ЕГЭ Профиль
Задание 4809
Аня и Таня выбирают по одному натуральному числу от 1 до 9 независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что сумма этих чисел делится на 3. Ответ сократите до сотых.
Пусть Аня выберет 1, Таня на это может выбрать 9 чисел. Аналогично с 2, 3 и так до 9. То есть всего комбинаций будет 9*9=81. При этом в каждых девяти комбинациях 3 будет делиться на 3 ( так как в числах, расположенных подряд каждое третье делится на три). То есть 9*3 =27 Тогда вероятность: $$P=\frac{27}{81}=0,(3)$$ Если округлить до сотых, то получим 0,33
Задание 4904
На рисунке изображен лабиринт. Жук вползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться или ползти назад жук не может, поэтому на каждом разветвлении жук выбирает один из путей, по которым он еще не полз. Считая, что выбор чисто случайный, определите, с какой вероятностью жук придет к одному из выходов. Результат округлите до сотых.
Задание 4951
Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленные рядом.
Будем рассматривать случаи, когда одна книга уже занимает какое-то место, и находить вероятность того, что вторая окажется рядом. Если книга занимает первое ($$P=\frac{1}{8}$$-так как это одно место из восьми) или восьмое место($$P=\frac{1}{8}$$), то рядом с ней есть только одно свободное, и именно его должна занять вторая книга. То есть в таком случае вероятность расположения рядом в каждом их этих случаев (их два) составляет $$\frac{1}{8}*\frac{1}{7}$$ ($$\frac{1}{7}$$ - потому, что вторая должна занять одно свободное из оставшихся семи мест)
Далее есть места (со второго и седьмое), где вокруг книги будет два места, тогда вероятность для каждого из них (всего 6 вариантов) оказаться рядом там:$$\frac{1}{8}*\frac{2}{7}$$. Итоговая же вероятность есть сумма уже найденных:
$$\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{7}\cdot2+\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{7}\cdot6=$$ $$\frac{1}{28}+\frac{3}{14}=\frac{7}{28}=0,25$$
Задание 4999
В 10‐х классах 51 учащийся, среди них две подруги – Марина и Настя. Для написания ВПР по географии 10‐классников случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Марина и Настя окажутся в одной группе.
В каждой группе: $$\frac{51}{3}=17$$
Пусть Марина уже есть в группе, тогда в ней остается 16 свободных мест, а человек на них претендует 50: $$p=\frac{16}{50}=0,32$$
Задание 5047
Библиотечка состоит из десяти различных книг, причем пять книг стоят по 4 рубля каждая, три книги – по одному рублю и две книги – по 3 рубля. Найдите вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 5 рублей. Ответ округлите до сотых.
Пять по 4: $$4+1$$: $$\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{9}=\frac{1}{6}$$
Три по 1: $$1+4$$: $$\frac{3}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{1}{6}$$
Две по 3: $$p=\frac{1}{6}\cdot2=\frac{1}{3}=0,33$$
Задание 5094
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Найдем вероятность противоположного события –закончится хотя бы в одном: $$\bar{p}=0,3+0,3-0,12=0,48$$ Тогда вероятность , что остается в обоих: $$p=1-\bar{p}=0,52$$
Задание 5131
Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что произведение выпавших очков больше или равно 10. Ответ округлите до сотых.
Найдем все исходы, когда произведение выпавших чисел больше или равно 10. Пусть первое число - первый кубик, второе число - второй кубик: 2*5 ; 2*6 ; 3*4 ; 3*5 ; 3 *6 ; 4*3....4*6 ; 5*2...5*6; 6*2....6*6. Всего 19 исходов. Общее же количество возможных исходов составляет $$6^{2}=36$$. Тогда вероятность будет равна $$P=\frac{19}{36}=0,53$$ (если округлить до сотых)
Задание 5231
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 6 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 4 очка, в случае ничьей – 2 очка, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.
