ЕГЭ Профиль
Задание 5377
На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (–2; 10). Определите количество точек с целыми абсциссами, в которых производная функции отрицательна.
Производная функции отрицательна там, где сама функция убывает. На данном рисунке это промежутки $$x \in (-2;0)\cup (4;6)\cup (9,5;10)$$. Целых значений, входящих в эти промежутки всего два : -1 ; 5.
Задание 6034
Функция $$y=f(x)$$ определена на интервале (‐5;6). На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$. Найдите среди точек $$x_{1}, x_{2},...,x_{7}$$ те точки, в которых производная функции $$f(x)$$ равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек.
Дан график функции, следовательно ищем точки максимума и минимума ( в них $${f}'\left ( x \right )=0$$: $$x_{2};x_{5};x_{7}$$
Задание 6081
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Значение производной есть тангенс угла между касательной, проведенной в заданную точку и осью Ох. Достроим $$\Delta ABC$$ : $$tg\angle ABC=\frac{AC}{CB}=\frac{2}{1}=2$$. Так как функция убывает, то значение производной будет отрицательное, то есть -2
Задание 6128
На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки ‐7, ‐3, 1, 5. В какой из этих точек значение производной этой функции наибольшее? В ответе укажите эту точку
Если f(x) возрастает , то f'(x)> 0 , если f(x) убывает, то f'(x)< 0 . В точках -3; 1; 5 f'(x)> 0. При этом касательная в точке 5 имеет большой угол $$\Rightarrow f'_{max}=f'(5).$$
Задание 6176
На рисунке изображен график $$y=f'(x)$$ производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику $$f(x)$$ параллельна оси абсцисс.
Касательная к графику функции параллельна оси Ох, если производная в точке касания равна 0. Так как нам дан график производной, то находим точку, где график пересекается ось Ох : x=2
Задание 6223
На рисунке изображен график производной $$y=f'(x)$$ функции $$y=f(x)$$ , определенной на интервале (-4;8) . В какой точке отрезка [-3;1] функция $$y=f(x)$$ принимает наименьшее значение?
На данном промежутке график функции находится под осью Ох. Т.к. дан график производной , то это значит, что она отрицательная и функция убывает на всем данном промежутке. Тогда наименьшее значение будет в конце промежутка, то есть в точке 1
Задание 6271
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (‐4;20). Найдите количество точек экстремума функции f(x) , принадлежащих отрезку [0;18]
Точки экстремума –точки максимума и минимума, то есть когда производная равна 0 (на рисунке отмечены черными точками ). Их на данном промежутке 5.
Задание 6319
Прямая $$y=3x+1$$ является касательной к графику функции $$y=ax^{2}+2x+3$$. Найдите a .
Чтобы прямая являлась касательной, тогда производные должны быть одинаковы:
$${y_{1}}'={y_{2}}'\Leftrightarrow$$ $$3=2ax+2\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{1}{2a}(1)$$
С другой стороны, функции тоже должны быть одинаковы:
$$y_{1}=y_{2}\Leftrightarrow$$ $$3x+1=ax^{2}+2x+3 (2)$$
Подставим (1) в (2):
$$3*\frac{1}{2a}+1=a*(\frac{1}{2a})^{2}+2*\frac{1}{2a}+3\Leftrightarrow$$$$\frac{3}{2a}+1=\frac{a}{4a^{2}}+\frac{2}{2a}+3\Leftrightarrow$$ $$\frac{3}{2a}+1=\frac{1}{4a}+\frac{2}{2a}+3\Leftrightarrow$$$$\frac{3}{2a}-\frac{1}{4a}-\frac{2}{2a}=3-1\Leftrightarrow$$ $$\frac{6-1-4}{4a}=2\Leftrightarrow$$ $$\frac{1}{4a}=2\Leftrightarrow$$ $$a=\frac{1}{8}=0,125$$
Задание 6366
На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$. Найдите среди точек x1,x2,...,x6 те точки, в которых производная функции $$y=f(x)$$ отрицательна. В ответ запишите количество найденных точек.
f'<0 если f(x)-убывает : $$x_{2};x_{4}$$ - две точки
Задание 6413
На рисунке изображен график функции $$f(x)$$ . Касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой ‐4 проходит через начало координат. Найдите $$f'(-4)$$
Рассмотрим $$\Delta ABC: tg\angle A=-{f}'(-4)$$
$$tg\angle A=\frac{CB}{AB}=$$$$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow$$ $${f}'(-4)=-0,5$$
Задание 6461
На рисунке изображен график производной функции $$f(x)$$ , определенной на интервале (‐5;4). Найдите точку минимума функции $$f(x)$$ на этом интервале.
Точка минимума , когда {f}' переходит с «-» на «+» (был график под Ox, стал над Ox): $$x=3$$
Задание 6515
На графике функции у = f (x) отмечены семь точек с абсциссами ‐7, ‐5, ‐3, ‐2, 1, 2, 5. Определите по данному графику, в какой из этих точек значение производной f'(x) наибольшее. (В ответе укажите абсциссу этой точки).
Если f(x) возрастает , то $$f}(x)>0$$. Чем быстрее возрастает, тем больше $$f'(x)\Rightarrow$$ $$f'_{max}={f}'(5)$$
Задание 6609
Функция $$y=f(x)$$ определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 4. На рисунке изображен график этой функции при $$-1\leq x \leq 3$$ . Найдите значение выражения $$f(-3)*f(1)*f(11)$$
С учетом периодичности функции: $$f(-3)=f(-3+4)=f(1)=-2$$; $$f(1)=-2$$; $$f(11)=f(11-4*2)=f(3)=1$$
Тогда: $$f(-3)*f(1)*f(11)=-2*(-2)*1=4$$
Задание 6657
Функция $$y=f(x)$$ определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 5. На промежутке $$(-1;4]$$ она задается формулой $$f(x)=3-|1-x|$$ . Найдите значение выражения $$5f(20)-3f(-12)$$.
С учетом периода в 5: $$f(20)=f(0)$$, $$f(-12)=f(3)$$. Получим : $$f(3)=3-(1-3)=1$$; $$f(0)=3-(1-0)=2$$.
Тогда: $$5f(20)-3f(-12)=5*2-3*1=7$$