ОГЭ / (C2) Текстовые задачи

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть производительность первого х (частей стены в день), а производительность второго - y (частей стены в день). Всю работу (стену) примем за 1. Тогда время, за которое первый сделает стену : $$\frac{1}{x}$$, а второй: $$\frac{1}{y}$$. Это время различается на 5 дней, тогда: $$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=5$$. Первый, работая 5 дней выполнил 5х стены, далее, работая вместе 4 дня, они выполнили 4(x+y) стены. В результате вся стена была построена, то есть: $$5x+4(x+y)=1$$: $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=5\\ 5x+4(x+y)=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=5\\ y=\frac{1-9x}{4}\end{matrix}\right.$$ Подставим в первое вместо y полученное выражение: $$\frac{1}{x}-\frac{1}{\frac{1-9x}{4}}=5\Leftrightarrow $$$$\frac{1}{x}-\frac{4}{1-9x}=5\Leftrightarrow $$$$1-9x-4x=5(x-9x^{2})\Leftrightarrow $$$$45x^{2}-18x+1=0$$ Решаем данное уравнение получаем $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{1}{3}\\ x_{2}=\frac{1}{15}\end{matrix}\right.$$ $$x_{1}$$ не подходит, так как в таком случае стена строилась бы за 3 дня всего, а по условию она больше 5 дней строится первым. В таком случае получаем, что $$t=\frac{1}{\frac{1}{15}}=15$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть х - скорость третьего. Время, за которое догонит второго: $$t_{2}=\frac{15\cdot1}{x-15}$$. Первого: $$t_{1}=\frac{21\cdot2}{x-21}$$

$$\frac{42}{x-21}-\frac{15}{x-15}=9$$; $$42x-42\cdot15-15x+21\cdot15=9(x^{2}-15x-21x+21\cdot15)$$; $$27x-315=9(x^{2}-36x+315)$$; $$3x-35=x^{2}-36x+315$$; $$x^{2}-39x+350=0$$

$$D=1521-1400=121$$; $$x_{1}=\frac{39+11}{2}=25$$; $$x_{2}=\frac{39-11}{2}=14$$ - не подходит.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть х - производительность второго, тогда 1,25х - производительность первого. Пусть у - количество первого, тогда 1,04у - количество второго. Тогда:

$$t_{1}=\frac{y}{1,25x}$$ - время первого

$$t_{2}=\frac{1,04y}{x}$$ - время второго;

$$\frac{y}{1,25x}-100$$%; $$\frac{1,04y}{x}-a$$%

$$a=\frac{\frac{1,04y}{x}\cdot100}{\frac{y}{1,25x}}=1,04\cdot100\cdot1,25=130$$%

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть х - масса начального раствора в граммах. Тогда его концентрация составляет $$\frac{40}{x}*100$$ в процентах. Далее масса увеличивается на 200 грамм, то есть составляется $$x+200$$. Тогда концентрация нового раствора $$\frac{40}{x+200}*100$$ в процентах. $$\frac{40}{x}*100-\frac{40}{x+200}*100=10 \Leftrightarrow$$ $$\frac{40}{x}-\frac{40}{x+200}=0,1 \Leftrightarrow$$ $$10*\frac{40(x+200)-10x}{x(x+200)}=\frac{x^{2}+200x}{x(x+200)} \Leftrightarrow$$ $$x^{2}+200x-80000=0$$ По теореме Виета: $$\left [\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-200\\ x_{1}*x_{2}=-80000\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left [ \begin{matrix}x_{1}=-400\\ x_{2}=200\end{matrix}\right.$$ В таком случае масса первоначального раствора составляла 200 грамм, тогда его концентрация : $$\frac{40}{200}*100=20$$ процентов, масса воды в нем: $$200-40=160$$ грамм

