ОГЭ
Задание 4654
В прямоугольном треугольнике АВС точки D и E лежат соответственно на катетах BC и AC так, что CD = CE = 1. Точка M - точка пересечения отрезков AD и BE Площадь треугольника BMD больше площади треугольника AME на 1/2. Известно, что AD = $$\sqrt{10}$$ . Найдите длину гипотенузы AB.
Построим чертеж:
Задание 4804
В треугольнике, величина одного из углов которого равна разности величин двух других его углов, длина меньшей стороны равна 1, а сумма площадь квадратов, построенных на двух других сторонах, в два раза больше площади описанного около треугольника круга. Найдите длину большей стороны треугольника.
Построим рисунок:
1) Пусть меньший угол $$\alpha$$, а жва других $$x$$ и $$y$$. По условию задания меньший равен равности двух сотавшихся, а по свойству треугольника разность 180 и меньшего дает сумму оставшихся. Тогда:
$$\left\{\begin{matrix} \alpha= x-y\\180-\alpha =x+y \end{matrix}\right.$$
Сложим оба уравнения системы:
$$\Rightarrow 180=2x \Leftrightarrow x=90$$
То есть мы получили прямоугольный треугольник. Построим новый чертеж по условию задачи и с учетом полученного решения:
2) Пусть $$AC = x ; S_{AEDC}=S_{1}; S_{BCIH}=S_{2}$$. Тогда $$S_{1}=x^{2} ;$$$$ BC=\sqrt{x^{2}-1} \Rightarrow S_{2}=x^{2}-1 \Rightarrow $$$$S_{1}+S_{2}=2x^{2}-1$$
3)Пусть площадь окружности $$S_{3} ; R$$-радиус окружности.Радиус описанной окружотсти вокруг прямоугольного треугольника равен полвине его гипотенузы. $$R=\frac{AC}{2}=\frac{x}{2}$$. Тогда : $$S_{3}=\pi R^{2}=\pi \frac{x^{2}}{4}$$. Приравняем площади: $$2x^{2}-1=2*\pi \frac{x^{2}}{4} \Rightarrow $$$$4x^{2}-2=\pi x^{2} \Rightarrow $$$$x^{2}(4-\pi)=2 \Rightarrow $$$$x=\sqrt{\frac{2}{4-\pi}}$$
Задание 4872
В равностороннем треугольнике АВС из вершин А и В проведена окружность с центром в точке О, проходящая через точку пересечения медиан треугольника АВС и касающаяся его стороны ВС в её середине D. Из точки А проведена прямая, касающаяся этой окружности в точке Е так, что градусная мера угла ВАЕ меньше $$30^{\circ}$$. Найдите отношение площадей треугольника АВЕ и четырехугольника ВЕОD
Задание 4899
Стороны ромба EFGH являются гипотенузами прямоугольных равнобедренных треугольников EAF, FDG, GCH и HBE, причем все эти треугольники имеют общие внутренние точки с ромбом EFGH. Сумма площадей четырехугольника ABCD и ромба EFGH равна 12. Найдите CH.
Задание 4946
На продолжении стороны ВС треугольника АВС за точку В расположена точка Е так, что биссектрисы углов АЕС и АВС пересекаются в точке К, лежащей на стороне АС. Длина отрезка ВЕ = 1, длина отрезка ВС равна 2, градусная мера угла ЕКВ равна $$30^{\circ}$$. Найдите длину стороны АВ.
Задание 4993
В треугольнике АВС угол В равен 30°. Через точки А и В проведена окружность радиуса 2, касающаяся прямой АС в точке А. Через точки В и С проведена окружность радиуса 3, касающаяся прямой АС в точке С. Найдите длину стороны АС.
