ЕГЭ (профиль) / Задачи с прикладным содержанием

Дви­га­ясь со ско­ро­стью $$v=3$$ м/с, трак­тор тащит сани с силой $$F=50$$ кН, на­прав­лен-ной под ост­рым углом   к го­ри­зон­ту. Мощ­ность, раз­ви­ва­е­мая трак­то­ром, вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле $$N=Fv\cos\alpha$$. Най­ди­те, при каком угле $$\alpha$$ (в гра­ду­сах) эта мощ­ность будет равна 75 кВт (кВт — это кН*м/с).

При нор­маль­ном па­де­нии света с дли­ной волны $$\lambda=400$$ нм на ди­фрак­ци­он­ную решeтку с пе­ри­о­дом $$d$$ нм на­блю­да­ют серию ди­фрак­ци­он­ных мак­си­му­мов. При этом угол $$\varphi$$ (от­счи­ты­ва­е­мый от пер­пен­ди­ку­ля­ра к решeтке), под ко­то­рым на­блю­да­ет­ся мак­си­мум, и номер мак­си­му­ма $$k$$ свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем $$d\sin\varphi=k\lambda$$. Под каким ми­ни­маль­ным углом $$\varphi$$ (в гра­ду­сах) можно на­блю­дать вто­рой мак­си­мум на решeтке с пе­ри­о­дом, не пре­вос­хо­дя­щим 1600 нм?

Два тела мас­сой $$m=2$$ кг каж­дое, дви­жут­ся с оди­на­ко­вой ско­ро­стью $$v=10$$ м/с под углом $$2\alpha$$ друг к другу. Энер­гия (в джо­у­лях), вы­де­ля­ю­ща­я­ся при их аб­со­лют­но не­упру­гом со­уда­ре­нии опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем $$Q=mv^{2}\sin^{2}\alpha$$. Под каким наи­мень­шим углом $$2\alpha$$ (в гра­ду­сах) долж­ны дви­гать­ся тела, чтобы в ре­зуль­та­те со­уда­ре­ния вы­де­ли­лось не менее 50 джо­у­лей?

Катер дол­жен пе­ре­сечь реку ши­ри­ной $$L=100$$ м и со ско­ро­стью те­че­ния $$u=0,5$$ м/с так, чтобы при­ча­лить точно на­про­тив места от­прав­ле­ния. Он может дви­гать­ся с раз­ны­ми ско­ро­стя­ми, при этом время в пути, из­ме­ря­е­мое в се­кун­дах, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем $$t=\frac{L}{u}\cot\alpha$$, где $$\alpha$$ – ост­рый угол, за­да­ю­щий на­прав­ле­ние его дви­же­ния (от­счи­ты­ва­ет­ся от бе­ре­га). Под каким ми­ни­маль­ным углом $$\alpha$$ (в гра­ду­сах) нужно плыть, чтобы время в пути было не боль­ше 200 с?

Скейт­бор­дист пры­га­ет на сто­я­щую на рель­сах плат­фор­му, со ско­ро­стью $$v=3$$ м/с под ост­рым углом   к рель­сам. От толч­ка плат­фор­ма на­чи­на­ет ехать со ско­ро­стью $$u=\frac{m}{m+M}v\cos\alpha$$ (м/с), где $$m=80$$ кг – масса скейт­бор­ди­ста со скей­том, а $$M=400$$ кг – масса плат­фор­мы. Под каким мак­си­маль­ным углом $$\alpha$$ (в гра­ду­сах) нужно пры­гать, чтобы разо­гнать плат­фор­му не менее чем до 0,25 м/с?

Груз мас­сой 0,08 кг ко­леб­лет­ся на пру­жи­не. Его ско­рость v ме­ня­ет­ся по за­ко­ну $$v=v_{0}\sin\frac{2\pi t}{T}$$ где t — время с мо­мен­та на­ча­ла ко­ле­ба­ний, T = 12 с — пе­ри­од ко­ле­ба­ний, $$v_{0}=0,5$$ м/с. Ки­не­ти­че­ская энер­гия E (в джо­у­лях) груза вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле $$E=\frac{mv^{2}}{2}$$ где m — масса груза в ки­ло­грам­мах, v — ско­рость груза в м/с. Най­ди­те ки­не­ти­че­скую энер­гию груза через 1 се­кун­ду после на­ча­ла ко­ле­ба­ний. Ответ дайте в джо­у­лях.