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть расстояние первого подъема : y, тогда первый спуск 36-y. Пусть x - скорость на подъеме, тогда x + 6 - скорость на спуске. Получаем, что время в одну сторону: $$\frac{y}{x}+\frac{36-y}{x+6}=2\frac{2}{3}$$.Время в обратную сторону меньше на 20 минут, так же спуск и подъем меняются местами, тогда: $$\frac{y}{x+6}+\frac{36-y}{x}=2\frac{1}{3}$$. Вычтем из первого уравнения второе: $$\frac{y}{x}-\frac{y}{x+6}+\frac{36-y}{x+6}-\frac{36-y}{x}=\frac{1}{3}$$ $$y(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+6})+(36-y)(\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x})=\frac{1}{3}$$ $$y(\frac{6}{x^{2}+6x})+(36-y)(\frac{-6}{x^{2}+6x})=\frac{1}{3}$$ $$(36+2y)(\frac{6}{x^{2}+6x})=\frac{1}{3}$$ $$36+2y=\frac{x^{2}+6x}{18}$$ $$y=\frac{x^{2}+6x+648}{36}$$ Выразим в первом уравнении также y через x: $$\frac{y(x+6)}{x^{2}+6x}+\frac{(36-y)x}{x^{2}+6x}=\frac{8}{3}$$ $$\frac{xy+6y+36x-xy}{x^{2}+6x}=\frac{8}{3}$$ $$3(6y+36x)=8(x^{2}+6x)$$ $$y=\frac{4x^{2}-30x}{9}$$ Уравняем полученные y: $$\frac{x^{2}+6x+648}{36}=\frac{4x^{2}-30x}{9} |*36$$ $$x^{2}+6x+648=16x^{2}-120x$$ $$5x^{2}-42x-216=0$$ $$x=12$$ В таком случае скорость на спуске: $$12+6=18$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Чтобы найти время, за которое догоняет первый объект второго, при учете различного времени выезда, необходимо воспользоваться формулой: $$t=\frac{v_{2}t_{1}}{v_{1}-v_{2}}$$, где $$v_{1}$$-скорость того, кто догоняет, $$v_{2}$$ - скорость того, которого догоняют, $$t_{1}$$-разница во времени выезда. Пусть x км/ч - скорость третьего. Тогда, время, за которое третий догонит второго: $$t_{1}=\frac{10*1}{x-10}$$,- время, за которое третий догонит первого: $$t_{2}=\frac{15*2}{x-15}$$. При этом $$t_{2}-t_{1}=2\frac{20}{60}$$ часов. $$\frac{15*2}{x-15}-\frac{10*1}{x-10}=2\frac{20}{60} \Leftrightarrow$$$$\frac{30}{x-15}-\frac{10}{x-10}=\frac{7}{3} |*3(x-15)(x-10) \Leftrightarrow$$$$3(30x-300-10x+150)=7(x^{2}-25x+150)\Leftrightarrow$$$$60x-450-7x^{2}+175x-1050=0|*(-1)\Leftrightarrow$$$$7x^{2}-235x+1500=0$$ Найдем корни уравнения через дискриминант: $$D=55225-42000=13225=115^{2}$$ $$x_{1}=\frac{235+115}{14}=25$$ $$x_{2}=\frac{235-115}{14}=\frac{60}{7}$$ - не подходит, так как скорость третьего должна быть больше, чем скорости первого и второго (иначе он их не сможет догонять)

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть скорость второго равна x км/ч, тогда скорость первого х-5 км/ч, скорость третьего х+6 км/ч. Пусть S - расстояние от А до В в км. Тогда: $$t_{1}=\frac{S}{x-5}$$ - время первого $$t_{2}=\frac{S}{x}$$ - время второго $$t_{3}=\frac{S}{x+6}$$ - время третьего Разница во времени у них составляет 10 минут, то есть $$\frac{1}{6}$$ часа. Получаем систему: $$\left\{\begin{matrix}t_{1}-t_{2}=\frac{1}{6}\\t_{2}-t_{3}= \frac{1}{6}\end{matrix}\right.$$ Подставим имеющиеся выражения: $$\left\{\begin{matrix}\frac{S}{x-5}-\frac{S}{x}=\frac{1}{6}\\\frac{S}{x}-\frac{S}{x+6}= \frac{1}{6}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{S(x-(x-5))}{(x(x-5)}=\frac{1}{6}\\\frac{S((x+6)-x)}{x(x+6)}= \frac{1}{6}\end{matrix}\right.$$ Поделим первое на второе: $$\frac{5}{x(x-5)} : \frac{6}{x(x+6)}= 1 \Leftrightarrow $$$$\frac{5(x+6)}{6(x-5)}=1 \Leftrightarrow $$$$5x+30=6x-30 \Leftrightarrow $$$$x=60$$ Подставим полученное значение в первое уравнение: $$\frac{S*5}{60*55}=\frac{1}{6} \Leftrightarrow $$$$30S=60*55 |:30 \Leftrightarrow$$$$S=110$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть х - производительность первого в день, y - производительность второго в день. Объем всей работы равен 1. Тогда: $$x+y=\frac{\frac{2}{3}}{4}=\frac{1}{6}$$ (объем работы поделили на количество дней и получили суммарную производительность). Отсюда $$x=\frac{1-6y}{6}$$. Пусть первый работает медленнее, тогда $$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=5$$. Подставим в это уравнение выраженное значение х через у: $$\frac{1}{\frac{1-6y}{6}}-\frac{1}{y}=5 \Leftrightarrow$$$$\frac{6}{1-6y}-\frac{1}{y}=5\Leftrightarrow$$$$6y-1+6y=5y-30y^{2}\Leftrightarrow$$$$30y^{2}+7y-1=0$$. Отсюда $$y_{1}=\frac{1}{10}$$ ; $$y_{2}$$ меньше нуля. Следовательно, время второго $$t=\frac{1}{\frac{1}{10}}=10$$, тогда время первого на пять дней больше, то есть 15

