ОГЭ
Задание 7001
Две машинистки вместе напечатали 65 страниц, причем первая работала на 1 час больше второй. Вторая машинистка печатает в час на 2 страницы больше первой; напечатала она на 5 страниц больше. Сколько страниц в час печатает каждая машинистка?
Пусть x стр\ч –скорость первой машинистки . Тогда x+2 стр\ч –второй . Пусть y ч-работала первая, тогда y-1 ч- работала вторая . Получим :
$$\left\{\begin{matrix}x*y+(x+2)(y-1)=65(1)\\(x+2)(y-1)-xy=5(2)\end{matrix}\right.$$
Из (2): $$xy-x+2y-2-xy=5\Leftrightarrow$$ $$x=2y-7$$
Подставим (1): $$(2y-7)y+(2y-7+2)(y-1)=65\Leftrightarrow$$ $$2y^{2}-7y+2y^{2}-2y-5y+5-65=0\Leftrightarrow$$$$4y^{2}-14y-60=0\Leftrightarrow$$ $$2y^{2}-7y-30=0$$
$$D=49+240=289=17^{2}$$ ; $$y_{1}=\frac{7+17}{4}=6$$ ; $$y_{2}<0$$
Тогда $$x=2*6-7=5$$ стр\ч -первая и 5+2=7-вторая
Задание 7087
Два бегуна стартовали один за другим с интервалом в 2 мин. Второй бегун догнал первого на расстоянии 1 км от точки старта, а пробежав еще 4 км, он повернул обратно и встретился снова с первым бегуном через 20 мин после старта первого бегуна. Найдите скорость второго бегуна.
Пусть x км\ч –скорость первого, у км\ч –второго. Первый пробегает 1 км за $$\frac{1}{x}$$ часов, второй $$\frac{1}{y}$$ ч. Тогда $$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{2}{60}$$
Далее первый был в пути 20 минут и пробежал $$\frac{20}{60} x=\frac{1}{3}x$$, второй - 18 минут, то есть $$\frac{18}{60}y=\frac{3y}{10}$$ км. Если взять за S км . расстояние , которое пробежал второй в обратную , то получим , что первый пробежал 5-S , второй 5+S $$\Rightarrow$$ в сумме 10км. Тогда :
$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{30}\\\frac{1}{3}x+\frac{3y}{10}=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{30}\\10x+9y=300\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{30}\\x=\frac{300-9y}{10}\end{matrix}\right.$$
$$\frac{10}{300-9y}-\frac{1}{y}=\frac{1}{30}\Leftrightarrow$$ $$\frac{10y-300+9y}{300y-9y^{2}}=\frac{1}{30}\Leftrightarrow$$ $$\frac{19y-300}{100y-3y^{2}}=\frac{1}{10}\Leftrightarrow$$ $$190y-3000=100y-3y^{2} \Leftrightarrow$$$$3y^{2}+90y-3000=0\Leftrightarrow$$ $$y^{2}+30y-1000=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=-30\\y_{1}*y_{2}=-1000\end{matrix}\right.$$$$\left[\begin{matrix}y_{1}=-50<0\\y_{2}=20\end{matrix}\right.$$
Задание 7134
Имеются три куска сплава меди с никелем в отношениях 2 : 1, 3 : 1 и 5 : 1 по массе. Из них сплавлен кусок массой 12 кг с отношением содержания меди и никеля 4 : 1. Найдите массу каждого исходного куска, если масса первого из них вдвое больше массы второго
Пусть x кг-масса второго, тогда 2x кг-масса первого, y кг-третьего. Тогда x+2x+y=12 . В первом $$\frac{2}{3}$$ меди и $$\frac{1}{3}$$ никеля $$\Rightarrow$$ $$\frac{4x}{3}$$ кг и $$\frac{2x}{3}$$ кг, во втором $$\frac{3}{4}$$ меди и $$\frac{1}{4}$$ никеля $$\Rightarrow$$ $$\frac{3x}{4}$$ кг и $$\frac{x}{4}$$ кг, в третьем $$\frac{5}{6}$$ меди и $$\frac{1}{6}$$ никеля $$\Rightarrow$$ $$\frac{5y}{6}$$ и $$\frac{y}{6}$$. В итоговом $$\frac{4}{5}$$ меди и $$\frac{1}{5}$$ никеля $$\Rightarrow$$ 9,6 кг. меди и 2,4 кг. никеля. Тогда:
$$\left\{\begin{matrix}\frac{4x}{3}+\frac{3x}{4}+\frac{5y}{6}=9,6|*60\\\frac{2x}{3}+\frac{x}{4}+\frac{y}{6}=2,4 |*60\\3x+y=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}16x+9x+10y=115,2\\y=12-3x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}25x+10y=115,2\\y=12-3x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$25x+120-30x=115,2\Leftrightarrow$$$$-5x=-4,8\Rightarrow$$ $$x=0,96\Rightarrow$$ $$2x=1,92$$ - масса первого и $$y=9,12$$ - масса третьего
Задание 7161
Пчёлы перерабатывают цветочный нектар в мёд, освобождая его от воды. Нектар обычно содержит 84% воды, а полученный из него мёд — 20%. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчёлам для получения одного килограмма мёда?
