ОГЭ
Задание 3232
В прямоугольнике одна сторона равна 16, а диагональ равна 65. Найдите площадь прямоугольника.
Найдем вторую сторону по теореме Пифагора: $$b = \sqrt{65^{2}-16^{2}}=63$$ Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длин его смежных сторон: 16*63=
Задание 3353
Сторона ромба равна 25, а диагональ равна 48. Найдите площадь ромба.
Введем обозначения, как показано на рисунке
Пусть AD=25, AC=48. Диагонали в ромбе делятся пополам и перпендикулярны, значит AH = 48/2 = 24. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AHD: $$HD = \sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=\sqrt{625-576}=7$$
Тогда BD = 7*2 =14
Площадь ромба вычисляется как половина произведния длин его диагоналей: $$S=0,5*14*48=336$$
Задание 3402
В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 12. Найдите площадь треугольника ABC.
Т.к. DE - средняя линия, то $$k=\frac{1}{2}$$ $$\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}}=k^{2}=\frac{1}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{ABC}=4S_{CDE}=4\cdot12=48$$
Задание 4322
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 15 и 39.
Пусть а - второй катет по т. Пифагоора: $$a=\sqrt{39^{2}-15^{2}}=\sqrt{(39-15)(39+15)}=\sqrt{24\cdot54}=$$ $$\sqrt{8\cdot3\cdot27\cdot2}=\sqrt{2^{4}\cdot3^{4}}=4\cdot9=36$$; $$S=\frac{1}{2}\cdot36\cdot15=270$$
Задание 4645
Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке:
$$S=\frac{1}{2}ah=0.5*60(32+11)=1290$$
Задание 4795
Сторона ромба равна 15, а диагональ равна 24. Найдите площадь ромба.
По свойству ромба, диагонали делятся пополам и под прямым углом, в таком случае мы можем по теореме Пифагора найти половину второй диагонали: $$\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$$. В таком случае вся вторая диагональ составляет 18. Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей: $$0,5*18*24=216$$
Задание 4843
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 12 и 7.
$$S=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}=\frac{1}{2}\cdot12\cdot7=42$$
Задание 4891
Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=8 и HD=9. Найдите площадь ромба.
$$BH=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{(17-8)(17+8)}=15$$; $$S=17\cdot15=255$$
Задание 4937
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника равен $$150^{\circ}$$. Боковая сторона треугольника равна 8. Найдите площадь этого треугольника.
$$S=\frac{1}{2}\cdot8\cdot8\cdot\sin150^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot8\cdot8\cdot\frac{1}{2}=16$$
Задание 5081
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13, а основание равно 24. Найдите площадь этого треугольника.
$$h=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$$; $$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot24\cdot5=60$$
Задание 5121
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 24 и 26.
Второй катет найдем по теореме Пифагора: $$\sqrt{26^{2}-24^{2}}=10$$. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения длин катетов: $$S=0,5*10*24=120$$
Задание 5168
В треугольнике ABC угол C равен $$90^{\circ}$$, CH — высота, BC=15, CH=9. Найдите $$\sin A$$.
$$\sin A=\sin HCB$$; $$HB=\sqrt{CB^{2}-CH^{2}}=12$$; $$\sin A=\frac{HB}{CB}=\frac{12}{15}=0,8$$
Задание 5266
Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке
Площадь трапеции вычисляется как полусумму оснований на высоту: $$S = \frac{7+9+12}{2}*12=168$$
Задание 5272
Одна из сторон параллелограмма равна $$4\sqrt{3}$$ см, его площадь равна 12 см2, а острый угол между сторонами равен $$60^{\circ}$$. Найдите длину другой стороны параллелограмма.
Площадь параллелограмма вычисляется как произведение длин сторон на синус угла между ними. Пусть х - вторая сторона. Тогда; $$4\sqrt{3} * x * \sin 60^{\circ}=12 \Leftrightarrow$$$$x=\frac{12}{4\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$$
Задание 5314
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 26, а основание равно 10. Найдите площадь этого треугольника.
Высота треугольника : $$h = \sqrt{26^{2}-5^{2}}=\sqrt{651}$$. Тогда его площадь $$S=\frac{1}{2}h*10=5\sqrt{651}$$