Вероятность ничьи: $$1-0,3-0,3=0,4$$ Проходит в случае двух побед или же одной победы и ничьи: 2 победы:$$0,3*0,3=0,09$$ Победа и ничья: может быть два варианта - сначала победа, потом ничья и наоборот: $$0,3*0,4+0,4*0,3=0,24$$ Тогда итоговая вероятность:$$P=0,09+0,24=0,33$$
Задание 5327
На прилавке лежат 8 одинаковых пар перчаток, но у одной пары есть незаметный снаружи брак внутри обеих перчаток. В ходе примерок все перчатки перемешались. Продавец разделил все перчатки случайным образом на 4 группы по 4 штуки. Какова вероятность того, что обе бракованные перчатки находятся в одной группе?
Пусть одна перчатка уже находится в какой-то группе, тогда свободных мест в ней (в группе) остается 3. В то же время перчаток остается 15. Следовательно, вероятность того, что вторая перчатка также попадет в эту группу: $$P=\frac{3}{15}=0,2$$
Задание 5374
Поставщик заказывает опоры двигателя у двух фабрик. Первая фабрика выпускает 80% этих опор, вторая — 20 %. Первая фабрика выпускает 1 % бракованных опор, а вторая — 5 %. Найдите вероятность того, что случайно заказанная у поставщика опора двигателя будет исправной.
Вероятность, что опора будет без брака на первой фабрике : 0,99, на второй фабрике : 0,95. Вероятность того, что опора будет с первой фабрики и без брака: 0,8*0,99, со второй: 0,2*0,95. Тогда, вероятность получить не бракованную опору : 0,8*0,99+0,2*0,95=0,982
Задание 6031
Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно и не проходя дважды по одной и той же дорожке. Схема дорожек показана на рисунке. Найти вероятность того, что Павел Иванович попадет в точку G. Результат округлите до сотых.
Путь к G: ACG или ABFCG.Вероятность выбора дорожки вычисляется ,как отношение единицы к общему количеству дорожек из точки: $$AC=\frac{1}{2}; CG=\frac{1}{3};$$ $$AB=\frac{1}{2}; BF=\frac{1}{3}; FC=1;$$ $$ACG:\frac{1}{2}*\frac{1}{3}=\frac{1}{6};$$ $$ABFCG: \frac{1}{2}*\frac{1}{3}*1*\frac{1}{3}=\frac{1}{18}$$ $$p=\frac{1}{6}+\frac{1}{18}=\frac{2}{9}\approx 0,22;$$
Задание 6078
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,04. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найти вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Вероятность быть исправленной 1-0,04=0,96. Вероятность быть при этом быть заблокированной 0,96*0,01=0,0096. Вероятность заблокировать неисправную 0,04*0,95=0,038. Общая вероятность :0,038+0,0096=0,0476
Задание 6125
Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,6. Сколько выстрелов потребуется чтобы мишень была поражена с вероятностью не меньше, чем 0,97.
Если вероятность поражения не менее 0,97, то вероятность промаха менее 1-0,97=0,03.
Вероятность промаха n раз подряд $$(1-0,6)^{n} \Rightarrow$$$$0,4^{n}< 0,03\Rightarrow n=4.$$
Задание 6173
В торговом центре два одинаковых автомата продают шоколадки. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончатся шоколадки, равна 0,6. Вероятность того, что шоколадки закончатся в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня шоколадки останутся в обоих автоматах.
Вероятность, что закончатся хотя бы в одном :$$P=0,6+0,6-0,22=0,98$$ Событие "останутся шоколадки в обоих автоматах" противоположно событию "закончатся хотя бы в одном", следовательно, что останутся: $$P_{1}=1-0,98=0,02$$
Задание 6220
На фабрике керамической посуды 10% произведенных тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до десятитысячных.
Пусть x-всего тарелок. Тогда 0,9x идут сразу в продажу, 0,1x имеют дефект, но у 20% не находят дефекта, т.е. 0,2*0,1x=0,02x тоже поступят в продажу.
Всего в продаже 0,9x+0,02=0,92x. Тогда вероятность: $$\frac{0,9x}{0,92x}=0,97826\approx 0,9783$$