В меде содержится 20% воды, следовательно, 80% чистого нектара. Тогда, в 1 кг меда 1*0,8=0,8 кг чистого нектара. При этом в обычном нектаре 84% воды, следовательно, 16% чистого нектара, тогда:
Получим , что $$x=\frac{0,8*100}{16}=\frac{80}{16}=5$$ кг. нектара нужно обработать.
Задание 7248
Мастеру на выполнение заказа потребуется на 5 дней меньше, чем его ученику, но при совместной работе они выполнят заказ на 4 дня быстрее, чем мастер, работающий в одиночку. За сколько дней выполнит заказ мастер, работая в одиночку?
Пусть х (частей захода) –производительность мастера в день, у - ученика, 1 - весь заказ, тогда : $$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=5$$ (разница в 5 дней на весь заказ) и $$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}=4$$ (на 4 дня вместе быстрее, чем один мастер)
$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=5\\\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x-y=5xy\\x+y-x=4x(x+y)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$
Сложим первое и второе: $$x=5xy+4x^{2}+4xy\Leftrightarrow$$ $$9xy+4x^{2}-x=0\Leftrightarrow$$ $$x(9y+4x-1)=0$$. Т.е. x-производительность, то $$x\neq 0$$ , следовательно, $$9y+4x-1=0\Rightarrow$$ $$y=\frac{1-4x}{9}$$. Подставим в первое:
$$\frac{9}{1-4x}-\frac{1}{x}=5\Leftrightarrow$$ $$\frac{9x-1+4x}{x-4x^{2}}=5\Leftrightarrow$$ $$13x-1=5x-20x^{2}\Leftrightarrow$$ $$20x^{2}+8x-1=0$$
$$D=64+80=144\Rightarrow$$ $$x_{1}=\frac{-8+12}{2*20}=\frac{1}{10}$$; $$x_{2}<0\Rightarrow$$ мастер выполнит заказ за $$\frac{1}{\frac{1}{10}}=10$$ дней.
Задание 7277
Две машинистки напечатали 250 страниц рукописи. Первая работала 5 дней, вторая – 6 дней. Сколько страниц в день печатала каждая машинистка, если первая напечатала за три дня на 40 страниц меньше, чем вторая за 4 дня?
Пусть х страниц в день печатает первая, у -вторая, тогда :$$\left\{\begin{matrix}5x+6y=250\\4y-3x=40\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}15x+18y=750\\20y-15x=200\end{matrix}\right.$$
Сложим первое и второе: $$38y=950\Rightarrow$$ $$y=25$$
Тогда: $$4*25-3x=40\Leftrightarrow$$ $$100-40=3x\Rightarrow$$ $$x=20$$
Задание 7309
Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В и, встретившись через 50 мин, без остановки продолжили движение, каждый в своём направлении. За какое время проходит путь между А и В каждый из пешеходов, если известно, что первый пришел в В на 4 часа раньше, чем второй пришел в А?
Задание 7393
Два поезда отправились одновременно из А в В навстречу друг другу. Скорость первого поезда на 10 км/ч больше скорости второго. Поезда встретились в 28 км от середины расстояния АВ. Если бы первый поезд отправился из А на 45 минут позже второго, то они встретились бы на середине расстояния АВ. Найдите расстояние АВ и скорости обоих поездов.
Задание 7469
Бассейн наполняется из двух труб за 7,5 часов. Если открыть только первую трубу, то бассейн наполнится на 8 часов быстрее, чем если открыть только вторую трубу. Сколько времени будет наполнятся бассейн второй трубой?
Пусть х (частей бассейна в час) - производительность первой трубы, y - второй, 1 - весь объем бассейна. Тогда, время совместного наполнения бассейна находится как: $$\frac{1}{x+y}=7,5$$. Время наполнения только второй $$\frac{1}{y}$$, первой $$\frac{1}{x}$$.
Тогда: $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x+y}=7,5\\\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=8 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}15(x+y)=2\\\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=8 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{2-15y}{15}\\\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=8\end{matrix}\right.$$ Подставим во второе уравнение: $$\frac{1}{y}-\frac{15}{2-15y}=8\Leftrightarrow$$$$2-15y-15y=16y-120y^{2}\Leftrightarrow$$$$60y^{2}-23y+1=0$$
Задание 7665
Пешеход и велосипедист отправляются одновременно навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми 40 км, и встречаются спустя 2 ч после отправления. Затем они продолжают путь, причем велосипедист прибывает в А на 7 ч 30 мин раньше, чем пешеход в В. Найдите скорости пешехода и велосипедиста, полагая, что оба все время двигались с неизменными скоростями.
