ЕГЭ (профиль) / Планиметрия: задачи, связанные с углами

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Центральный угол EOB равен $$\frac{360^{\circ}}{10}\cdot3=108^{\circ}$$.

Тогда большая дуга EB равна $$360^{\circ}-108^{\circ}=252^{\circ}$$.

Угол BCE опирается на ту же дугу EB, но является вписанным, поэтому равен половине дуги EB, т. е. $$126^{\circ}$$.

Большая сторона ​$$MB$$.

$$NMB​​$$ подобен $$​NPM$$​ по 2 -м углам.

$$​\frac{MB}{DM}=\frac{NM}{NP}​$$

$$​MB=8$$

$$∠BOH=180−126=54°​$$

$$​∠OBH=180−90−54=36°​$$

$$​∠B=2∠OBH=72°$$

Отрезки касательных проведенных к окружности из одной точки равны. Значит, $$​BT=BH=7​$$ и ​$$CM=CH=7​$$

$$​AT=25−7=18$$​ и ​$$AM=25−7=18​$$

Треугольник $$ATM​$$ подобен $$ABC$$​ по углу и пропорциональным сторонам из этого ​$$\frac{TM}{BC}=\frac{18}{25}$$​, (BC=14), отсюда

​$$TM=10,08$$

По свойству пересекающихся хорд ​$$AO\cdot OC=DO\cdot OB​$$

​ $$\Delta ADO$$​ подобен ​$$\Delta BCO$$​ (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними​ $$\angle ADO=\angle COB$$​)

Значит, $$\angle OBC=\angle DAO=\alpha$$ ​

Искомый угол $$\angle DOA=180°-(\angle\beta+\angle\alpha)$$ ​

​$$\angle ADC=\angle\alpha+\angle\beta$$

​$$\angle DOA=180°-(\angle\beta+\angle\alpha)=180°-93°=87°$$

Сделаем доп. построение. Построим прямую || AC из точки B, продолжим прямую AK до пересечения с этой прямой. Пусть они пересекаются в точке Z.

AK-легче всего найти из треугольника ABK по т косинусов (угол B=60, т.к равносторонний треугольник). Но нам нужно знать BK

​$$\Delta BKZ$$​ подобен ​$$\Delta EKF$$​ – по 2-м углам

$$BZ=2DF$$​ (DF-средняя линия треугольника ABZ)

значит ​$$\frac{BK}{KE}=\frac{BZ}{FE}=2​$$

$$​BK=2KE​$$

$$​BE=BK+KE=3KE$$​, откуда $$​KE=\frac{1}{3}BE$$ и ​$$BK=\frac{2}{3}BE$$​ $$(BE=0,5BC=0,5AC)$$

Мы всё знаем, применяем теорему косинусов

$$​AK^2=AB^2+BK^2-2AB\cdot BK\cdot\cos60)$$

Подставляя все известные нам данные получаем ответ

$$∠BAO = ∠ACD$$ – накрест лежащие углы

​$$∠BAC=180−70−70=40​$$

$$​2x=40​$$

Значит, $$​x=20​$$

​$$∠AOD=180−70=110​$$

$$​∠ABD=180−110−20=50$$

Т.к. $$​BCEL​$$ – параллелограмм, то ​$$EL=BC​$$

$$​S_{ABCD}=\frac{x+2x}{2}h=1,5xh​$$

$$​S_{ABE}=16​$$ – это по условию

$$​S_{ABE}=\frac{x}{2}\cdot h=16$$​, откуда можно выразить ​$$xh=32$$

$$​S_{ABCD}=1,5\cdot32=48​$$