1) $$O_{1}$$ - ценрт оружности $$R_{1}=2$$; $$O_{2}$$ - ценрт оружности $$R_{2}=3$$; $$\angle ABC=\alpha$$; $$\angle BAC=\beta$$;
2) $$\angle BO_{2}C=2\angle BCA=2\alpha$$; $$\angle AO_{1}B=2\angle BAC=2\beta$$;
3) $$AB=2R_{1}\sin\beta=4\sin\beta$$; $$BC=2R_{2}\sin\alpha=6\sin\alpha$$; (по теореме синусов) $$\frac{AB}{\sin\alpha}=\frac{BC}{\sin\beta}$$ (из $$\bigtriangleup ABC$$) $$\Rightarrow$$ $$\frac{4\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{6\sin\alpha}{\sin\beta}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$4\sin^{2}\beta=6\sin^{2}\alpha$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\sqrt{\frac{3}{2}}$$
4) $$\frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{AB}{\sin\angle ACB}$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=\frac{AB}{\sin\angle ACB}\cdot\sin\angle ABC=$$ $$\frac{4\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot\sin30^{\circ}=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{2}=\sqrt{6}$$
Задание 5042
В выпуклом четырёхугольнике ABCD точка Е – точка пересечения диагоналей. Известно, что площадь каждого из треугольников АВЕ и DСЕ равна 1, площадь четырёхугольника АВСD не превосходит 4, АD = 3. Найдите длину стороны ВС.
1) $$S_{ABC}=S_{CED}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$BE\cdot AE=CE\cdot ED$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BE}{ED}=\frac{CE}{EA}$$; $$\angle BEC=\angle AED$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BEC\sim\bigtriangleup AED$$ $$\Rightarrow$$ дана трапеция.
2) Пусть НМ - высота $$\Rightarrow$$ $$S_{BEC}=\frac{1}{2}BC\cdot HE$$; $$S_{AED}=\frac{1}{2}EM\cdot AD$$. Пусть $$EM=x$$ $$\Rightarrow$$ $$HE=kx$$, где $$k$$ - коэфф. подобия $$\Rightarrow$$ $$BC=k\cdot3$$ $$\Rightarrow$$
$$S_{BEC}+S_{AED}=\frac{1}{2}\cdot3k\cdot kx+\frac{1}{2}\cdot3x=\frac{1}{2}\cdot3x(k^{2}+1)\leq2$$ $$\Rightarrow$$ $$x(k^{2}+1)\leq\frac{4}{3}$$ $$(1)$$
$$S_{ABCD}=\frac{3k+3}{2}\cdot(kx+x)<4$$ $$\Rightarrow$$ $$x(k+1)^{2}\leq\frac{8}{3}$$ $$(2)$$
Поделим первое на второе: $$\frac{k^{2}+1}{(k+1)^{2}}\leq\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{8}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{k^{2}+1}{(k+1)^{2}}\leq\frac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2k^{2}+2\leq k^{2}+2k+1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$k^{2}-2k+1\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(k-1)^{2}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$k=1$$ $$\Rightarrow$$ $$BC=1\cdot3=3$$
Задание 5089
Дан треугольник KLM. Через точки K и L проведена окружность, центр которой лежит на высоте LF, опущенной на сторону KM. Известно, что точка F лежит на стороне KM. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью, если $$KL=1$$, $$KM=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$FM=\frac{\sqrt{3}}{6}$$
1) $$KF=KM-FM=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
2) $$\bigtriangleup LKF$$: $$LF=\sqrt{KL^{2}-LF^{2}}=\sqrt{1^{2}-\frac{3}{9}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$;
3) $$\bigtriangleup LKN$$ - прямоугольный, т.к. опирается на диаметр $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup KLF\sim\bigtriangleup LKN$$ (по 2 углам) $$\Rightarrow$$ $$\frac{KL}{LN}=\frac{LF}{KL}$$ $$\Rightarrow$$ $$KL^{2}=LN\cdot LF$$ $$\Rightarrow$$ $$KL^{2}=LF(LF+FN)$$, пусть $$FN=x$$
$$1^{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}(\frac{\sqrt{6}}{3}+x)$$; $$1-\frac{6}{9}=\frac{\sqrt{6}}{3}x$$; $$\Rightarrow$$ $$x=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$$; $$LN=LF+FN=\frac{\sqrt{6}}{3}+\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}+\frac{\sqrt{6}}{6}=$$ $$\frac{3\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$
4) $$R=\frac{1}{2}LN$$ (радиус описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы) $$\Rightarrow$$ $$R=\frac{\sqrt{6}}{4}$$
5) $$S=\pi R^{2}=\frac{6}{16}\pi=\frac{3}{8}\pi$$
Задание 5176
В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса ВЕ, а на гипотенузе ВС взята точка М так, что $$EM \perp BE$$. Найдите площадь треугольника АВС, если СМ=1, СЕ=2..
