ОГЭ / (C3) Функции и их свойства. Графики функций

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Раскроем модуль:

$$x\leq -3\Leftrightarrow y=-x-3-x+3=-2x$$

$$x \in (-3, 3]\Leftrightarrow y=x+3-x+3=6$$

$$x>3\Rightarrow y=x+3+x-3=2x$$

     Начертим график:

     Видим, что две точки пересечения будут в том случае, если прямая лежит в первой четверти при $$a\in(0;2)$$ (от момента, когда она будет параллельна оси Ох, до момента, когда она будет параллельна прямой $$y=2x$$) и, если прямая лежит во второй четверти при $$a\in(-2;0)$$ (от момента, когда она будет параллельна $$y=-2x$$, до момента, когда она будет параллельна оси Ох): $$a \in (-2;0)\cup (0;2)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Рассмотрим график функции $$y=-x^{2}$$ с учетом того, что $$-1 \leq x \leq 1$$: это парабола, ветви вниз, вершина в начале координат (черным отмечена часть графика, с учетом ограничений)

      Рассмотрим график функции $$y=-\frac{1}{\left | x \right |}$$ с учетом, что $$x \in (-\infty; 1)\cup (1;+\infty)$$: без модуля была бы гипербола, располагающаяся во второй и четвертой координатной четвертях, с учетом модуля левая ее ветвь отобразится относительно оХ (черным выделена часть, с учетом ограничений по х):

Объеденим графики:

     Как видим, две точки пересечения прямая будет иметь в том случае, когда c=1

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Рассмотрим $$y=x^{2}+4x$$. Найдем координаты вершины параболы: $$x_{0}=-\frac{4}{2}=-2$$; $$y_{0}=-4$$. Построим график функции с учетом ограничения по х (выделен черным)

Рассмотрим $$y=\frac{5}{x}$$ - это гипербола, расположенная в первой и третьей координатных четвертях. С учетом ограничениях по х (выделен черным):

Объединим полученные кусочные функции:

Прямая $$y=a$$ - прямая, параллелная оси Ох. Три точки пересечения будет при $$a \in (0;5)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Рассмотрим раскрытие модулей:

$$\left\{\begin{matrix}x\leq -4, y=-x+4-(-x-4)=8\\x \in (-4,4)(1), y =-x+4-(x+4)=-2x-8\\x\geq 4(2), y=x-4-(x+4)=-8(3)\end{matrix}\right.$$

Построим график данной кусочной функции:

Как видим, одна точка пересечения у графика будет в случае: $$k \in (-\infty ;-2)\cup [0;+\infty )$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

      ОДЗ: $$\left | x \right |-2x^{2}\neq 0\Leftrightarrow$$ $$\left | x \right |-2\left | x \right |^{2} \neq 0\Leftrightarrow$$ $$\left | x \right |(1-2\left | x \right |)\neq 0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\neq 0\\ x\neq 0,5\\ x\neq -0,5\end{matrix}\right.$$.

При $$x>0$$: $$y=\frac{2x-1}{x(1-2x)}=-\frac{1}{x}$$ (выдерена красным)

При $$x<0$$: $$y=\frac{-2x-1}{-x-2x^{2}}=\frac{1}{x}$$(выделена красным)

   Итоговый график с учетом ОДЗ:

   Найдем k: $$y=kx$$ проходит через (-0,5 ; -2): $$-2=-0,5*k\Rightarrow k=4$$(зеленая) и через (0,5; -2): $$-2=0,5k\Rightarrow k=-4$$(красная). При k=0 (черная) тоже не имеет пересечений

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Найдем ограничения по x: $$x^{2}-2x\neq 0\Leftrightarrow$$ $$x\neq 0 x\neq 2(1)$$. Тогда $$y=\frac{x-2}{x(x-2)}=\frac{1}{x}$$ с учетом (1) аналогичен искомой функции

     Построим график функции:

     $$y=kx$$ имеет 1 общую точку если проходит через (2;0,5): $$0,5=2k\Rightarrow$$ $$k=\frac{1}{4}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

       Построим $$y=-x^{2}-4x$$. Вершина параболы: $$x_{0}=-\frac{-4}{-2}=-2$$, тогда $$y_{0}=-(-2)^{2}-4(-2)=4$$ (Черным выделена часть графика, с учетом $$x\geq 0$$):

       Построим $$y=-2x$$ - это прямая, проходящая во второй и четвертой четвертях через начало координат (черным выделено с учетом условия $$x<0$$:

       Объединим полученные кусочные функции:

       С учетом того, что график функции $$y=m$$ - это прямая, параллельная оси Ох, то 2 точки пересечения с первоначальным графиком быть не может

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$y=1+\frac{x-3}{x^{2}-3x}$$$$\Leftrightarrow$$ $$y=1+\frac{x-3}{x(x-3)}$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y=1+\frac{1}{x}\\x-3\neq 0\end{matrix}\right.$$

Начертим график данной функции:

Найдем оординату точки А: $$y(3)=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$$

Т.к. $$y=a$$ – прямая, параллельная Ox, то не будет иметь общих точек при $$a=\frac{4}{3}$$ (проходит через А) и $$a=1$$ (проходит через горизонтальную асимптоту)

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$y=1-\frac{2x^{4}-x^{3}}{2x^{2}-x}=1-\frac{x^{3}(2x-1)}{x(2x-1)}$$$$\Rightarrow$$ $$y=\left\{\begin{matrix}1-x^{2}\\x\neq 0\\2x-1\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$y=\left\{\begin{matrix}1-x^{2}\\x \neq 0\\x\neq 0,5\end{matrix}\right.$$