Груз мас­сой 0,08 кг ко­леб­лет­ся на пру­жи­не. Его ско­рость v ме­ня­ю­ется по за­ко­ну $$v=v_{0}\cos\frac{2\pi t}{T}$$ где $$t$$ — время с мо­мен­та на­ча­ла ко­ле­ба­ний, T = 2 с — пе­ри­од ко­ле­ба­ний, $$v_{0}=0,5$$ м/с. Ки­не­ти­че­ская энер­гия E (в джо­у­лях) груза вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле $$E=\frac{mv^{2}}{2}$$ где m — масса груза в ки­ло­грам­мах, v — ско­рость груза в м/с. Най­ди­те ки­не­ти­че­скую энер­гию груза через 1 се­кун­ду после на­ча­ла ко­ле­ба­ний. Ответ дайте в джо­у­лях.

Ско­рость ко­леб­лю­ще­го­ся на пру­жи­не груза ме­ня­ет­ся по за­ко­ну $$v(t)=5\sin\pi t$$ (см/с), где t – время в се­кун­дах. Какую долю вре­ме­ни из пер­вой се­кун­ды ско­рость дви­же­ния была не менее 2,5 см/с? Ответ вы­ра­зи­те де­ся­тич­ной дро­бью, если нужно, округ­ли­те до сотых.

Если до­ста­точ­но быст­ро вра­щать ведeрко с водой на верeвке в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти, то вода не будет вы­ли­вать­ся. При вра­ще­нии ведeрка сила дав­ле­ния воды на дно не остаeтся по­сто­ян­ной: она мак­си­маль­на в ниж­ней точке и ми­ни­маль­на в верх­ней. Вода не будет вы­ли­вать­ся, если сила еe дав­ле­ния на дно будет по­ло­жи­тель­ной во всех точ­ках тра­ек­то­рии кроме верх­ней, где она может быть рав­ной нулю. В верх­ней точке сила дав­ле­ния, вы­ра­жен­ная в нью­то­нах, равна $$P=m(\frac{v^{2}}{L}-g)$$, где m – масса воды в ки­ло­грам­мах, v - ско­рость дви­же­ния ведeрка в м/с, L – длина верeвки в мет­рах, g – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те $$g=10$$ м/с²). С какой наи­мень­шей ско­ро­стью надо вра­щать ведeрко, чтобы вода не вы­ли­ва­лась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ вы­ра­зи­те в м/с.

На верфи ин­же­не­ры про­ек­ти­ру­ют новый ап­па­рат для по­гру­же­ния на не­боль­шие глу­би­ны. Кон­струк­ция имеет ку­би­че­скую форму, а зна­чит, дей­ству­ю­щая на ап­па­рат вы­тал­ки­ва­ю­щая (ар­хи­ме­до­ва) сила, вы­ра­жа­е­мая в нью­то­нах, будет опре­де­лять­ся по фор­му­ле: $$F_{A}=\rho gl^{3}$$, где l – длина ребра куба в мет­рах, $$\rho=1000$$ кг/м³ – плот­ность воды, а g – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те $$g=9,8$$ Н/кг). Какой может быть мак­си­маль­ная длина ребра куба, чтобы обес­пе­чить его экс­плу­а­та­цию в усло­ви­ях, когда вы­тал­ки­ва­ю­щая сила при по­гру­же­нии будет не боль­ше, чем 78400 Н? Ответ вы­ра­зи­те в мет­рах.

Для опре­де­ле­ния эф­фек­тив­ной тем­пе­ра­ту­ры звёзд ис­поль­зу­ют закон Сте­фа­на–Больц­ма­на, со­глас­но ко­то­ро­му $$P=\sigma ST^{4}$$ Вт/м²*К⁴, где P — мощ­ность из­лу­че­ния звез­ды (в Ват­тах), $$\sigma=5,7\cdot10^{-8}$$ — по­сто­ян­ная, S м²  — пло­щадь по­верх­но­сти звез­ды (в квад­рат­ных мет­рах), а T — тем­пе­ра­ту­ра (в кель­ви­нах). Из­вест­но, что пло­щадь по­верх­но­сти неко­то­рой звез­ды равна $$\frac{1}{16}\cdot10^{20}$$ м², а мощ­ность её из­лу­че­ния равна $$9,12\cdot10^{25}$$ Вт. Най­ди­те тем­пе­ра­ту­ру этой звез­ды в Кель­ви­нах.

