Задание 5. Тренировочный вариант ЕГЭ № 258 Ларина.
Задание 6867
Найдите корень уравнения $$2\sqrt{x+1}=2-x$$ . Если корней несколько, то в ответе укажите больший из них.
$$2\sqrt{x+1}=2-x$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(2\sqrt{x+1})^{2} =(2-x)^{2}\\2-x\geq 0\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}4(x+1)=4-4x+x^{2}\\x\leq 2\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x^{2} -8x=0\\x\leq 2\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x=0\\x=8\end{matrix}\right.\\x\leq 2\end{matrix}\right.$$$$\Rightarrow$$$$x=0$$
Аналоги задания:
Задание 13680
Решите уравнение $$\sqrt{9-8x}=-x$$. Если уравнение имеет более одного корня, запишите больший из корней.
В видео в самом конце выбор корня с косяком, выбираем -9, а не 1.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 10812
Найдите корень уравнения $$\sqrt{x+5}=x+3$$. Если корней несколько, то в ответе укажите их сумму.
Задание 10587
Найдите произведение всех различных корней уравнения $$x^2-4x+1=4\sqrt{x^2-4x-2}$$
Задание 7171
Найдите корень уравнения $$\sqrt{3-x}=1-x$$ . Если корней несколько, то в ответе укажите больший из них.
$$\sqrt{3-x}=1-x\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3-x=(1-x)^{2}\\1-x\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3-x=1-2x+x^{2}\\x\leq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-x-2=0\\x\leq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x=2\\x=-1\end{matrix}\right.\\x\leq 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=-1$$
Задание 6915
Найдите корень уравнения $$\sqrt{x}=-2x$$ . Если корней несколько, то в ответе укажите больший корень.
$$\sqrt{x}=-2x\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}(\sqrt{x})^{2}=(-2x)^{2}\\-2x\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x=4x^{2}\\x\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}4x^{2}-x=0\\x\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x(4x-1)=0\\x\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=0$$
Задание 6079
Решите уравнение $$\sqrt{3-2x}=x$$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из ниx
$$\sqrt{3-2x}=x$$ ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}3-2x\geq 0\\x\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}x\leq 1,5\\x\geq 0\end{matrix}\right.$$ $$(\sqrt{3-2x})^{2}=x^{2}\Leftrightarrow$$ $$3-2x=x^{2}$$ $$x^{2}+2x-3=0$$ $$\left [\begin{matrix}x_{1}+x_{2} =-2& & \\x_{1}*x_{2}=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left [\begin{matrix}x_{1}=-3\\x_{2}=1\end{matrix}\right.x_{1}\notin$$ ОДЗ, следовательно, корнем будет 1
Задание 5328
Решите уравнение $$\sqrt{x^{2}+16}=3x-4$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из корней.
Для данного уравнения необходимо будет делать проверку или же писать ОДЗ (так как дан корень четной степени). Будем делать проверку. Возведем обе части уравнения в квадрат, тогда: $$(\sqrt{x^{2}+16})^{2}=(3x-4)^{2} \Leftrightarrow$$$$x^{2}+16=9x^{2}-24x+16 \Leftrightarrow$$$$8x^{2}-24x=0 \Leftrightarrow$$$$8x(x-3)=0$$ Тогда $$x_{1}=0 ; x_{2}=3$$. Первый корень не подходит, так как получится при подстановке $$4=-4$$.
Задание 4810
Решите уравнение $$\sqrt{19+6x}=x+4$$ . Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите меньший из них.
Так как есть корень четной степени, то подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Так как справа есть переменная, а слева корень четной степени, то функция справа так же должна быть неотрицательной: $$\left\{\begin{matrix}19+6x\geq 0\\ x+4\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x\geq -\frac{19}{6}\\ x\geq -4\end{matrix}\right.$$ Далее возведем обе части в квадрат: $$19+6x=x^{2}+8x+16 \Leftrightarrow $$$$x^{2}+2x-3=0 \Leftrightarrow $$$$x_{1}= x_{2}=-3$$. Оба корня подходят в ОДЗ, следовательно, выбираем наименьший.
Задание 3852
Решите уравнение: $$\sqrt{10-3x}=x-2$$
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}10-3x\geq0\\x-2\geq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}x\leq\frac{10}{3}\\x\geq2\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$10-3x=x^{2}-4x+4$$
$$x^{2}-x-6=0$$
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=1\\x_{1}\cdot x_{2}=-6\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=3\\x_{2}=-2\end{matrix}\right.$$
$$-2\notin$$ ОДЗ $$\Rightarrow$$ 3 - корень
Задание 3026
Найдите корень уравнения $$\sqrt{-72-17x}=-x$$ . Если корней несколько, то в ответе укажите меньший из них.
$$\sqrt{-72-17x}=-x$$ $$-72-17x=x^{2}$$ $$x^{2}+17x+72=0$$ $$D=289-288=1$$ $$x_{1}=\frac{-17+1}{2}=-8$$ $$x_{2}=\frac{-17-1}{2}=-9$$
Задание 767
Найдите корень уравнения:$$\sqrt{6+5x}=x$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
ОДЗ: $$6+5x \geq 0 ; x \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -1,2 ; x \geq 0$$
$$\sqrt{6+5x}=x \Leftrightarrow$$$$(\sqrt{6+5x})^{2}=x^{2} \Leftrightarrow$$$$6+5x=x^{2} \Leftrightarrow$$$$x^{2}-5x-6=0$$
По теореме Виета:
$$\left[ \begin{matrix} x_{1}+x_{2}=5\\x_{1}*x_{2}=-6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[ \begin{matrix} x_{1}=6 \\ x_{2}=-1 \end{matrix}\right.$$
Больший из корней равен 6
Задание 764
Найдите корень уравнения:$$\sqrt{-72-17x}=-x$$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
ОДЗ: так как из под корня выйдет однозначно неотрицательное число, то правая часть уравнения должна быть так же неотрицательной: $$-72-17x \geq 0 ; -x \geq 0 \Leftrightarrow$$$$ x \leq -\frac{72}{17} ; x \leq 0$$
Возведем обе части в квадрат: $$(\sqrt{-72-17x})^{2}=(-x)^{2} \Leftrightarrow$$$$-72-17x=x^{2} \Leftrightarrow$$$$x^{2}+17x+72=0$$
По теореме Виета: $$\left[ \begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-17 \\ x_{1}*x_{2}=72\end{matrix}\right. \Leftrightarrow$$ $$\left[ \begin{matrix} x_{1}=-8 \\x_{2}=-9 \end{matrix} \right.$$