ЕГЭ (профиль) / Простейшие уравнения

$$\log_{3}(x+1)^{2}+\log_{3}\left | x+1 \right |=6\Leftrightarrow$$$$2 \log_{3}\left | x+1 \right |+\log_{3}\left | x+1 \right |=6\Leftrightarrow$$$$\log_{3}\left | x+1 \right |=2\Leftrightarrow$$ $$\left | x+1 \right |=9\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+1=9\\x+1=-9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=8\\x=-10\end{matrix}\right.$$ 

Наименьший корень составляет -10

ОДЗ: x>0(1)

$$7*x=x^{2}-30\Leftrightarrow$$$$x^{2}-7x-30=0$$

$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=7\\x_{1}x_{2}=-30\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ \left\{\begin{matrix}x_{1}=10\\x_{2}=-3\notin (1)\end{matrix}\right.$$

$$6^{12,5x+2}=\frac{1}{216}\Leftrightarrow $$$$6^{12,5x+2}=6^{-3}\Leftrightarrow $$$$12,5x+2=-3\Leftrightarrow $$$$12,5x=-5\Leftrightarrow $$$$x=-0,4$$

$$(\frac{1}{25})^{x+2}=5^{x+5}\Leftrightarrow $$$$(5^{-2})^{x+2}=5^{x+5}\Leftrightarrow $$$$-2x-4=x+5\Leftrightarrow $$$$-4-5=x+2x\Leftrightarrow$$$$ x=-3$$

$$(\frac{1}{6})^{6-2x}=36\Leftrightarrow $$$$(\frac{1}{6})^{6-2x}=(\frac{1}{6})^{-2}\Leftrightarrow $$$$6-2x=-2\Leftrightarrow $$$$-2x=-8 \Leftrightarrow $$$$x=4$$

$$(\frac{1}{2})^{10-3x}=32\Leftrightarrow $$$$(\frac{1}{2})^{10-3x}=(\frac{1}{2})^{-5}\Leftrightarrow $$$$10-3x=-5\Leftrightarrow $$$$-3x=-15\Leftrightarrow$$$$ x=5$$

$$7^{18,5x+0,7}=\frac{1}{343} \Leftrightarrow$$ $$7^{18,5x+0,7}=7^{-3} \Leftrightarrow$$ $$18,5x + 0,7 = -3 \Leftrightarrow$$ $$18,5x = -3,7 \Leftrightarrow$$ $$x =-0,2$$

ОДЗ: $$-4-5x \geq 0 \Leftrightarrow$$$$ x \leq -0,8$$
$$\sqrt{-4-5x}=4 \Leftrightarrow$$$$(\sqrt{-4-5x})^{2}=4^{2} \Leftrightarrow$$$$-4-5x=16 \Leftrightarrow$$$$-5x=20 \Leftrightarrow$$$$x=-4$$

ОДЗ: $$15-4x \geq 0 \Leftrightarrow$$$$ x \leq 3,75$$
$$\sqrt{\frac{1}{15-4x}}=0,2 \Leftrightarrow$$$$(\sqrt{\frac{1}{15-4x}})^{2}=(0,2)^{2} \Leftrightarrow$$$$\frac{1}{15-4x}=\frac{1}{25} \Leftrightarrow$$$$15-4x=25 \Leftrightarrow $$$$-4x=10 \Leftrightarrow$$$$x=-2,5$$

$$x-\frac{x}{12}=\frac{55}{12}\Leftrightarrow $$$$\frac{12x-x}{12}=\frac{55}{12}|*12 \Leftrightarrow $$$$11x=55 |:11 \Leftrightarrow $$$$x=5$$

$$(-5x+3)(-x+6)=0 \Leftrightarrow $$произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю $$\left [ \begin{matrix}-5x+3=0\\ -x+6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left [ \begin{matrix}-5x=-3|:(-5)\\ -x=-6|:(-1)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left [ \begin{matrix}x=0,6\\ x=6\end{matrix}\right.$$

$$4x+7=0 \Leftrightarrow$$$$4x=-7|:4\Leftrightarrow$$$$x=-1,75$$

$$x+7-\frac{x}{3}=3 \Leftrightarrow$$$$\frac{3(x+7)+x}{3}=\frac{3*3}{3}|*3\Leftrightarrow$$$$3x+21+x=9\Leftrightarrow$$$$4x=9-21|:4\Leftrightarrow$$$$x=-6$$