Не­за­ви­си­мое агент­ство на­ме­ре­но вве­сти рей­тинг но­вост­ных из­да­ний на ос­но­ве по­ка­за­те­лей ин­фор­ма­тив­но­сти $$In$$, опе­ра­тив­но­сти $$Op$$ и объ­ек­тив­но­сти $$Tr$$ пуб­ли­ка­ций. Каж­дый по­ка­за­тель — целое чис­ло от -2 до 2.Со­ста­ви­те­ли рей­тин­га счи­та­ют, что ин­фор­ма­тив­ность пуб­ли­ка­ций це­нит­ся втрое, а объ­ек­тив­ность — вдвое до­ро­же, чем опе­ра­тив­ность. Таким об­ра­зом, фор­му­ла при­ня­ла вид: $$R=\frac{3In+Op+2Tr}{A}$$. Най­ди­те, каким долж­но быть число $$A$$, чтобы из­да­ние, у ко­то­ро­го все по­ка­за­те­ли мак­си­маль­ны, по­лу­чи­ло бы рей­тинг 30.

Рей­тинг $$R$$ ин­тер­нет-ма­га­зи­на вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле $$R=r_{pok}-\frac{r_{pok}-r_{eks}}{(K+1)^{m}}$$, где $$m=\frac{0,02K}{r_{pok}+0,1}$$, $$r_{eks}$$ — сред­няя оцен­ка, дан­ная экс­пер­та­ми, $$r_{pok}$$ — сред­няя оцен­ка, дан­ная по­ку­па­те­ля­ми, $$K$$ — число по­ку­па­те­лей, оце­нив­ших ма­га­зин. Най­ди­те рей­тинг ин­тер­нет-ма­га­зи­на, если число по­ку­па­те­лей, оце­нив­ших ма­га­зин, равно 24, их сред­няя оцен­ка равна 0,86, а оцен­ка экс­пер­тов равна 0,11.

Рей­тинг   ин­тер­нет-ма­га­зи­на вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле $$R=r_{pok}-\frac{r_{pok}-r_{eks}}{(K+1)\frac{0,02K}{r_{pok}+0,1}}$$, где $$r_{pok}$$ — сред­няя оцен­ка ма­га­зи­на по­ку­па­те­ля­ми (от 0 до 1),$$r_{eks}$$ — оцен­ка ма­га­зи­на экс­пер­та­ми (от 0 до 0,7) и $$K$$ — число по­ку­па­те­лей, оце­нив­ших ма­га­зин. Най­ди­те рей­тинг ин­тер­нет-ма­га­зи­на «Бета», если число по­ку­па­те­лей, оста­вив­ших отзыв о ма­га­зи­не, равно 20, их сред­няя оцен­ка равна 0,65, а оцен­ка экс­пер­тов равна 0,37.

Не­за­ви­си­мое агент­ство на­ме­ре­но вве­сти рей­тинг но­вост­ных ин­тер­нет-из­да­ний на ос­но­ве оце­нок ин­фор­ма­тив­но­сти $$In$$, опе­ра­тив­но­сти $$Op$$, объ­ек­тив­но­сти пуб­ли­ка­ций $$Tr$$, а также ка­че­ства сайта $$Q$$. Каж­дый от­дель­ный по­ка­за­тель оце­ни­ва­ет­ся чи­та­те­ля­ми по 5-балль­ной шкале це­лы­ми чис­ла­ми от 1 до 5.Ана­ли­ти­ки, со­став­ля­ю­щие фор­му­лу рей­тин­га, счи­та­ют, что объ­ек­тив­ность це­нит­ся втрое, а ин­фор­ма­тив­ность пуб­ли­ка­ций — вдвое до­ро­же, чем опе­ра­тив­ность и ка­че­ство сайта. Таким об­ра­зом, фор­му­ла при­ня­ла вид $$R=\frac{2In+Op+3Tr+Q}{A}$$. Каким долж­но быть число $$A$$, чтобы из­да­ние, у ко­то­ро­го все оцен­ки наи­боль­шие, по­лу­чи­ло бы рей­тинг 1?