ЕГЭ (профиль) / Задачи с прикладным содержанием

Рас­сто­я­ние (в км) от на­блю­да­те­ля, на­хо­дя­ще­го­ся на не­боль­шой вы­со­те $$h$$ ки­ло­мет­ров над землeй, до на­блю­да­е­мой им линии го­ри­зон­та вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле $$l=\sqrt{2Rh}$$, где $$R=6400$$ (км) — ра­ди­ус Земли. С какой вы­со­ты го­ри­зонт виден на рас­сто­я­нии 4 ки­ло­мет­ра? Ответ вы­ра­зи­те в ки­ло­мет­рах.

При адиа­ба­ти­че­ском про­цес­се для иде­аль­но­го газа вы­пол­ня­ет­ся закон $$pV^{k}=10^{5}$$ Па м5, где $$p$$ – дав­ле­ние в газе в пас­ка­лях, $$V$$ – объeм газа в ку­би­че­ских мет­рах, $$k=\frac{3}{5}$$. Най­ди­те, какой объём $$V$$ (в куб. м) будет за­ни­мать газ при дав­ле­нии $$p$$, рав­ном $$3,2\cdot10^{6}$$ Па.

В ходе рас­па­да ра­дио­ак­тив­но­го изо­то­па его масса умень­ша­ет­ся по за­ко­ну $$m(t)=m_{0}\cdot2^{-\frac{t}{T}}$$, где $$m_{0}$$ – на­чаль­ная масса изо­то­па, $$t$$ – время, про­шед­шее от на­чаль­но­го мо­мен­та, $$T$$ – пе­ри­од по­лу­рас­па­да. В на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни масса изо­то­па 40 мг. Пе­ри­од его по­лу­рас­па­да со­став­ля­ет 10 мин. Най­ди­те, через сколь­ко минут масса изо­то­па будет равна 5 мг.

Урав­не­ние про­цес­са, в ко­то­ром участ­во­вал газ, за­пи­сы­ва­ет­ся в виде $$pV^{a}=const$$, где $$P$$ (Па) – дав­ле­ние в газе, $$V$$ – объeм газа в ку­би­че­ских мет­рах, a – по­ло­жи­тель­ная кон­стан­та. При каком наи­мень­шем зна­че­нии кон­стан­ты a умень­ше­ние вдвое раз объeма газа, участ­ву­ю­ще­го в этом про­цес­се, при­во­дит к уве­ли­че­нию дав­ле­ния не менее, чем в 4 раза?

Уста­нов­ка для де­мон­стра­ции адиа­ба­ти­че­ско­го сжа­тия пред­став­ля­ет собой сосуд с порш­нем, резко сжи­ма­ю­щим газ. При этом объeм и дав­ле­ние свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем $$pV^{1,4}=const$$, где $$p$$ (атм.) – дав­ле­ние в газе, $$V$$ – объeм газа в лит­рах. Из­на­чаль­но объeм газа равен 1,6 л, а его дав­ле­ние равно одной ат­мо­сфе­ре. В со­от­вет­ствии с тех­ни­че­ски­ми ха­рак­те­ри­сти­ка­ми пор­шень на­со­са вы­дер­жи­ва­ет дав­ле­ние не более 128 ат­мо­сфер. Опре­де­ли­те, до ка­ко­го ми­ни­маль­но­го объeма можно сжать газ. Ответ вы­ра­зи­те в лит­рах.

В те­ле­ви­зо­ре ёмкость вы­со­ко­вольт­но­го кон­ден­са­то­ра в те­ле­ви­зо­ре $$C=2\cdot10^{-6}$$Ф. Па­рал­лель­но с кон­ден­са­то­ром под­ключeн ре­зи­стор с со­про­тив­ле­ни­ем $$R=5\cdot10^{6}$$ Ом. Во время ра­бо­ты те­ле­ви­зо­ра на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре $$U_{0}=16$$ кВ. После вы­клю­че­ния те­ле­ви­зо­ра на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре убы­ва­ет до зна­че­ния U (кВ) за время, опре­де­ля­е­мое вы­ра­же­ни­ем $$t=\alpha RC\log_{2}\frac{U_{0}}{U}$$ (с), где $$\alpha=0,7$$ – по­сто­ян­ная. Опре­де­ли­те на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре, если после вы­клю­че­ния те­ле­ви­зо­ра про­шло 21 с. Ответ дайте в ки­ло­воль­тах.

