ОГЭ
Задание 1952
Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника.
По определению площади прямоугольного треугольника: $$S=\frac{1}{2}4*9=18$$
Задание 1953
Сторона равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь, делённую на $$\sqrt{3}$$.
Из формулы площади треугольника: $$S=\frac{1}{2}*10*10*\sin 60^{\circ}=25\sqrt{3}$$, в ответе необходимо указать значение без $$\sqrt{3}$$, то есть 25
Задание 1954
Периметр равностороннего треугольника равен 30. Найдите его площадь, делённую на $$\sqrt{3}$$.
- Пусть a - сторона равностороннего треугольника, тогда $$a=\frac{P}{3}=10$$
- Из формулы площади треугольника: $$S=\frac{1}{2}*10*10*\sin 60^{\circ}=25\sqrt{3}$$, в ответе необходимо указать значение без $$\sqrt{3}$$, то есть 25
Задание 1955
Высота равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь, делённую на $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$.
- Из треугольника ACH: $$AC=\frac{CH}{\sin A}=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20}{\sqrt{3}}$$
- Так как треугольник равносторонний, то AC=AB, тогда из формулы площади треугольника: $$S=\frac{1}{2}CH*AB=\frac{100}{\sqrt{3}}$$. В ответе необходимо указать результат, деленный на $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$: $$\frac{100}{\sqrt{3}}:\frac{\sqrt{3}}{3}=100$$
Задание 1956
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, а угол, лежащий напротив основания, равен 120°. Найдите площадь треугольника, делённую на $$\sqrt{3}$$
По формуле площади треугольника $$S=\frac{10*10*\sin 120^{\circ}}{2}=\frac{1}{2}*10*10*\frac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}$$. В ответе необходимо указать ответ, деленный на $$\sqrt{3}$$, то есть 25
Задание 1957
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание — $$5(\sqrt{6}-\sqrt{2})$$, а угол, лежащий напротив основания, равен 30°. Найдите площадь треугольника.
По формуле площади треугольника $$S=\frac{AB*AC*\sin B}{2}=\frac{1}{2}*10*10*\frac{1}{2}=25$$
Задание 1958
В равнобедренном треугольнике ABC AC=BC. Найдите AC, если высота CH=12, AB=10.
- По свойству высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию: $$AH=HB=\frac{1}{2}AB=5$$
- По теореме Пифагора из треугольника ACH: $$AC=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$
Задание 1959
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34, а основание равно 60. Найдите площадь этого треугольника.
- Найдем полупериметр данного треугольника: $$p=\frac{34*2+60}{2}=64$$
- По формуле Герона: $$S=\sqrt{64(64-34)^{2}(64-60)}=480$$
Задание 1960
Периметр равнобедренного треугольника равен 216, а боковая сторона — 78. Найдите площадь треугольника.
- Найдем основание равнобедренного треугольника : $$216-2*78=60$$
- Полупериметр данного треугольника: $$p=\frac{216}{2}=108$$. По формуле Герона: $$S=\sqrt{108(108-78)^{2}(108-60)}=2160$$
Задание 1965
Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а синус угла между ней и одним из оснований равен $$\frac{1}{3}$$. Найдите площадь трапеции.
- Опустим высоту CE. Пусть $$\sin D=\frac{1}{3}$$, тогда из прямоугольного треугольника CED: $$CE=CD*\sin D=2$$
- Из формулы площади трапеции: $$S_{ABCD}=\frac{18+12}{2}*2=30$$
Задание 1966
Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а косинус угла между ней и одним из оснований равен $$\frac{2\sqrt{2}}{3}$$. Найдите площадь трапеции.
- Пусть $$\cos D =\frac{2\sqrt{2}}{3}$$, опустим высоту CE. Тогда из треугольника CED: $$ED=CD*\cos D=6*\frac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}$$
- По теореме Пифагора из треугольника CED: $$CE=\sqrt{6^{2}-(4\sqrt{2})^{2}}=2$$
- Из формулы площади трапеции $$S_{ABCD}=\frac{18+12}{2}*2=30$$
Задание 1967
Средняя линия трапеции равна 11, а меньше основание равно 5. Найдите большее основание трапеции.
Пусть a - большее основание, тогда из формулы длины средней линии трапеции : $$a=2*11-5=17$$
Задание 1968
Боковая сторона трапеции равна 5, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 3 и 9.
- Пусть $$\angle D=30^{\circ}$$. Опустим высоту CE, тогда из прямоугольного треугольника CED: $$CE=CD*\sin D=2,5$$
- По формуле площади трапеции $$S_{ABCD}=\frac{3+9}{2}*2,5=15$$
Задание 1969
В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.
- Опустим высоты CE и BF. Тогда FE=BC=3, $$AF=ED=\frac{AD-FE}{2}=3$$ (из равенства прямоугольных треугольников ABF и CED)
- Пусть $$\angle D=45^{\circ}$$, тогда треугольник CED - равнобедренный ($$\angle ECD=90-45=45=\angle D$$), тогда CE=ED=3
- Из формулы площади трапеции: $$S_{ABCD}=\frac{3+9}{2}*3=18$$
Задание 1970
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
- $$AD=AE+ED=21$$
- Площадь трапеции ABCD: $$S=\frac{7+21}{2}*12=168$$