Задание 5. Тренировочный вариант ЕГЭ № 248 Ларина.
Задание 6411
Найдите корень уравнения $$\sin \frac{\pi(x+9)}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ . В ответе напишите наименьший положительный корень.
Найдем значение х:
$$\left[\begin{matrix}\frac{\pi(x+9)}{4}=-\frac{\pi}{4} +2\pi n , n \in Z|:\frac{\pi}{4}\\\frac{\pi(x+9)}{4}=-\frac{3\pi}{4} +2\pi n , n \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x+9=-1+8n\\x+9=-3+8n\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=-10+8n\\x=-12+8n, n \in Z\end{matrix}\right.$$
Найдем наименьший положительный для первого корня: $$-12+8n>0\Leftrightarrow$$ $$8n>12\Leftrightarrow$$ $$n>\pm 1,5$$. Тогда, наименьшее n при котором выйдет наименьший положительный корень составит 2: При $$n=2: x=-12+8*2=4$$
Найдем наименьший положительный для второго корня:$$-10+8n>0\Leftrightarrow$$ $$8n>10\Leftrightarrow$$ $$n>1\frac{1}{4}$$, тогда, наименьшее n при котором выйдет наименьший положительный корень составит 2: при n=2 $$x=-10+8*2=6$$
Как видим, наименьший положительный корень равен 4
Аналоги задания:
Задание 5048
Решите уравнение: $$\sin\frac{\pi x}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$. В ответе запишите наименьший положительный корень уравнения.
$$\left\{\begin{matrix}\frac{\pi x}{2}=\frac{\pi}{4}+2\pi n\\\frac{\pi x}{2}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{2}+4n\\x=\frac{3}{2}+4n\end{matrix}\right.$$