Для обо­гре­ва по­ме­ще­ния, тем­пе­ра­ту­ра в ко­то­ром под­дер­жи­ва­ет­ся на уров­не $$T_{p}=20^{\circ}C$$, через ра­ди­а­тор отоп­ле­ния про­пус­ка­ют го­ря­чую воду. Рас­ход про­хо­дя­щей через трубу воды $$m=0,3$$ кг/с. Про­хо­дя по трубе рас­сто­я­ние  , вода охла­жда­ет­ся от на­чаль­ной тем­пе­ра­ту­ры $$T_{v}=60^{\circ}C$$ до тем­пе­ра­ту­ры $$T(^{\circ}C)$$ причeм $$x=\alpha\frac{cm}{\gamma}\log_{2}\frac{T_{v}-T_{p}}{T-T_{p}}$$, где $$c=4200$$ Дж/кг*°С — теплоeмкость воды, $$\gamma=21$$ Вт/м*°С — ко­эф­фи­ци­ент теп­ло­об­ме­на, а $$\alpha=0,7$$ — по­сто­ян­ная. Най­ди­те, до какой тем­пе­ра­ту­ры (в гра­ду­сах Цель­сия) охла­дит­ся вода, если длина трубы ра­ди­а­то­ра равна 84 м.

Во­до­лаз­ный ко­ло­кол, со­дер­жа­щий в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни $$v=3$$ моля воз­ду­ха объeмом $$V_{1}=8$$ л, мед­лен­но опус­ка­ют на дно водоeма. При этом про­ис­хо­дит изо­тер­ми­че­ское сжа­тие воз­ду­ха до ко­неч­но­го объeма $$V_{2}$$. Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая водой при сжа­тии воз­ду­ха, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем $$A=\alpha vT\log_{2}\frac{V_{1}}{V_{2}}$$(Дж), где $$\alpha=5,75$$ – по­сто­ян­ная, а $$T=300K$$ – тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха. Какой объeм $$V_{2}$$ (в лит­рах) ста­нет за­ни­мать воз­дух, если при сжа­тии газа была со­вер­ше­на ра­бо­та в 10 350 Дж?

Мяч бро­си­ли под углом $$\alpha$$ к плос­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти земли. Время полeта мяча (в се­кун­дах) опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле $$t=\frac{2v_{0}\sin\alpha}{g}$$. При каком зна­че­нии угла $$\alpha$$ (в гра­ду­сах) время полeта со­ста­вит 3 се­кун­ды, если мяч бро­са­ют с на­чаль­ной ско­ро­стью $$v_{0}=30$$ м/с? Счи­тай­те, что уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния $$g=10$$ м/с².

Де­та­лью не­ко­то­ро­го при­бо­ра яв­ля­ет­ся квад­рат­ная рамка с на­мо­тан­ным на неe про­во­дом, через ко­то­рый про­пу­щен по­сто­ян­ный ток. Рамка по­ме­ще­на в од­но­род­ное маг­нит­ное поле так, что она может вра­щать­ся. Мо­мент силы Ам­пе­ра, стре­мя­щей­ся по­вер­нуть рамку, (в Н м) опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой $$M=NIBl^{2}\sin\alpha$$, где $$I=2$$ A – сила тока в рамке, $$B=3\cdot10^{-3}$$ Тл – зна­че­ние ин­дук­ции маг­нит­но­го поля,$$l=0,5$$ м – раз­мер рамки, $$N=1000$$– число вит­ков про­во­да в рамке, $$\alpha$$ – ост­рый угол между пер­пен­ди­ку­ля­ром к рамке и век­то­ром ин­дук­ции. При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла $$\alpha$$ (в гра­ду­сах) рамка может на­чать вра­щать­ся, если для этого нужно, чтобы рас­кру­чи­ва­ю­щий мо­мент M был не мень­ше 0,75 Н м?

