Линейная, квадратичная и кубическая функции

Скрыть

Первая прямая проходит через $$(2;-1)$$ и $$(3;1).$$

Тогда: $$\left\{\begin{matrix} -1=2k+b\\ 1=3k+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -1=4+b\\ 2=k \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=-5\\ k=2 \end{matrix}\right.$$

Получим: $$y=2x-5.$$

Вторая проходит через точки $$(0;1)$$ и $$(1;-2).$$

Тогда: $$\left\{\begin{matrix} 1=0\cdot k+b\\ -2=1\cdot k+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=1\\ k=-3 \end{matrix}\right.$$

Получим: $$y=-3x+1.$$

Тогда: $$2x-5=-3x+1\Leftrightarrow 5x=6\Leftrightarrow x=1,2$$

Скрыть

Точки $$(2;5)$$ и $$(3;3)$$ принадлежат графику функции. Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 5=-8+2b+c\; (1)\\ 3=-18+3b+c\; (2) \end{matrix}\right.$$

$$(2) - (1):$$

$$-2=-10+b$$

$$b=8$$

$$-8+2\cdot8+c=5$$

$$c=5-8=-3$$

$$f(5)=-2\cdot25+8\cdot5-3=-13$$

Скрыть

Очевидно, что это правый график (у $$f(x)$$: $$a=-4$$ - сужение как у левого). $$g(x)$$ проходит через $$(2;3)$$ и $$(1;5).$$ Получим:

$$\left\{\begin{matrix} 3=a\cdot2^2+b\cdot2+5\\ 5=a\cdot1^2+b\cdot1+5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 4a+2b=-2\\ a+b=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 4a+2b=-2\\ 4a+4b=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2b=2\\ 4a+4=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=1\\ a=-1 \end{matrix}\right.$$

Получим $$g(x)=-x^2+x+5.$$ Тогда:

$$-4x^2-23x-31=-x^2+x+5\Leftrightarrow 3x^2+24x+36=0\Rightarrow x^2+8x+12=0\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\left[\begin{matrix} x=-2\\ x=-6 \end{matrix}\right.$$

Тогда $$B_x=-6$$

Скрыть

Прямая проходит через $$(-2;-3)$$ и $$(0;5).$$ Получим:

$$\left\{\begin{matrix} -3=-2k+b\\ 5=0k+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -2k=-8\\ b=5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} k=4\\ b=5 \end{matrix}\right.$$

Гипербола проходит через $$(-2;-3).$$ Тогда:

$$-3=\frac{k}{-2}\Rightarrow k=6.$$ Получим $$y=\frac{6}{x}.$$

$$\frac{6}{x}=4x+5\Leftrightarrow 4x^2+5x-6=0$$

$$D=25+96=121$$

$$x_1=\frac{-5+11}{2\cdot4}=\frac{1,5}{2}=0,75$$

$$x_2=\frac{-5-11}{2\cdot4}=-2$$

Скрыть

Вершина смещена относительно $$(0;0)$$ на 3 вправо, т.е. $$\frac{b}{k}=-3\Rightarrow b=-3k,$$ и на 2 вниз, т.е. $$c=-2.$$

Получим:

$$f(x)=|kx-3k|-2.$$

Проходит через $$(2;0).$$ Тогда:

$$0=|k\cdot2-3k|-2\Leftrightarrow |k|=2\Rightarrow k=\pm2$$

т.е. $$f(x)=|2x-6|-2=|-2x+6|-2$$

$$f(-15,7)=|2\cdot(-15,7)-6|-2=35,4$$

Скрыть

$$f(x)$$ проходит через $$(4;3).$$ Тогда:

$$3=a\cdot\sqrt{4}\Rightarrow a=\frac{3}{2}$$

Получим: $$f(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x}.$$

$$g(x)$$ проходит через $$(0;3),$$ тогда $$b=3.$$ И через $$(3;2),$$ тогда: $$2=3k+3\Rightarrow k=-\frac{1}{3}$$

