ЕГЭ Профиль
Задание 900
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если известно, что ∠С = 90°, ВС=6, cos B = 2/3.
AB = BC / cos B = 6 * 3 / 2 = 9 Радиус описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Получаем 9 / 2 = 4,5
Задание 936
Найдите периметр равностороннего треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен $$2\sqrt{3}$$
Если радиус вписанной в него окружности равен $$2\sqrt{3}$$, то вся медиана этого треугольника будет $$2\sqrt{3}*3=6\sqrt{3}$$ (медиана в равностороннем треугольнике она и высота и биссекриса, следовательно, делится на радиус описанной и писанной окружностей, в отношении два к одному, поэтому радиус вписанной составляет одну треть от медианы) Сторона равностороннего треугольника будет равна : $$6\sqrt{3} : sin 60 =6\sqrt{3} :\frac{\sqrt{3}}{2} =12$$ Значит периметр равен 12*3=36
Задание 972
Площадь трапеции вычисляется по формуле $$S=\frac{a+b}{2}*h$$. Получаем $$40=\frac{7+13}{2}*CH$$. Отсюда CH = 4.
Из треугольника CHD по теореме Пифагора находим CD = 5. Отсюда периметр равен 7 + 13 + 5 + 5 = 30
Задание 1011
Площадь ромба вычисляется как половина произведения диагоналей. То есть $$S = 0.5 *2\sqrt{5}*4\sqrt{5}=20$$ С другой стороны, площадь равна произведению основания на высоту, а высота равна двум радиусам вписанной окружности. То есть S = AB * 2 OH = AB * 2r Найдем AB по теореме Пифагора из треугольника ABO (его катеты равны половинам диагоналей): $$AB = \sqrt{\sqrt{5}^{2}+2\sqrt{5}^{2}}=\sqrt{5+20}=5$$ Приравняем площади: 20 = 5 * 2r, r = 2 |