Задание 5226
В треугольнике АВС точка D на стороне ВС и точка F на стороне АС расположены так, что ВD:DC=3:2, AF:FC=3:4. Отрезки AD и BF пересекаются в точке Р. Найдите отношение АР:PD.
ВD:DC=3:2, пусть BD=3x, тогда DC=2x, а BC=5x. AF:FC=3:4, пусть AF=3y, тогда FC=4y. По теореме Менелая для треугольника BFC: $$\frac{AP}{PD}*\frac{BD}{BC}*\frac{CF}{AF}=1\Leftrightarrow$$$$\frac{AP}{PD}*\frac{3x}{5x}*\frac{4y}{3y}=1\Leftrightarrow$$$$\frac{AP}{PD}=\frac{5}{4}$$
Задание 5274
Сторона равностороннего треугольника АВС равна 14. Через его центр проведена прямая $$l$$, пересекающая сторону ВС и проходящая на расстоянии $$\sqrt{7}$$ от середины стороны АВ. В каком отношении прямая $$l$$ делит сторону ВС?
Задание 5322
Диагонали вписанного в окружность четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е, причем AD·СЕ = DС·АЕ, BD = 6, $$\angle ADB = 22,5^{\circ}$$. Найдите площадь четырехугольника ABCD
1) AD*CE=CD*AE, тогда $$\frac{AD}{CD}=\frac{AE}{CE} \Leftrightarrow$$ DB - биссектриса в треугольнике ADC. Тогда $$\angle BDA = \angle CDB$$ , но $$\angle BDA = \angle BCA$$ и $$\angle CDB = \angle BAC$$ (как вписанные), следовательно $$\angle BCA = angle BAC$$ , тогда треугольник ABC - равнобедренный
2)Построим продолжение DС за точка C и отложим из B отрезок BF = DB так, что $$F \in DC$$. Тогда треугольник DBF - равнобедренный. Так как AB = BC, DB = BF и из равнобедренности DBF $$\angle BDF = \angle BFD$$, но и $$\angle BDA = \angle CDB$$, тогда $$\angle BDA=\angle BFD$$. $$\angle BAD + \angle DCB = 180$$ по свойству вписанного четырехугольника, но и $$\angle BCF + \angle DCB = 180$$ по свойству смежных углов, тогда $$\angle BAD = \angle BCF$$ и, следовательно, треугольники ABD и BCF равны, следовательно, $$S_{ADF}=S_{ABCD}$$
3)$$\angle DBF = 180 - 2*22.5 = 135$$ (из треугольника DBF), $$S_{DBF}=\frac{1}{2}DB*DF*\sin DBF$$, то есть $$S_{DBF}=0,5*6*6*\frac{\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}$$
Задание 5369
На боковой стороне АВ трапеции АВСD взята точка М таким образом, что АМ : МВ = 2 : 3. На противоположной стороне СD взята такая точка N, что отрезок MN делит трапецию на части, одна из которых по площади втрое больше другой. Найдите отношение CN : ND, если известно, что BC : AD = 1 : 2
Задание 5417
В треугольнике АВС, площадь которого равна S, точка М середина стороны ВС, точка N на продолжении стороны АВ и точка К на продолжении стороны АС выбраны так, что AN = ½ AB, CK = ½ AC. Найти площадь треугольника MNK.
1)$$S_{MCR}=\frac{1}{4}*S$$
2)Пусть $$MR\left | \right |AC\Rightarrow AR=RB$$(RM-средняя линия)$$\Rightarrow AR=0,5*y=NA\Rightarrow AL$$-средняя линия $$\Rightarrow NL=LM\Rightarrow AL=\frac{1}{2}*RM=\frac{1}{4}*AC=\frac{1}{4}x ; LC=\frac{3}{4}x ;$$
3)$$S_{NMK}=S_{MCK}+S_{MCL}+S_{NLK}$$ $$S_{MCL}=\frac{1}{2}*\frac{3}{4}*S=\frac{3}{8}*S\Rightarrow S_{LMK}=\frac{3}{8}*S=\frac{5*S}{8};$$
4)KL-медиана$$\Rightarrow S_{MLK}=S_{KLN}=\frac{5*S}{8};$$
5) $$S_{MNK}=2*\frac{5*S}{8}=\frac{109}{8}=\frac{5S}{4};$$