ОГЭ
Задание 5361
Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть a,b - стороны прямоугольника и параллелограмма. Площадь прямоугольника: $$S_{1}=ab$$, площадь параллелограмма: $$S_{2}=ab\sin\alpha$$, где $$\alpha$$ - острый угол между сторонами параллелограмма, тогда: $$\frac{1}{2}ab=ab\sin\alpha\Leftrightarrow$$$$\sin\alpha=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$$$\alpha=30^{\circ}$$
Задание 6065
Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 6.
Пусть $$a$$–сторона квадрата, тогда его площадь: $$S=a^{2}$$. По т. Пифагора $$\sqrt{a^{2}+a^{2}}\Rightarrow$$$$ 2a ^{2}=36\Leftrightarrow a ^{2}=18=S$$.
Задание 6112
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 26, а основание равно 12. Найдите площадь этого треугольника
Воспользуемся формулой Герона для вычисления площади треугольника. Найдем полупериметр: $$p=\frac{26+26+12}{2}=32$$. Тогда площадь треугольника равна: $$S=\sqrt{32(32-62)(32-26)(32-12)}=48\sqrt{10}$$
Задание 6254
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 25, а основание равно 14. Найдите площадь этого треугольника.
Найдём полупериметр $$p=\frac{25+25+14}{2}=32$$ $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=$$$$\sqrt{32(32-25)^{2}(32-14)}=$$$$\sqrt{2^{5}*7^{2}*2*3^{2}}=$$$$2^{3}*3*7=168$$
Задание 6303
Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 8.
Пусть AB=BC=a
По т. Пифагора $$\Delta ABC$$: $$a^{2}+a^{2}=8^{2}$$
$$2a^{2}=64$$
$$a^{2}=32$$
$$S_{ABCD}=a^{2}=32$$
Задание 6707
Сторона ромба равна 17, а диагональ равна 16. Найдите площадь ромба
Из $$\Delta ABH$$: $$BH=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=15\Rightarrow$$ $$BD=30$$
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC*BD=$$$$\frac{1}{2}*30*16=240$$
Задание 6782
В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 8. Найдите площадь треугольника ABC
$$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}=k\Rightarrow$$ $$\frac{S_{DCE}}{S_{ABC}}=k^{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow$$ $$S_{ABC}=8*4=32$$
Задание 6853
В равнобедренном треугольнике ABC АВ = ВС, AС = 24, cos A = 0,48. Найдите площадь треугольника АВС.
Опустим высоту (медиану) BH
1) $$AH=\frac{AC}{2}=12$$
2) $$AB=\frac{AH}{\cos A}=\frac{12}{0,48}=25$$
3) По формуле Герона: $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$; $$p=\frac{a+b+c}{2}$$
$$p=\frac{25+25+24}{2}=37$$
$$S=\sqrt{37*12*12*13}=12\sqrt{481}$$
Задание 6901
В треугольнике со сторонами 15 и 3 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?
$$S=\frac{1}{2} AH*BC=\frac{1}{2} AC*BM\Rightarrow$$ $$AH*BC=AC*BM$$
Пусть BC=15, AC=3, AH=1, тогда $$BM=\frac{AH*BC}{AC}=\frac{1*15}{3}=5$$
Задание 7082
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 12 и 13.
По теореме Пифагора другой катет: $$\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$$, тогда площадь $$S=\frac{1}{2}*12*5=30$$
Задание 7156
Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке:
$$S=\frac{1}{2} ah$$ , где a-сторона треугольника , h- высота к ней проведенная $$\Rightarrow$$ $$S=\frac{1}{2}(32+11)*60=1290$$
Задание 7243
Сторона ромба равна 15, а диагональ равна 18. Найдите площадь ромба
Пусть $$BD\cap AC=H\Rightarrow$$ $$BH=HD=\frac{18}{2}=9$$ Из $$\Delta ABH$$: $$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=12$$$$\Rightarrow$$ $$AC=24$$