ЕГЭ Профиль
Задание 1180
Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=\frac{\sqrt{3}\pi }{6}-\cos x -\frac{\sqrt{3}}{2}x$$
Найдем производную этой функции: $$f'(x)=\sin x -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Приравняем к нулю: $$f'(x)=\sin x -\frac{\sqrt{3}}{2}=0$$
Тогда получим корни $$ x_{1}= \frac{\pi}{3}+2\pi n $$; $$ x_{2}= \frac{2\pi}{3}+2 \pi n$$
Отметим на координатной прямой данные точки и расставим знаки производной, получим, что точка минимума $$x_{1}$$ на данном промежутке соответствует $$\frac{\pi}{3}$$
Найдем значение функции в этой точке: $$f(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}\pi }{6}-\cos \frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\pi}{3} =-\cos \frac{\pi }{3}=-0.5$$
Задание 1241
Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=2^{x}(x+1)$$ , на отрезке [-1;2]
Найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю:
$$f'(x)=2^{x}\ln 2(x+1)+2^{x}$$
$$2^{x}(\ln 2(x+1)+1)=0$$
$$\ln 2 * x+ \ln 2 + 1 = 0$$
$$x = -1 - \frac{1}{\ln 2}$$
Данное значение меньше -1, значит точка экстремума левее нашего промежутка, а это означает, в свою очередь, что на заданном промежутке функция монотонна. Если мы подставим ноль в производную, то получим, что на промежутке, где расположен ноль, производная больше нуля, значит функция возрастает. Поэтому наибольшее значение функции будет в конце промежутка.
$$f(2)=2^{2}(2+1)=4*3=12$$
Задание 1282
Найдите точку максимума функции $$f(x)=24-3x^{4}-8x{3}$$
Задание 1295
Найдите точку минимума функции $$f(x) =x^{2}-3.75x- \ln (x+2)$$
Задание 2355
Найдите точку максимума функции: $$y=-\frac{x^{2}+324}{x}$$
$$y=-\frac{x^{2}+324}{x}$$
$$x=\pm 18$$
$$x\neq 0$$
Точка минимума: -18
Точка максимума: 18
 |
Задание 2497
Найдите наименьшее значение функции $$y=(x-8)^{2}(x-1)+10$$ на отрезке [6; 14].
$$y=(x-8)^{2}(x-1)+10$$ $$y{}'=2(x-8)^{2}(x-1)+(x-8)^{2}=$$ $$=2(x^{2}-9x+8)+x^{2}-16x+64=$$ $$=2x^{2}-18x+16+x^{2}-16x+64=$$ $$=3x^{2}-34x+80=0$$ $$D=1156-960=196=14^{2}$$ $$x_{1}=\frac{34+14}{6}=8$$ $$x_{2}=\frac{34-14}{6}=\frac{10}{3}$$ $$y(8)=(8-8)^{2}(8-1)+10=10$$
Задание 2737
Найдите точку минимума функции: $$y=(73-x)\cdot e^{73-x}$$
$$y=(73-x)\cdot e^{73-x}$$
$${y}'={(73-x)}'\cdot e^{73-x}+(73-x){(e^{73-x})}'=$$ $$=- e^{73-x}+(73-x)\cdot(-e^{73-x})=$$ $$-e^{73-x}(1+73-x)=0$$
$$x=74$$
Задание 2789
Найдите наибольшее значение функции $$y=10\cdot \ln(x+5)-10x-21$$ на отрезке [‐4,5; 0].
$${y}'=\frac{10}{x+5}-10=0$$ $$\frac{10-10x-50}{x+5}=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{-10x-40}{x+5}=0$$ $$x=4$$ $$x\neq -5$$ $$y=10\cdot \ln(-4+5)-10\cdot(-4)-21=19$$
Задание 2828
Найдите точку минимума функции $$y=(6-4x)\cos x+4\sin x+4$$ принадлежащую промежутку $$(0; \frac{\pi}{2})$$
$$y=(6-4x)\cos x+4\sin x+4$$ $${y}'={(6-4x)}'\cos x+(6-4x){(\cos x)}'+{(4\sin x)}'=$$ $$=-4cos x-\sin x(6-4x)+4cos x=-\sin x(6-4x)$$
| $$\sin x=0$$ | $$(6-4x)=0$$ |
| $$x=\pi n, n\in Z$$ | $$x=1,5$$ |
Задание 2865
Найдите наименьшее значение функции $$y=\sqrt{x^{2}+8x+25}$$
$$y=\sqrt{x^{2}+8x+25}$$ $$x_{0}=-\frac{8}{2}=-4$$ - вершина $$y_{min}=\sqrt{(-4)^{2}+8(-4)+25}=\sqrt{16-32+25}=\sqrt{9}=3$$
Задание 2943
Найдите наибольшее значение функции $$y=x^{5}+20x^{3}-65x$$ на отрезке [-4; 0].
$$y=x^{5}+20x^{3}-65x$$ [-4; 0] $${y}'=5x^{4}+60x^{2}-65=0$$ $$x^{4}+12x^{2}-13=0$$ пусть $$x^{2}=a$$ $$a^{2}+12a-13=0$$ $$a_{1}=1$$ $$a_{2}=-13$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}=1\\x^{2}=-13\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm 1\\x=\varnothing\end{matrix}\right.$$ $$y(-1)=(-1)^{5}+20\cdot(-1)^{3}-65\cdot(-1)=-1-20+65=44$$
Задание 2990
Найдите точку максимума функции $$y=x^{3}-12x^{2}+36x-30$$
Найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю: $$y^{'}=3x^{2}-24x+36=0$$ | : 3 $$x^{2}-8x+12=0$$ $$x_{1}=2 ; x_{2}=6$$ Отметим эти точки на координатной прямой и расставим знаки производной (для этого будем подставлять по числу из каждого промежутка в производную). Получим, что до 2 функция возрастает, от 2 до 8 убывает, и от 8 снова возрастает. Значит 2 - точка максимума
Задание 3033
Найдите точку максимума функции $$y=\frac{16}{x}-x^{2}+9$$
$$y=\frac{16}{x}-x^{2}+9$$ $$y'=-\frac{16}{x^{2}}-2x=0$$ $$\frac{-16-2x^{3}}{x^{2}}=0$$ $$x\neq 0$$ $$x=-2$$
Задание 3075
Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=(x+4)^{2}(x+3)$$ на отрезке [‐5; ‐3,5].
$$f'(x)=2(x+4)(x+3)+(x+4)^{2}=$$$$2(x^{2}+7x+12)+x^{2}+8x+16=$$$$3x^{2}+22x+40=0$$
$$D=484-480=4$$
$$x_{1}=\frac{-22+2}{6}=-\frac{20}{6}$$
$$x_{1}=\frac{-22-2}{6}=-4$$
$$f(-4)=(-4+4)^{2}(-4+3)=0$$
Задание 3117
Найдите точку максимума функции: $$y=(x^{2}-15x+15)\cdot e^{x+3}$$
$$y'=(2x-15)\cdot\exp^{x+3}+(x^{2}-15x+15)\cdot\exp^{x+3}=\exp^{x+3}(x^{2}-13x)=0$$ $$x=0$$ $$x=13$$