$$7x-2=3x+6 \Leftrightarrow$$$$7x-3x=6+2 \Leftrightarrow$$$$4x=8|:4 \Leftrightarrow$$$$x=2$$

$$-x-2+3(x-3)=3(4-x)-3 \Leftrightarrow$$$$-x-2+3x-9=12-3x-3\Leftrightarrow$$$$2x+3x=9+11\Leftrightarrow$$$$5x=20|:5\Leftrightarrow$$$$x=4$$

$$3x+5+(x+5)=(1-x)+4\Leftrightarrow $$$$3x+5+x+5=1-x+4\Leftrightarrow $$$$4x+x=5-10\Leftrightarrow $$$$5x=-5|:5\Leftrightarrow $$$$x=-1$$

$$5-2x=11-7(x+2)\Leftrightarrow $$$$5-2x=11-7x-14\Leftrightarrow $$$$-2x+7x=-3-5\Leftrightarrow $$$$5x=-8|:5\Leftrightarrow $$$$x=-1,6$$

$$2-3(2x+2)=5-4x\Leftrightarrow $$$$2-6x-6=5-4x\Leftrightarrow $$$$-6x+4x=5+4\Leftrightarrow $$$$-2x=9|:(-2)\Leftrightarrow $$$$x=-4,5$$

$$\frac{x}{12}+\frac{x}{8}+x=-\frac{29}{6} \Leftrightarrow$$$$\frac{2x}{24}+\frac{3x}{24}+\frac{24x}{24}=\frac{-29*4}{24} \Leftrightarrow$$$$29x=-29*4\Leftrightarrow$$$$x=-4$$

$$13+\frac{x}{4}=x+1 \Leftrightarrow$$$$\frac{13*4+x}{4}=\frac{(x+1)*4}{4}\Leftrightarrow$$$$52+x=4x+4\Leftrightarrow$$$$52-4=4x-x\Leftrightarrow$$$$3x=48\Leftrightarrow$$$$x=16$$

$$3-\frac{x}{7}=\frac{x}{3}\Leftrightarrow$$$$\frac{3(3*7-x)}{3*7}=\frac{x*7}{3*7}\Leftrightarrow$$$$63-3x=7x\Leftrightarrow$$$$10x=63|:10 \Leftrightarrow$$$$x=6,3$$

$$\frac{5x+4}{2}+3=\frac{9x}{4}\Leftrightarrow$$$$\frac{2(5x+4)+3*4}{4}=\frac{9x}{4}\Leftrightarrow$$$$10x+8+12=9x\Leftrightarrow$$$$10x-9x=-20\Leftrightarrow$$$$x=-20$$

$$\frac{x-12}{x-4}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow$$$$\frac{(x-12)*5}{5(x-4)}=\frac{3(x-4)}{5(x-4)}\Leftrightarrow$$$$5x-60=3x-12\Leftrightarrow$$$$5x-3x=-12+60\Leftrightarrow$$$$2x=48|:2\Leftrightarrow$$$$x=24$$

По теореме Виета: $$x_{1}*x_{2}=q$$. Тогда $$q=-5*7=-35$$

$$8x^2-12x+4=0$$
$$D=12^{2}-4*8*4=144-128=16$$
$$x_{1}=\frac{12+4}{16}=1$$
$$x_{2}=\frac{12-4}{16}=0,5$$

$$-2x^{2}+x+7=-x^{2}+5x+(-2-x^{2})$$
$$-2x^{2}+x+7+x^{2}-5x+2+x^{2}=0$$
$$-4x+9=0$$
$$-4x=-9 |: (-4)$$
$$x=2,25$$

$$(x-4)^{2}+(x+9)^{2}=2x^{2}$$
$$x^{2}-8x+16+x^{2}+18x+81-2x^{2}=0$$
$$10x+97=0$$
$$10x=-97| :10$$
$$x=-9,7$$

Для этого воспользуемся формулой : $$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$, где $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ - корни уравнения $$ax^{2}+bx+c=0$$
$$x^2+6x-27=0$$
По теореме Виета:
$$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=-6\\x_{1}*x_{2}=27\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix} x_{1}=-9\\x_{2}=3\end{matrix}\right.$$
Тогда $$ax^{2}+bx+c=(x+9)(x-3)$$

