frac{7-x}{2\sqrt{x+5}}=0$$; $$\frac{7-x-2(x+5)}{2\sqrt{x+5}}=0$$; $$7-x-2x-10=0$$; $$-3x-3=0$$; $$x=-1$$; $$y(-1)=(7-(-1))\sqrt{-1+5}=8\cdot2=16$$

 

Задание 4394

Найдите точку максимума функции $$y=\sin x-4\cos x-4x\sin x+5$$ принадлежащую промежутку $$(0;\frac{\pi}{2})$$

Ответ: 0,25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y'=\cos x+4\sin x-4\sin x-4x\cos x=0$$; $$\cos x(1-4x)=0$$; $$\left\{\begin{matrix}\cos x=0\\1-4x=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n\\x=0,25\end{matrix}\right.$$

$$x_{max}=0,25$$

 

Задание 4571

Найдите наименьшее значение функции $$y=4^{x}-8\cdot2^{x}+1$$ на отрезке [1; 3].

Ответ: -15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$2^{x}=a$$: $$y=a^{2}-8a+1$$ - это квадратичная функция, ее наименьшее значение там, где вершина параболы: $$a_{0}=-\frac{-8}{2}=4$$; $$2^{x}=4$$ $$\Rightarrow$$ $$x=2$$; $$y(2)=4^{2}-8\cdot2^{2}+1=16-32+1=-15$$

 

Задание 4667

Найдите наименьшее значение функции $$y=7|x-3|-2|x+5|-|4x-3|+5$$ на отрезке $$[1;6]$$

Ответ: -20
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

На данном отрезке второе и третье подмодульные выражения положительны, следовательно, модули раскроются не поменяв знаки: $$y=7|x-3|-2x-10-4x+3+5=7|x-3|-6x-2$$ В данном случае получаем график (выглядит как галочка) вершина которого ( в том числе и наименьшее значение) в точке x=3. Тогда наименьшее значение функции: $$y(3)=7|3-3|-2|3+5|-|4*3-3|+5=-16-9+5=-20$$

 

Задание 4817

Найдите наибольшее значение функции $$y=\frac{x^{2}+7x+49}{x}$$ на отрезке [-14;-1]

Ответ: -7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную данной функции:$$y'=\frac{(2x+7)*x-(x^{2}+7x+49)}{x^{2}}=$$$$\frac{2x^{2}+7x-x^{2}-7x-49}{x^{2}}=$$$$\frac{x^{2}-49}{x^{2}}=0$$ Начертим координатную прямую, отметим полученные точки, и растравим знаки производной:

Как видим, -7 - точка максимума, следовательно, на заданном по условию промежутке в этой точке и будет максимальное значение функции:

$$y(-7)=\frac{(-7)^{2}+7*(-7)+49}{-7}=-7$$