ЕГЭ (профиль) / Планиметрия: задачи, связанные с углами

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

∠ ABC - центральный, а значит дуга AC, на которую он опирается, равна его величине, то есть 130°. Значит дуга CA (противоположная) равна: 360° - 130° = 230°. ∠ ADC опирается на эту дугу и он вписанный, значит равен половине величины дуги на которую он опирается, то есть 230°/2 = 115°

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Достроим треугольник OCD: OC = OD = 10 - радиусы, OH, CN  - высоты. HD = 6 (OH - высота, биссектриса и медиана), отсюда по теореме Пифагора OH = $$\sqrt{OD^{2}-HD^{2}}=8$$.Тогда, используя формулу площади треугольника, получаем:

$$\frac{1}{2} OH*CD = \frac{1}{2} CN*OD$$

$$CN=\frac{OH*CD}{OD}=\frac{8*12}{10}=9.6$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Тангенс угла, это отношение длин противолежащего катета к прилежащему, следовательно, мы можем взять один катет как x, а второй будет 2x(так как тангенс равен 2). Распишем теорему Пифагора с полученными значениями: $$x^{2}+(2x)^{2}=(6\sqrt{5})^{2}$$ $$5x^{2}=36*5$$ $$x^{2}=36$$ $$x=6 ; x=-6$$ Длина не может быть отрицательной, поэтому ответ 6.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть $$\angle ABC=65^{\circ};\angle CBD=50^{\circ}$$, тогда $$\angle B=65+50=115^{\circ}$$, и по свойству углов параллелограмма $$\angle A=180-\angle B=180-115=65^{\circ}$$, что и есть меньший угол парарллелограмма

Пусть $$\angle A=x$$, тогда $$\angle B=x+40$$, по свойству углов параллелограмма $$\angle A+\angle B=180\Leftrightarrow$$$$x+x+40=180\Leftrightarrow$$$$x=70$$,то есть $$\angle A=70^{\circ}$$, что и есть меньший угол

Пусть $$\angle A=x$$, тогда $$\angle B=2x$$, по свойству углов параллелограмма $$\angle A+\angle B=180^{\circ}\Leftrightarrow$$$$x+2x=180\Leftrightarrow$$$$x=60$$, следовательно, $$\angle A=60^{\circ}$$, что и есть меньший угол

Пусть $$\angle BAC=30^{\circ}; \angle CAD=45^{\circ}$$, тогда $$\angle A=30+45=75^{\circ}$$, и по свойству углов параллелограмма: $$\angle B=180-\angle A=180-75=105^{\circ}$$, что и есть больший угол

AB+CD=AD+BC (свойство описанного четырехугольника), но AB=CD, AD=BC (свойство параллелограмма), тогда AB=BC=CD=AD, и ABCD - ромб, тогда его периметр $$6*4=24$$

AE=EC (свойство диагоналей параллелограмма), тогда AB=AE, следовательно, треугольник ABE - равнобедренный и $$\angle ABE=\angle BEA$$, $$\angle ACD=\angle BAE$$ (накрестлежащие), тогда из треугольника ABE: $$\angle BEA=\frac{180-\angle BAE}{2}=\frac{180-84}{2}=48$$

$$\angle BAK=\angle KAD$$(свойство биссеткрисы), $$\angle BKA=\angle KAD$$ (накрестлежащие углы), следовательно, $$\angle BAK=\angle BKA$$, тогда треугольник ABK - равнобедренный и AB=BK=7, но BC=BK+KC=7+132=19=AD, тогда периметр составит: $$2*(7+19)=52$$

$$\angle EAD = \angle BEA=33^{\circ}$$ (накрестлежащие), но так как AE - биссектриса, то $$\angle BAE=\angle DAE=33^{\circ}$$, тогда $$\angle A=33+33=66^{\circ}$$

По свойству биссектрис равностороннего треугольника $$\angle BNP=\angle BMP=90^{\circ}$$, по свойству углов равностороннего треугольника $$\angle B=60^{\circ}$$, тогда по свойству углов выпуклого четырехугольника $$\angle MPN=360-90*2-60=120^{\circ}$$