ЕГЭ Профиль
Задание 4389
На рисунке изображен график движения точки по прямой. По горизонтали отложено время, по вертикали—расстояние до точки отсчета. Сколько раз за наблюдаемый период точка останавливалась?
Точка останавливалась там, где на графике точки максимума и минимума
Задание 4566
Дан график производной функции $$y=f'(x)$$ и отмечены семь точек: $$x_{1},...,...,x_{7}$$. В скольких из этих точек функция $$y=f(x)$$ возрастает?
Функция возрастает там, где производная положительна (график над осью Ох): $$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{6}$$ - 5 точек
Задание 4662
Прямая $$y=3x+4$$ является касательной к графику функции $$y=3x^{2}-3x+c$$. Найдите c.
Раз она является касательной, то производные данных функций равны: $$3=6x-3 \Leftrightarrow $$$$x=1$$ Но и значение этих функций в точке 1 так же должны быть равны: $$3*1+4=3*1^{2}-3*1+c \Leftrightarrow $$$$7=c$$
Задание 4812
На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$ , определенной на интервале (−4; 9). Определите количество целых чисел $$(x_{i}$$ , для которых $$f'(x_{i})$$ отрицательно.
Производная отрицательно там, где функция убывает. На всех промежутках целую абсциссу имеет только одна точка (2;0)
Задание 4856
На рисунке изображен график $$y=F(x)$$ одной из первообразных некоторой функции $$f(x)$$, определенной на интервале (‐1;13). Определите количество целых чисел $$x_{i}$$, для которых $$f(x_{i})$$ отрицательно.
Следует понимать, что фразу первообразная F(x) для функции f(x), можно переделывать для себя, как функция g(x) для производной g'(x). И тогда нам необходимо найти все целые абсциссы, где производная отрицательная, а отрицательная он там , где функция убывает. Данные точки отмечены на графике:
Задание 4907
На рисунке изображен график производной функции $$y=f'(x)$$, определенной на интервале (−3; 9). В какой точке отрезка [−2; 3] $$f(x)$$ принимает наибольшее значение?
В данном задании необходимо помнит следующее: производная отрицательна, значит функция убывает. В нашем случае график произвольной находится под осью Ох на всем отрезке [-2;3] (то, что он "скачет" никак не убывание функции не влияет: она просто убывает где-то быстрее, где-то медленнее). Раз функция на всем отрезке убывает, то ее наибольшее значение будет в начале отрезка.
Задание 4954
На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на интервале (−2; 11). Найдите точку экстремума функции f (x), принадлежащую отрезку [1; 6].
Точка экстремума функции там, где производная равна нулю. Так как нам дан график производной, то мы просто ищем пересечение графика с осью Ох. Эта точка с абсциссой 3
Задание 5050
Прямая $$y=-5x+8$$ является касательной к графику функции $$y=28x^{2}+bx+15$$. Найдите $$b$$, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
$$\left\{\begin{matrix}y_{1_{'}}=y_{2_{'}}\\y_{1}=y_{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-5x+8=28x^{2}+bx+15\\-5=56x+b\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$b=-5-56x$$; $$-5x+8=28x^{2}+x(-5-56x)+15$$; $$28x^{2}-5x-56x^{2}+15+5x-8=0$$; $$-28x^{2}=-7$$; $$x^{2}=\frac{1}{4}$$; $$x=\pm\frac{1}{2}$$; $$b=-5-56\cdot\frac{1}{2}=-5-28=-33$$
Задание 5097
На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$, определенной на интервале$$(-1;13)$$. Определите количество целых чисел $$x_{1}$$, для которых $$f'(x_{1})$$ отрицательно.
{f}'x<0 тогда, когда f(x) убывает : (0;15)-одно целое (5;9)- три целых (12;13)-ноль целых Всего 4 целых
Задание 5234
На рисунке изображен график $$y=f'(x)$$ – производной функции у = f (x), определенной на интервале (−16; 4). Найдите количество точек экстремума функции у = f (x), принадлежащих отрезку [−14; 2].
Экстремумы функции расположены там, где производная функции равна 0, то есть там, где график производной пересекает ось Ох. На заданном отрезке таких точек 4 (с абсциссами: -13 ; -11 ; -9 ; -7)
Задание 5282
На рисунке изображены график функции $$y=f(x)$$ и касательная к нему в точке с абсциссой $$x_{0}$$. Найдите значение производной функции $$y'=f(x)$$ в точке $$x_{0}$$.
Значение производной в точке равно значению тангенса угла между касательной, проведенной в эту точку, и осью ОХ. Достроим треугольник прямоугольный как показано на рисунке:
$$tg \angle BAC = \frac{BC}{AC}=\frac{9}{6}=1,5$$
Задание 5330
На рисунке изображён график $$y=f'(x)$$ — производной функции $$f(x)$$ , определённой на интервале (-4;10) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику y=f(x) параллельна прямой y=x или совпадает с ней.
Раз касательная к графику параллельна графику функции y=x, то значения коэффициента при х у нее должно быть равно 1 (Графики линейных функций $$y=k_{1}x+b_{1} ; y=k_{2}x+b_{2}$$ параллельны при $$k_{1}=k_{2}$$. А это значение и есть значение производной. То есть необходимо найти количество точек, где значение производной равно 1 (чертим прямую y=1 и находим количество пересечений с графиком функции). Их будет 4