По теореме Виета: $$x_{1}+x_{2}=-p$$, тогда $$p=-(-6+4)=2$$

Приравняем функции, и найдем координаты точки, абсцисса которой будет положительна:
$$3-x^{2}=-2x$$
$$x^{2}-2x-3=0$$
По теореме Виета:
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2\\x_{1}*x_{2}=-3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=3\\x_{2}=-1\end{matrix}\right.$$
То есть рассматривать мы будем точку с абсциссой 3. Подставим ее в любую из функций:
$$y(3)=3-3^{2}=-6$$
То есть координаты точки B $$(3;-6)$$

$$2x^2-10x=0 \Leftrightarrow$$$$2x(x-5)=0 \Leftrightarrow$$$$x=0 ; x=5$$

$$25x^2-1=0 \Leftrightarrow$$$$25x^{2}=1 \Leftrightarrow $$$$x^{2}=\frac{1}{25} \Leftrightarrow $$$$x=\pm \sqrt{\frac{1}{25}}=$$$$\pm\frac{1}{5}=\pm 0,2$$

$$x^2+3x=4$$
$$x^{2}+3x-4=0$$
По теореме Виета:
$$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=-3\\x_{1}*x_{2}=-4 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix} x_{1}=-4\\x_{2}=1 \end{matrix}\right.$$

$$\log_8 2^{8x-4}=4\Leftrightarrow $$$$\log_{2^{3}} 2^{8x-4}=4\Leftrightarrow $$$$\frac{1}{3}*(8x-4)=4\Leftrightarrow $$$$8x-4=12\Leftrightarrow $$$$ 8x=16\Leftrightarrow $$$$x=2$$

ОДЗ: $$5-x >0 \Leftrightarrow x <5$$

$$\log_5 (5-x)=2\log_5 3\Leftrightarrow $$$$\log_5 (5-x)=\log_5 3^{2}\Leftrightarrow $$$$5-x=9\Leftrightarrow $$$$x=-4$$

ОДЗ: $$7-x >0 \Leftrightarrow x <7$$

$$\log_\frac{1}{7} (7-x) = -2\Leftrightarrow $$$$\log_\frac{1}{7} (7-x) = \log_\frac{1}{7} (\frac{1}{7})^{-2}\Leftrightarrow$$$$ 7-x=49\Leftrightarrow $$$$x=-42$$

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x+3> 0\\ 4x-15> 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}x> -3\\ x> 3,75\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$x> 3,75$$
$$\log_4 (x+3) = \log_4 (4x-15)\Leftrightarrow$$$$ x+3=4x-15\Leftrightarrow$$$$ 3+15=4x-x\Leftrightarrow $$$$x=6$$

ОДЗ:$$15+x >0 \Leftrightarrow x >-15$$
$$\log_2 (15+x) = \log_2 3\Leftrightarrow$$$$ 15+x=3\Leftrightarrow$$$$ x=-12$$

$$16^{x-9}=0,5 \Leftrightarrow$$ $$(2^{4})^{x-9}=2^{-1} \Leftrightarrow$$$$4x-36=-1 \Leftrightarrow$$ $$4x=35 \Leftrightarrow$$ $$x=8,75$$

$$2^{3+x}=0,4*5^{3+x}|: 5^{3+x} \Leftrightarrow$$ ​$$\frac{2^{3+x}}{5^{3+x}} = (\frac{2}{5})^{1} \Leftrightarrow $$ $$3+x=1 \Leftrightarrow$$ $$x=-2$$

$$8^{9-x}=64^{x} \Leftrightarrow$$$$8^{9-x}=(8^{2})^{x} \Leftrightarrow$$$$9-x=2x \Leftrightarrow$$$$9=2x+x \Leftrightarrow$$$$x=3$$

$$(\frac{1}{2})^{x-8}=2^{x} \Leftrightarrow$$$$(2^{-1})^{x-8}=2^{x} \Leftrightarrow$$$$ -x+8=x\Leftrightarrow $$$$8=x+x \Leftrightarrow$$$$x=4$$

$$(\frac{1}{3})^{x-8}=\frac{1}{9} \Leftrightarrow$$$$(\frac{1}{3})^{x-8}=(\frac{1}{3})^{2}\Leftrightarrow$$$$x-8=2 \Leftrightarrow$$$$x=2+8 \Leftrightarrow$$$$x=10$$

$$5^{x-7}=\frac{1}{125} \Leftrightarrow$$$$5^{x-7}=5^{-3} \Leftrightarrow$$$$x-7=-3 \Leftrightarrow$$$$x=-3+7 \Leftrightarrow$$$$x=4$$

$$2^{4-2x}=64 \Leftrightarrow$$$$2^{4-2x}=2^{6} \Leftrightarrow$$$$4-2x=6 \Leftrightarrow$$$$4-6=2x \Leftrightarrow$$$$x=-1$$

$$\sqrt[3]{x+2}=-2 \Leftrightarrow$$$$(\sqrt[3]{x+2})^{3}=(-2)^{3} \Leftrightarrow$$$$x+2=-8 \Leftrightarrow$$$$x=-10$$