Дат­чик скон­стру­и­ро­ван таким об­ра­зом, что его ан­тен­на ловит ра­дио­сиг­нал, ко­то­рый затем пре­об­ра­зу­ет­ся в элек­три­че­ский сиг­нал, из­ме­ня­ю­щий­ся со вре­ме­нем по за­ко­ну $$U=U_{0}\sin(\omega t+\varphi)$$, где $$t$$ – время в се­кун­дах, ам­пли­ту­да $$U_{0}=2$$ В, ча­сто­та $$\omega=120$$ °/с, фаза $$\varphi=-30^{\circ}$$. Дат­чик на­стро­ен так, что если на­пря­же­ние в нeм не ниже чем 1 В, за­го­ра­ет­ся лам­поч­ка. Какую часть вре­ме­ни (в про­цен­тах) на про­тя­же­нии пер­вой се­кун­ды после на­ча­ла ра­бо­ты лам­поч­ка будет го­реть?

Очень лeгкий за­ря­жен­ный ме­тал­ли­че­ский шарик за­ря­дом $$q=2\cdot10^{-6}$$ Кл ска­ты­ва­ет­ся по глад­кой на­клон­ной плос­ко­сти. В мо­мент, когда его ско­рость со­став­ля­ет $$v=5$$ м/с, на него на­чи­на­ет дей­ство­вать по­сто­ян­ное маг­нит­ное поле, век­тор ин­дук­ции $$B$$ ко­то­ро­го лежит в той же плос­ко­сти и со­став­ля­ет угол $$\alpha$$ с на­прав­ле­ни­ем дви­же­ния ша­ри­ка. Зна­че­ние ин­дук­ции поля $$B=4\cdot10^{-3}$$ Тл. При этом на шарик дей­ству­ет сила Ло­рен­ца, рав­ная $$F_{L}=qvB\sin\alpha$$ (Н) и на­прав­лен­ная вверх пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти. При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла $$\alpha\in[0^{\circ};180^{\circ}]$$ шарик оторвeтся от по­верх­но­сти, если для этого нужно, чтобы сила $$F_{L}$$ была не менее чем $$2\cdot10^{-8}$$ Н? Ответ дайте в гра­ду­сах.

Не­боль­шой мячик бро­са­ют под ост­рым углом $$\alpha$$ к плос­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти земли. Мак­си­маль­ная вы­со­та полeта мя­чи­ка, вы­ра­жен­ная в мет­рах, опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой $$H=\frac{v_{0}^{2}}{4g}(1-\cos2\alpha)$$, где $$v_{0}=20$$ м/с – на­чаль­ная ско­рость мя­чи­ка, а $$g$$– уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те $$g=10$$ м/с² ). При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла  $$\alpha$$ (в гра­ду­сах) мячик про­ле­тит над сте­ной вы­со­той 4 м на рас­сто­я­нии 1 м?

Плос­кий за­мкну­тый кон­тур пло­ща­дью $$S=0,5$$ м² на­хо­дит­ся в маг­нит­ном поле, ин­дук­ция ко­то­ро­го рав­но­мер­но воз­рас­та­ет. При этом со­глас­но за­ко­ну элек­тро­маг­нит­ной ин­дук­ции Фа­ра­дея в кон­ту­ре по­яв­ля­ет­ся ЭДС ин­дук­ции, зна­че­ние ко­то­рой, вы­ра­жен­ное в воль­тах, опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой $$\varepsilon_{i}=aS\cos\alpha$$, где $$\alpha$$ – ост­рый угол между на­прав­ле­ни­ем маг­нит­но­го поля и пер­пен­ди­ку­ля­ром к кон­ту­ру, $$a=4\cdot^{-4}$$ Тл/с – по­сто­ян­ная, $$S$$ – пло­щадь за­мкну­то­го кон­ту­ра, на­хо­дя­ще­го­ся в маг­нит­ном поле (в м²). При каком ми­ни­маль­ном угле $$\alpha$$ (в гра­ду­сах) ЭДС ин­дук­ции не будет пре­вы­шать $$10^{-4}$$ В?

Трак­тор тащит сани с силой $$F=80$$ кН, на­прав­лен­ной под ост­рым углом $$\alpha$$ к го­ри­зон­ту. Ра­бо­та трак­то­ра (в ки­лод­жо­у­лях) на участ­ке дли­ной $$S=50$$ м вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле $$A=FS\cos\alpha$$. При каком мак­си­маль­ном угле $$\alpha$$ (в гра­ду­сах) со­вершeнная ра­бо­та будет не менее 2000 кДж?