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть x кг - масса сплава, тогда x - 11 кг - масса олова в нем, а доля олова : $$\frac{x-11}{x}*100$$%. Добавили 7,5 кг олова, тогда масса олова стала : x - 11 + 7,5 = x - 3,5 кг , масса сплава при этом стала: x + 7,5 кг, следовательно, доля олова : $$\frac{x-3,5}{x+7,5}*100$$%. Тогда:

$$\frac{x-3,5}{x+7,5}*100-\frac{x-11}{x}*100=33|*x(x+7,5)\Leftrightarrow$$$$100x(x-3,5)-100(x-11)(x+7,5)=33x(x+7,5)\Leftrightarrow$$$$100x^{2}-350x-100x^{2}+350x+8250=33x^{2}+247,5x\Leftrightarrow$$$$33x^{2}+247,5x-82550=0|:16,5\Leftrightarrow$$$$2x^{2}+15x-500=0$$

$$D=225+4000=65^{2}\Leftrightarrow$$$$x_{1}=\frac{-15+65}{4}=12,5 ; x_{2}<0$$. Следовательно, первоначальная масса сплава составляла 12,5 кг.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть х км\ч –скорость; у-расстояние, тогда время первого: $$\frac{y}{x }=t_{1}$$, время второго:$$\frac{y}{x -12}=t_{2}$$, время третьего: $$\frac{y}{x +70}=t_{3}$$. Составим систему уравнений в соответствии с условием задания: $$\left\{\begin{matrix}t_{2}-t_{1}=1 & & \\t_{1}-t_{3}=1 & &\end{matrix}\right. \Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}\frac{4}{x -12}-\frac{y}{x }=1 & & \\\frac{y}{x }-\frac{y}{x +20}=1 & &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}y\left ( \frac{x -\left ( x -12 \right )}{\left ( x -12 \right )*x } \right )=1 & & \\y\left ( \frac{x +20-x }{x *\left ( x +20 \right )} \right )=1 & &\end{matrix}\right.;$$ Поделим первое уравнение на второе: $$\frac{12}{-x \left ( x -12 \right )}:\frac{20}{-x *\left ( x +20 \right )}=1;$$ $$\frac{3*\left ( x +20 \right )}{5*\left ( x -12 \right )}=1;$$ $$5x -60=3x +60;$$ $$2x =120\Rightarrow x =60;$$ км/ч скорость автобуса.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть 1- объем бассейна , х- производительность 1-ой трубы в частях бассейна в час, y-2-ой . Тогда :

$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x+y}=7\frac{12}{60} \\\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x+y}=\frac{72}{10}(1)\\\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=6(2)\end{matrix}\right.$$

1)$$72x+72y=10\Leftrightarrow x=\frac{10-72y}{72}$$

Подставим во второе $$\frac{72}{10-72y}-\frac{1}{y}=6\Leftrightarrow 72y-10+72y=60y-432y^{2}$$ $$432y^{2}+84y-10\Leftrightarrow 216y^{2}+42y-5=0$$

$$D=1764+4320=6084=78^{2}$$

$$y_{2}=\frac{-42+78}{2*216}=\frac{36}{2*216}=\frac{1}{12} y_{2}< 0$$

$$x_{1}=\frac{10-72*\frac{1}{12}}{72}=\frac{4}{72}=18.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть планировалось добывать х кубических метров в день, в течении у дней. Тогда получаем $$xy=216$$. Но сначала три дня добывали по норме, а потом оставшиеся дни без одного (так как за день до нормы закончили) добывали на 8 больше, то есть $$3x+(y-4)(x+8)=232$$. (y-4 - от того, что три дня уже работали, плюс закончили на 1 день раньше):

$$\left\{\begin{matrix}xy=216\\3x+(y-4)(x+8)=232\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}xy=216\\3x+xy+8y-4x-32=232\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}xy=216\\8y-x+xy-32=23\end{matrix}\right. $$

Подставим вместо xy число 216:

$$8y-x+216-32=232\Leftrightarrow$$$$8y-x=48\Leftrightarrow$$$$x=8y-48$$

Подставим в первое уравнение системы:

$$(8y-48)y=216|:8\Leftrightarrow$$$$y^{2}-6y-27=0$$.

Тогда корни данного уравнения 9 и -3. Количество дней не может быть отрицательным, следовательно, $$y=9$$. Найдем х: $$x=8-9-48=24$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть x км –путь , тогда x+4 км-CB. Пусть y км\ч –скорость первого, z км\ч – скорость второго: $$\left\{\begin{matrix}\frac{x+4}{z}=4 & & \\\frac{x}{y}=4& & \\\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=\frac{3}{60} & &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}z=\frac{x+4}{4} & & \\y=\frac{x}{4} & & \\\frac{4}{x}-\frac{4}{x+4}=\frac{1}{20} & &\end{matrix}\right.$$ $$\frac{4x+16-4x}{x^{2}+4x}=\frac{1}{20}\Leftrightarrow$$ $$\frac{16}{x^{2}+4x}=\frac{1}{20}\Leftrightarrow$$ $$x^{2}+4x-320=0$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-4 & & \\x_{1}x_{2}=-320& &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=-20 & & \\x_{2}=16& &\end{matrix}\right.$$ $$y=\frac{16}{4}=4$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть изначально было литров. Израсходовал 0,1x , осталось 0,9x . Затем израсходовал 25% от $$0,9x=0,25*0,9x=0,225x$$. Тогда всего израсходовали: $$0,1x+0,25x=13$$ $$0,325x=13\Leftrightarrow x=40$$ (литров) было в баке.