ОДЗ: $$6+5x \geq 0 ; x \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -1,2 ; x \geq 0$$

$$\sqrt{6+5x}=x \Leftrightarrow$$$$(\sqrt{6+5x})^{2}=x^{2} \Leftrightarrow$$$$6+5x=x^{2} \Leftrightarrow$$$$x^{2}-5x-6=0$$

По теореме Виета:

$$\left[ \begin{matrix} x_{1}+x_{2}=5\\x_{1}*x_{2}=-6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[ \begin{matrix} x_{1}=6 \\ x_{2}=-1 \end{matrix}\right.$$

Больший из корней равен 6

ОДЗ не будет, так как дан корень нечетной степени, следовательно подкоренное может быть любым
$$\sqrt[3]{x-4}=3 \Leftrightarrow$$$$(\sqrt[3]{x-4})^{3}=3^{3} \Leftrightarrow$$$$x-4=27\Leftrightarrow$$$$x=31$$

ОДЗ: $$3x-8 \geq 0 \Leftrightarrow $$$$x \geq \frac{8}{3}$$
$$\sqrt{3x-8}=5 \Leftrightarrow$$$$(\sqrt{3x-8})^{2}=5^{2} \Leftrightarrow$$$$3x-8=25\Leftrightarrow$$$$3x=33\Leftrightarrow$$$$x=11$$

ОДЗ: так как из под корня выйдет однозначно неотрицательное число, то правая часть уравнения должна быть так же неотрицательной: $$-72-17x \geq 0 ; -x \geq 0 \Leftrightarrow$$$$ x \leq -\frac{72}{17} ; x \leq 0$$

Возведем обе части в квадрат: $$(\sqrt{-72-17x})^{2}=(-x)^{2} \Leftrightarrow$$$$-72-17x=x^{2} \Leftrightarrow$$$$x^{2}+17x+72=0$$

По теореме Виета: $$\left[ \begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-17 \\ x_{1}*x_{2}=72\end{matrix}\right. \Leftrightarrow$$ $$\left[ \begin{matrix} x_{1}=-8 \\x_{2}=-9 \end{matrix} \right.$$

ОДЗ: $$4x-54 \geq 0 \Leftrightarrow$$$$ x \geq 13,5$$
Возведем обе части в квадрат: $$(\sqrt{\frac{6}{4x-54}})^{2}=(\frac{1}{7})^{2} \Leftrightarrow$$$$\frac{6}{4x-54}=\frac{1}{49}\Leftrightarrow$$$$6*49=4x-54\Leftrightarrow$$$$4x=348 \Leftrightarrow$$$$x=87$$

ОДЗ: $$15 - 2x \geq 0 \Leftrightarrow$$$$-2x \geq -15 \Leftrightarrow$$$$ x\leq 7,5$$

Возведем обе части в квадрат: $$(\sqrt{15-2x})^{2}=3^{2}\Leftrightarrow$$$$15-2x=9\Leftrightarrow$$$$-2x=9-15\Leftrightarrow$$$$x=3$$

ОДЗ: $$3x-4 \neq 0 ; 4x-11 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{4}{3}; x \neq 2,75$$
$$\frac{1}{3x-4}=\frac{1}{4x-11} \Leftrightarrow$$$$3x-4=4x-11 \Leftrightarrow$$$$-4+11=4x-3x \Leftrightarrow$$$$x=7$$

ОДЗ: $$4x-1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 0,25$$
$$\frac{1}{4x-1}=5\Leftrightarrow$$$$1=5(4x-1) \Leftrightarrow $$$$ 20x-5=1 \Leftrightarrow$$$$20x=6 \Leftrightarrow $$$$x=0,3$$

ОДЗ: $$9x-7 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{7}{9}$$
$$\frac{1}{9x-7}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$$$1*2=9x-7 \Leftrightarrow$$$$9x=9\Leftrightarrow$$$$x=1$$

ОДЗ: $$5x+7 \neq 0 ; 7x+5 \neq 0 \Leftrightarrow x\neq -1,4 ; x \neq -\frac{5}{7}$$
$$\frac{x+8}{5x+7}=\frac{x+8}{7x+5}\Leftrightarrow$$$$(x+8)(7x+5)=(x+8)(5x+7)\Leftrightarrow$$$$(x+8)(7x+5)-(x+8)(5x+7)=0 \Leftrightarrow$$$$(x+8)(7x+5-5x-7)=0 \Leftrightarrow$$$$x=-8 ; 2x-2=0 \Leftrightarrow$$$$x=-8 ; x=1$$
Наибольший из корней равен 1.