Получим: $$g(x)=-\frac{1}{3}x+3$$

$$-\frac{1}{3}x+3=\frac{3}{2}\sqrt{x}\Leftrightarrow -2x+18=9\sqrt{x}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 81x=324-72x+4x^2\\ -2x+18\geq0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 4x^2-153x+324=0\\ x\leq9 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2,25$$

$$f(2,25)=\frac{3}{2}\cdot\sqrt{2,25}=1,5\cdot1,5=2,25$$

Скрыть

Если мы найдем уравнение красной прямой, то подставив туда $$x=-6,4,$$ получим ответ

$$​y=kx+b​$$

$$​k=tgα=−3​$$ – из прямоугольного треугольника

​$$b=−8​,$$ можем взять любую точку на прямой и подставить в уравнение, чтобы найти b

$$​y=−3x−8​$$

​$$y(−6.4)=11,2$$

Скрыть

По картинке, очевидно, что $$​a=1​$$

Осталось только подставить две отмеченные точки в уравнение и получить

​$$g(x)=x^2−2x−1​$$

​$$x^2−2x−1=2x^2+11x+11​$$

​$$x=−12​$$

​$$x=−1​$$

$$​y=g(−12)=167$$

Скрыть

Уравнение прямой $$​y=kx+b$$​

$$​k=\tg\alpha$$​​

Легко найти из рисунка из прямоугольных треугольников, также легко найти коэффициент ​$$b$$​ из рисунка или из уравнения​

$$​f(x)=2,5x+1,5​$$

$$​g(x)=-1,5x-3,5$$​​

Найдем точку пересечения:​

$$​2,5x+1,5=-1,5x−3,5$$​​

$$​x=-1,25​$$

Скрыть Подставляем отмеченные точки в уравнение:

$$​5=a\cdot2​$$, откуда $$​a=2,5​$$

Легко найти $$​k=\tg\alpha=0,5​$$ из любого прямоугольного треугольника.

$$​b=−3​$$

Найдем точку пересечения:

$$​2,5\sqrt{x}=0,5x-3$$​

ОДЗ: ​$$x\geq1,5​$$

$$​x=36$$

Скрыть

График g(x) проходит (-1;-1); (-3;1) и (0;1).

Получим:

$$\left\{\begin{matrix} -1=a(-1)^2+b(-1)+c\\ 1=a(-3)^2+b(-3)+c\\ 1=a\cdot0+b\cdot0+c \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a-b=-2\\ 9a-3b=0\\ c=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=3\\ a=1\\ c=1 \end{matrix}\right.$$

Получили: $$g(x)=x^2+3x+1$$

Тогда $$x^2+3x+1=-4x+9\Leftrightarrow x^2+7x-8=0 \Rightarrow\left[\begin{matrix} x=-8\\ x=1 \end{matrix}\right.$$

Скрыть

$$3=4a+2b+c​$$

$$​−3=a−b+c​$$

$$​−1=4a−2b+c$$​

Откуда ​$$g(x)=x^2+x+1​$$

$$​f(x)=g(x)$$​

​$$5x+9=x^2+x−3​$$

​$$x=−2$$ – абсцисса точки А

​$$x=6​$$ – абсцисса точки В

Скрыть

Угловой коэффициент прямой легко найти через тангенс $$\tg\alpha=k=0,5$$​

$$​b=−3​$$

$$5\cdot a\cdot\sqrt{4},$$ откуда $$​a=2,5​$$

Теперь найдем точки пересечения:

$$​2,5\sqrt{x}=0,5x-3$$​ – решаем уравнение

$$​x=36​$$

$$​f(36)=15$$

Скрыть Если мысленно переместить систему координат в вершину параболы $$g(x),$$ то можно легко увидеть, что это обычная ​$$x^2,$$ но здесь система координат расположена по-другому, поэтому осталось понять насколько и куда сместили данную параболу, тогда

$$​g(x)=(x+1)^2-2$$​ (ее сместили на 1 координату влево и на 2 вниз)

Осталось найти точки пересечения

$$​4x^2-25x+41=(x+1)^2−2$$​

​$$x^2−9x+14=0​$$

$$​x=2​$$ – ее видно на рисунке

​$$x=7​$$

$$​g(7)=82−2=62$$

Скрыть

f(x) проходит через (-12;3) и (-8;-3).

Получим: $$\left\{\begin{matrix} 3=-12k+b\\ -3=-8k+b \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} 6=-4k\\ -3=-8k+b \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} k=-1,5\\ -15=b \end{matrix}\right.$$

$$f(x)=-1,5x-15$$

g(x) проходит через (-4;1) и (-2;-4):

$$\left\{\begin{matrix} 1=-4k+b\\ -4=-2k+b \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} 5=-2k\\ -4=-2k+b \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} k=-2,5\\ b=-9 \end{matrix}\right.$$

$$g(x)=-2,5x-9$$

Тогда: $$-1,5x-15=-2,5x-9\Rightarrow x=6\Rightarrow y=-1,5\cdot6-15=-24$$