ОГЭ
Задание 6110
Прямая касается окружности в точке M . Точка O — центр окружности. Хорда MN образует с касательной угол, равный 22°. Найдите величину угла ONM. Ответ дайте в градусах
- OM перпендикулярен касательной (свойство радиуса, проведенного в точку качсания)
- ON=OM (радиусы), тогда $$\angle ONM=\angle OMN$$
- $$\angle OMN=90-22=68$$
Задание 6205
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=44°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
- $$\angle NBA=\frac{1}{2}\cup AN\Rightarrow \cup AN=44*2=88$$
- $$\cup NB=180-\cup NA=180-88=92$$
- $$\angle NMB=\frac{1}{2}\cup NB=\frac{92}{2}=46$$
Задание 6206
Длина хорды окружности равна 24, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 5. Найдите диаметр окружности.
- $$CB=\frac{1}{2}CD=\frac{24}{2}=12$$
- $$AB\perp CD$$, тогда из $$\Delta ABC:$$ $$AC=\sqrt{AB^{2}+CB^{2}}=\sqrt{2^{2}+5^{2}}=13=r$$
- Тогда $$d=2r=2*13=26$$
Задание 6396
Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 16.
AO-биссектриса $$\angle A\Rightarrow$$ $$\angle OAB=30$$
$$OB\perp AB$$(свойство радиуса в точку касания )$$\Rightarrow OB=OA* \sin 30=16\frac{1}{2}=8$$
Задание 6442
Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 35. Найдите величину угла MOK. Ответ дайте в градусах
$$\angle OKM=\angle OMK$$($$\Delta OMK$$ - равнобедренный ) $$\angle OKM=90-35=55$$ $$\angle MOK=180-2*55=70$$
Задание 6498
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что $$\angle NBA = 48^{\circ}$$. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах
$$\smile AB=180=\smile AN+\smile NB$$
$$\smile AN=2\angle NBA=96$$
$$\smile NB=180-96=84$$
$$\angle NMB=\frac{\smile NB}{2}=\frac{84}{2}=42$$
Задание 6591
Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 96. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
- $$\angle AOB=180-\angle C=84\Rightarrow$$ $$\angle OAB+\angle ABO=96$$
- $$OA=OB$$(радиусы)$$\Rightarrow$$ $$\angle ABO=\frac{96}{2}=48$$
Задание 6640
Периметр треугольника равен 56, одна из сторон равна 19, а радиус вписанной в него окружности равен 5. Найдите площадь этого треугольника.
Воспользуемся формулой площади треугольника через его полу периметр и радиус вписанной окружности: $$S=p*r$$; $$p=\frac{56}{2}=28$$. Тогда: $$S=28*5=140$$
Задание 6641
Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 10
1)$$OM\perp OA$$(свойство радиуса, проведенного в точку касания)
2) $$\Delta OAM=\Delta OAN$$(по гипотенузе и катету)$$\Rightarrow \angle OAM=30$$
3) $$OM=OA\sin\angle OAM=10*\frac{1}{2}=5$$