ОДЗ: $$2x^{2}-5 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm \sqrt{2,5}$$
$$\frac{13}{2x^{2}-5}=1\Leftrightarrow $$$$13=2x^{2}-5 \Leftrightarrow $$$$2x^{2}=18\Leftrightarrow $$$$x=\pm 3$$
Больший из корней равен 3

ОДЗ: $$x^{2}-16 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm 4$$
$$\frac{9}{x^{2}-16}=1\Leftrightarrow $$$$9=x^{2}-16 \Leftrightarrow $$$$x^{2}=25\Leftrightarrow $$$$x=\pm 5$$
Больший из корней равен 5

ОДЗ: $$x-2\neq 0\Leftrightarrow x\neq 2$$
$$\frac{6x-15}{x-2}=x\Leftrightarrow$$$$6x-15=x(x-2)\Leftrightarrow$$$$6x-15-x^{2}+2x=0\Leftrightarrow$$$$-x^{2}+8x-15=0\Leftrightarrow$$$$x^{2}-8x+15=0$$
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=8\\ x_{1}*x_{2}=15\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{1}=5\\x_{2}=3 \end{matrix}\right.$$
В ответе необходимо указать больший, то есть 5

$$\frac{x+1}{x+7}=-5\Leftrightarrow$$$$x+1=-5(x+7)\Leftrightarrow$$$$x+1=-5x-35\Leftrightarrow$$$$x+5x=-35-1\Leftrightarrow$$$$6x=-36\Leftrightarrow$$$$x=-6$$
(так же следует учитывать , что знаменатель дроби не равен 0, то есть x не равно -7)

$$(x-3)^{3}=-8\Leftrightarrow$$$$(x-3)^{3}=(-2)^{3}\Leftrightarrow$$$$x-3=-2\Leftrightarrow$$$$x=1$$

$$(x-3)^{3}=8\Leftrightarrow$$$$(x-3)^{3}=2^{3}\Leftrightarrow$$$$x-3=2\Leftrightarrow$$$$x=5$$

$$\frac{x^{2}}{3}=16\frac{1}{3}\Leftrightarrow$$$$\frac{x^{2}}{3}=\frac{49}{3}\Leftrightarrow$$$$x^{2}=49$$$$x=\pm7$$
$$x=-7$$ является наименьшим в данном случае

$$x^{2}+9=(x+9)^{2}\Leftrightarrow$$$$x^{2}+9=x^{2}+18x+81\Leftrightarrow$$$$9-81=18x\Leftrightarrow$$$$-72=18x\Leftrightarrow$$$$x=-4$$

$$(x6)^{2}=-24x\Leftrightarrow$$$$x^{2}-12x+36=-24x\Leftrightarrow$$$$x^{2}+12x+36=0\Leftrightarrow$$$$(x+6)^{2}=0\Leftrightarrow$$$$x=-6$$

$$(2x+7)^{2}=(2x-1)^{2}\Leftrightarrow$$$$4x^{2}+28x+49=4x^{2}-4x+1\Leftrightarrow$$$$28x+4x=1-49\Leftrightarrow$$$$32x=-48\Leftrightarrow$$$$x=-1,5$$

$$x^{2}-17x+72=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=17\\x_{1}*x_{2}=72 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}x_{1}=9\\x_{2}=8 \end{matrix}\right.$$
Меньший корень в данном случае 8.

$$(x-10)^{2}=(x+4)^{2}\Leftrightarrow$$$$x^{2}-20x+100=x^{2}+8x+16\Leftrightarrow$$$$x^{2}-20x+100-x^{2}-8x-16=0\Leftrightarrow$$$$-28x=-84\Leftrightarrow$$$$x=3$$

$$\frac{4}{7}x=7\frac{3}{7}\Leftrightarrow$$ ​$$\frac{4}{7}x=\frac{52}{7}\Leftrightarrow$$$$x=\frac{52}{7}*\frac{7}{4}\Leftrightarrow$$$$x=13$$ ​ ​