ОГЭ
Задание 2886
Длина хорды окружности равна 130, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 72. Найдите диаметр окружности.
Введем следующие обозначения:
AH=HB=0.5AB=65 (так как AOB - равнобедренный и OH - высота)
$$OB=\sqrt{OH^2+HB^2}=97$$
OB - радиус, значит диаметр будет 97*2=194
Задание 3010
| Длина хорды окружности равна 24, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 5. Найдите диаметр окружности. |  |
$$r=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$ $$d=2r=2\cdot13=26$$
Задание 3058
Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 6.
Проведем радиусы в точки касания и получим два равных прямоугольных треугольника. Значит ОА - биссектриса угла А. Значит она делит угол пополам, и получаем в треугольнике угол в 30 градусов. А катет (в нашем случае это радиус окружности), лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, то есть половине ОА или 3
Задание 3181
Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 50. Найдите величину угла MOK. Ответ дайте в градусах.
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, значит ∠OKM = 90 - 50 = 40. Треугольник OMK равнобедренный ( так как OK ; OM - радиусы ). Значит ∠OMK = ∠OKM = 40 ∠MOK = 180 - ∠OMK - ∠OKM = 180 - 80 = 100
Задание 3231
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=36°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
∠NBA=36° - вписанный, значит дуга, на которую он опирается (AN) в два раза больше, то есть 72° Тогда дуга NB = 180° - 72°=108° (180°-AN так как AB - диаметр) ∠NMB=108°/2 = 54° (так как вписанный, значит равен половине градусной меры дуги, на которую опирается, то есть дуги NB
Задание 3352
Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 152.
Введем обозначения как показано на рисунке:
Угол AOB - центральный, значит его величина равна величине дуги на которую он опирается, то есть дуга AB = 152. Угол С - вписанный, его величина равна половине величины, на которую он опирается, то есть половину AB: 152/2=76
Задание 3354
В треугольнике ABC $$AC=3\sqrt{7}, BC=3\sqrt{2}$$, угол C равен 90. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника
Радиус описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности равен половине длины его гипотенузы. Найдем гипотенузу по теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{9*7+9*2}=9$$ В таком случае радиус будет равен 9/2 = 4,5
