ЕГЭ Профиль
Задание 6692
На рисунке изображен график $$y=f'(x)$$ — производной функции $$f(x)$$, определенной на интервале (‐3;14). Найдите промежутки убывания функции $$f(x)$$. В ответе укажите длину наибольшего из них.
Функция убывает там, где $${f}’ (x)<0$$. Убывает на промежутке: (-4;-3) - длина 1; (2;6) - длина 4; (11;13) - длина 2
Задание 6798
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 5). В какой точке отрезка [0;4] f(x) принимает наименьшее значение?
т.к. дан график производной и на $$(-\infty ;-3)$$ - $${f}'<0$$, а на $$(-3; +\infty )$$ - $${f}'>0$$ $$\Rightarrow$$ $$x=-3$$ - точка минимума. Но на отрезке $$[0; 4]$$ - $$f'>0$$$$\Rightarrow$$ $$f_{min}=f(0)$$ (функция врзрастает на всем промежутке, следовательно, меньшее значение функции в начале промежутка)
Задание 6818
Прямая y=4x-3 является касательной к графику функции $$y=8x^{2}-12x+c$$. Найдите c .
Так как является касательной, то производные данных функций равны: $${(4x-3)}'={(8x^{2}-12x+c)}'\Leftrightarrow$$ $$4=16x-12\Leftrightarrow$$ $$x=1$$
Но значения функций в полученной точке так же равны: $$y_{1}(1)=4*1-3=1$$ ; $$y_{2}(1)=8*1^{2}-12*1+c=1$$$$\Leftrightarrow$$ $$c=5$$
Задание 6869
Функция y=f(x) определена на отрезке [‐2; 4]. На рисунке дан график её производной. Найдите абсциссу точки графика функции y=f(x) , в которой она принимает наименьшее значение.
При x=1 имеем , что $${f}'(x)=0$$, при этом на промежутке [-2; 1): $${f}'(x)<0$$, а на (1;4]: $${f}'>0$$$$\Rightarrow$$ $$x=1$$ - точка минимума и $$f_{min}=f(1)$$
Задание 6917
На графике дифференцируемой функции у=f (x) отмечены семь точек: х1,…, х7. Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f(x) равна нулю. В ответе укажите количество этих точек.
$$f'=0$$ в точках экстремума; в данном случае $$x_{4}$$ и $$x_{7}$$ - 2 точки.
Задание 6965
F(x) - первообразная функции f(x)=3x2+2x, причем ее график проходит через точку (2;‐3). Найдите F(-2)
$$F(x)=\int f(x) dx=x^{3}+x^{2}+c$$. Т.к. F(x) проходит через (2;-3), то F(2)=-3 $$-3=2^{3}+2^{2}+c\Leftrightarrow$$ $$c=-15$$. Тогда :$$F(-2)=(-2)^{3}+(-2)^{2}-15=-19$$
Задание 7012
К графику функции у = f (x) проведена касательная. Определите значение производной функции в точке х0
из $$\Delta ABC$$: $$tg \angle CAB =\frac{CB}{AB}=\frac{5}{4}=1,25\Rightarrow$$ $${f}'(x_{0})=-tg\angle CAB=-1,25$$ (т .к. f(x) убывает в $$x_{0}$$)
Задание 7032
Прямая, параллельная оси абсцисс, касается графика функции $$f(x)=-2x^{2}+6x-7$$ . Найдите ординату точки касания.
Пусть y=a - прямая, параллельная Ox $$\Rightarrow$$ $${y}'=0$$. Раз касается f(x) , то и $${f}'(x)=0$$ ( в точке касания ): $$-4x+6=0 \Rightarrow$$ $$x=1,5$$. Найдем ординату точки касания: $$f(1,5)=-2*1,5^{2}+6*1,5-7=-2,5$$
Задание 7053
Используя геометрический смысл определенного интеграла, вычислите $$\int_{-2}^{0}\frac{1}{\pi}\sqrt{4-x^{2}}dx$$
Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{4-x^{2}}$$ - это полуокружность радиуса 2 с центром в начале координат . При этом по $$x \in [-2; 0]$$ получим четверть данной окружности : $$S=\frac{1}{4} \pi 2^{2}=\pi$$ . Геометрический смысл интеграла в нахождении площади криволинейного трапеции, тогда: $$\int_{-2}^{0} \frac{1 }{\pi }\sqrt{4-x^{2}}dx=$$$$\frac{1}{\pi}*\int_{-2}^{0}\sqrt{4-x^{2}}dx=$$$$\frac{1}{\pi}*\pi=1$$
Задание 7100
Движение автомобиля во время торможения описывается формулой $$S(t)=36t-5t^{2}$$ , где S – путь в метрах, t – время в секундах. Сколько секунд автомобиль будет двигаться с момента начала торможения до его полной остановки?
Производная функции расстояния есть функция скорости, найдем ее и приравняем к 0: $${S}'(t)=v(t)=36-10t\Rightarrow$$ $$v(t)=0$$ или $$t=3,6$$
Задание 7173
По графику функции у = f(x) определите количество точек на интервале (‐3; 4), в которых касательная к графику параллельна прямой у = 0,3х – 4 или совпадает с ней.
Если параллельна или совпадает , то $$f^{'}=(0,3x-4)^{'}=0,3$$. Тогда точки (отмечены на рисунке) находятся на промежутке возрастания , и их количество 5. (Можно построить схематичный график производной)
Задание 7193
Функция $$f(x)$$ определена на отрезке [‐4; 5]. На рисунке приведен график ее производной $$f'(x)$$. По графику определите количество критических точек функции $$y=f(x)$$.
Необходимо определить точки , где производная равна 0 или не существует : $$-3;-1; \approx 0,4 ; 2$$ - 4 штуки (т.к. дан график производной, то смотрим , где он пересекает ось Ox или значение по х, где $$f^{'}(x)$$ не существует – пустая точка)
Задание 7214
Функция у = f (x) определена на отрезке [‐3; 5]. На рисунке дан график её производной. Найдите количество точек минимума функции у = f (x).
Точка минимума на графике производной это точка, где производная равна нулю и график производной убывает $$\Rightarrow$$ есть на (-3; -2) и на $$(2; 3)\Rightarrow$$ 2 точки
Задание 7316
На рисунке изображен график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) , определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых чисел xi, для которых f(xi) положительно.
Если y=F(x)-первообразная для y=f(x), то y=f(x)-производная для y=F(x). Тогда f(x)>0 если F(x) –возрастает $$\Rightarrow$$ $$x\in (-3 ;0)\cup (3,5; 6)$$ .На этих промежутках 4 целых значений (-2; -1; 4; 5)