ОГЭ / Треугольники, четырёхугольники, многоугольники и их элементы

Сумма углов четырехугольника составляет 360 градусов. Пусть меньший из углов (угол А) равен х, тогда остальные углы равны 2х, 3х, 4х. Тогда: $$x+2x+3x+4x=360\Leftrightarrow$$$$10x=360\Leftrightarrow$$$$x=36$$, то есть меньший угол равен 36 градусам

Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника составляет 180 градусов, следовательно, больший из оставшихся будет равен $$180-58=122^{\circ}$$ (второй из оставшихся $$180-82=98^{\circ}$$)

Угол ABC - вписанный, следовательно, величина дуги ADC два раза больше (так как он опирается на данную дугу), тогда $$\smile ADC=272^{\circ}$$, аналогично $$\smile DC =2\angle CAD=164^{\circ}$$, тогда $$\smile AD=\smile ADC-\smile DC=272-164=108^{\circ}$$, но угол ABD опираются на эту дугу и является вписанным, следовательно, $$\angle ABD=\frac{1}{2}\smile AD=54^{\circ}$$

Так как дан правильный восьмиугольник, то всего его углы равны. Угол же правильного n-угольника можно найти по формуле :$$\alpha =\frac{n-2}{n}*180$$, тогда $$\angle EFG=\frac{8-2}{8}*180=135^{\circ}$$

Пусть EH - общий перпендикуляр к AB и k, тогда EH - искомое расстояние. Из треугольника AOH (прямоугольный) по теореме Пифагора: $$OH=\sqrt{OA^{2}-AH^{2}}$$, AH=0,5AB=40, тогда: $$OH=\sqrt{85^{2}-40^{2}}=75$$. EH=EO+OH=85+75=160.

Так как AB = BC, AD = CD, то $$\angle A=\angle C$$. Сумма углов выпуклового четырехугольника составляет $$360^{\circ}$$, следовательно, $$\angle A=\frac{360^{\circ}-\angle B -\angle D}{2}=\frac{360-77-141}{2}=71^{\circ}$$

Так ка сторона проходит через центр окружности, то треугольник является прямоугольным, следовательно: $$\angle C=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-81^{\circ}=9^{\circ}$$

Пусть $$\angle ABC=65^{\circ};\angle CBD=50^{\circ}$$, тогда $$\angle B=65+50=115^{\circ}$$, и по свойству углов параллелограмма $$\angle A=180-\angle B=180-115=65^{\circ}$$, что и есть меньший угол парарллелограмма

Пусть $$\angle A=x$$, тогда $$\angle B=x+40$$, по свойству углов параллелограмма $$\angle A+\angle B=180\Leftrightarrow$$$$x+x+40=180\Leftrightarrow$$$$x=70$$,то есть $$\angle A=70^{\circ}$$, что и есть меньший угол

Пусть $$\angle A=x$$, тогда $$\angle B=2x$$, по свойству углов параллелограмма $$\angle A+\angle B=180^{\circ}\Leftrightarrow$$$$x+2x=180\Leftrightarrow$$$$x=60$$, следовательно, $$\angle A=60^{\circ}$$, что и есть меньший угол

Пусть $$\angle BAC=30^{\circ}; \angle CAD=45^{\circ}$$, тогда $$\angle A=30+45=75^{\circ}$$, и по свойству углов параллелограмма: $$\angle B=180-\angle A=180-75=105^{\circ}$$, что и есть больший угол

AB+CD=AD+BC (свойство описанного четырехугольника), но AB=CD, AD=BC (свойство параллелограмма), тогда AB=BC=CD=AD, и ABCD - ромб, тогда его периметр $$6*4=24$$

AE=EC (свойство диагоналей параллелограмма), тогда AB=AE, следовательно, треугольник ABE - равнобедренный и $$\angle ABE=\angle BEA$$, $$\angle ACD=\angle BAE$$ (накрестлежащие), тогда из треугольника ABE: $$\angle BEA=\frac{180-\angle BAE}{2}=\frac{180-84}{2}=48$$

$$\angle BAK=\angle KAD$$(свойство биссеткрисы), $$\angle BKA=\angle KAD$$ (накрестлежащие углы), следовательно, $$\angle BAK=\angle BKA$$, тогда треугольник ABK - равнобедренный и AB=BK=7, но BC=BK+KC=7+132=19=AD, тогда периметр составит: $$2*(7+19)=52$$

$$\angle EAD = \angle BEA=33^{\circ}$$ (накрестлежащие), но так как AE - биссектриса, то $$\angle BAE=\angle DAE=33^{\circ}$$, тогда $$\angle A=33+33=66^{\circ}$$