Построим график данной функции (не забудем отметить пустыми точка (A и B) имеющиеся ограничения:

Видим, что прямая всегда будет пересекать в двух точках параболы (на области значений параболы) кроме тех случаев, когда она пройдет через точку А или В: $$m \in (-\infty;0,75)\cup (0,75; 1)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Расскроем первый модуль:

   1) При $$x\geq 0$$ : $$y=\left | x^{2}-6x+4 \right |-2$$

Рассмотрим подмодульное выражение: $$x^{2}-6x+4=0$$: $$D=36-16=20\Rightarrow$$ $$x_{1}, x_{2}=\frac{6 \pm \sqrt{20}}{2}=3 \pm \sqrt{5}$$

• тогда при $$x \in [0;3-\sqrt{5}]\cup [3+\sqrt{5}; +\infty )$$: $$y=x^{2}-6x+4-2=x^{2}-6x+2(1)$$
• при $$x \in (3-\sqrt{5}; 3+\sqrt{5})$$: $$y=-x^{2}+6x-6(2)$$

     2) При $$x<0$$ имеем $$y=\left | x^{2}+6x+4\right |-2$$

Рассмотрим подмодульное выражение : $$x^{2}+6x+4=0\Leftrightarrow$$ $$x_{1,2}=-3\pm \sqrt{5}$$

• тогда при $$x \in (-\infty ; -3-\sqrt{5}]\cup [-3+\sqrt{5};0)$$ имеем: $$y=x^{2}+6x+4+2=x^{2}+6x-2(3)$$
• при $$x \in (-3-\sqrt{5}; -3+\sqrt{5}):$$ $$y=-x^{2}-6x-6(4)$$

Построим график функции

Видим, что наибольшее количество пересечений (8) будет при $$m \in (-2;2)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Построим график функции $$y=-x^{2}$$ и оставим часть при $$\left | x \right |\leq 2(x \in [-2 ;2])$$.

Построим $$y=\frac{8}{x}$$ при $$x \in (-\infty ;-2)\cup (2; +\infty )$$

1 общая точка при $$a \in [0 ; 4)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Упростим формулу: $$y_{1}=-1-\frac{x-1}{x(x-1)}=-1-\frac{1}{x}$$ . Следовательно , график функции $$y_{1}$$ совпадает с $$y$$ при учете , что $$x\neq 1$$.

Не имеет при $$a=-2$$ и при $$a=-1$$.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Раскроем модули : $$y=\left\{\begin{matrix}x^{2}-5x-x=x^{2}-6x, x\geq 0(1)\\x^{2}+5x-x=x^{2}+4x, x<0 (2)\end{matrix}\right.$$

     (1): Найдем вершину параболы: $$x_{0}=-\frac{-6}{2}=3\Rightarrow$$ $$y_{0}=3^{2}-6*3=-9$$

     (2): $$x_{0}=-\frac{4}{2}=-2\Rightarrow$$ $$y_{0}=(-2)^{2}+4(-2)=-4$$

     Необходимо найти все а , при которых будет от 1 до 3 общих точек: $$a \in [-9 ;-4] \cup (0 ;+\infty )$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Рассмотрим модули: $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\y=\left | x^{2}-4x+3 \right |(1)\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x<0\\y=\left | x^{2}+4x+3 \right |(2)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

     Учтем, что парабола $$y=\left | ax^{2}+bx+c \right |$$ строится аналогично $$y=ax^{2}+bx+c$$ с учетом, что та часть параболы, которая была под Ox отображается симметрично относительно Ox. Найдем вершины параболы для (1) и (2)

     (1) : $$x_{0}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2}=2\Rightarrow$$ $$y_{0}=\left | 2^{2}-4*2+3 \right |=\left | -1 \right |=1$$

     (2) : $$x_{0}=-\frac{4}{2}=-2\Rightarrow$$ $$y_{0}=\left | (-2)^{2}+4(-2)+3 \right |=1$$

     Построим график:

     Наибольшее количество точек равно 8 при $$a \in (0 ;1)$$ (для прямой y=a)

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Раскроем внутренний модель : $$\left\{\begin{matrix}y=\left | 2x-6 \right |,x>0(1)\\y=\left | -2x-6 \right |, x<0 (2)\end{matrix}\right.$$

     1) Если $$2x-6\geq 0$$ (или $$x\geq 3$$), то $$y=2x-6$$ ,если $$x<3$$, то $$y=-2x+6$$

     2) Если $$-2x-6\geq 0\Leftrightarrow$$ $$x\leq -3$$, то $$y=-2x-6$$, если $$x\geq -3$$, то $$y=2x+6$$

Тогда получим следующую совокупность :

$$\left[\begin{matrix}\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq 3 & & \\y=2x-6 & &\end{matrix}\right. & & \\\left\{\begin{matrix}0\leq x<3 & & \\y=-2x+6& &\end{matrix}\right.& &\end{matrix}\right. & & \\\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\leq -3 & & \\y=-2x-6& &\end{matrix}\right. & & \\\left\{\begin{matrix}-3<x<0 & & \\y=2x+6& &\end{matrix}\right. & &\end{matrix}\right.& &\end{matrix}\right.$$

     Прямая y=a имеет с графиком 3 общие точки при a=6