Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

Анализ графиков

Задание 14596

На рисунке изображён график функции $$f(x)=\frac{kx+a}{x+b}.$$ Найдите $$а.$$

Ответ: 6
Скрыть

$$f(x)=\frac{kx+a}{x+b}=k+\frac{a-kb}{x+b}$$

При этом $$b=-2,$$ так как вертикальная асимптота сдвинута на 2 единицы вправо.

Получим: $$f(x)=k+\frac{a+2k}{x-3}.$$

При этом $$k=-1,$$ так как горизонтальная асимптота сдвинута на 1 единицу вниз.

Получим: $$f(x)=-1+\frac{a-2}{x-3}.$$

График проходит через $$(-2;-2).$$

Получим: $$-2=-1+\frac{a-2}{-2-2}\Leftrightarrow -1=\frac{a-2}{-4}\Rightarrow a=6.$$

Задание 14601

На рисунке изображена часть графика функции $$f(x)=k|x|+b.$$ Найдите $$f(-10).$$

Ответ: 0,8
Скрыть

$$f(x)$$ проходит через $$(-7;2)$$ и $$(-2;4).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 2=-7k+b\\ 4=-k+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2=-2,8+b\\ 2=5k \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=4,8\\ k=0,4 \end{matrix}\right.$$

Получили: $$f(x)=0,4x+4,8$$

Тогда: $$f(-10)=0,4\cdot(-10)+4,8=0,8$$

Задание 14607

На рисунке изображена часть графика функции $$f(x)=|kx+b|.$$ Найдите $$f(-15).$$

Ответ: 1,2
Скрыть

$$f(x)$$ проходит через $$(-2;4)$$ и $$(-7;2).$$

При этом изображено "положительное" раскрытие модуля, т. е. $$f(x)=kx+b,k\geq0.$$

Получим:

$$\left\{\begin{matrix} 4=-2k+b\\ 2=-7k+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} k=0,4\\ b=4,8 \end{matrix}\right.$$

Получим:

$$f(x)=|0,4x+4,8|, тогда: f(-15)=|0,4\cdot(-15)+4,8|=|-1,2|=1,2.$$

Задание 14621

На рисунке изображен график функции $$y=\frac{1}{x+a}+c,$$ где $$a,c$$ ‐ целые числа. Найдите $$c.$$

Ответ: -2
Скрыть

График проходит через $$(4;-1)$$ и $$(2;-3)$$

Получим: $$\left\{\begin{matrix} -1=\frac{1}{4+a}+c\\ -3=\frac{1}{2+a}+c \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -c-1=\frac{1}{4+a}\\ -c-3=\frac{1}{2+a} \end{matrix}\right.$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$-2=\frac{1}{2+a}-\frac{1}{4+a}\Leftrightarrow -2=\frac{4+a-2-a}{(4+a)(2+a)}$$

$$-2(8+6a+a^2)=2\Leftrightarrow a^2+6a+8=-1\Leftrightarrow a^2+6a+9=0$$

$$\Rightarrow a=-3\Rightarrow -c-1=\frac{1}{4-3}\Rightarrow -c=1+1\Rightarrow c=-2$$

Задание 14641

На рисунке изображен график функции $$f(x)=a\cos x+b.$$ Найдите $$a.$$

Ответ: -2,5
Скрыть

Точка $$(0;-1,5)$$:

$$a\cos 0+b=-1,5$$

Точка $$(\pi;\frac{7}{2})$$:

$$a\cos\pi+b=\frac{7}{2}$$

$$-\left\{\begin{matrix} a+b=-\frac{3}{2}\\ -a+b=\frac{7}{2} \end{matrix}\right.$$

$$2a=-5\Rightarrow a=-2,5$$

Задание 14659

На рисунке изображен график функции $$f(x)=ax^2+bx+c,$$ где $$a,b,c$$ ‐ целые. Найдите $$f(-1).$$

Ответ: 34
Скрыть

Пусть $$f(x)=a(x-m)^2+n.$$ Вершина смещена относительно $$(0;0)$$ на 5 вправо $$\Rightarrow m=5$$ и на 2 вниз $$\Rightarrow n=-2.$$ Наклон параболы стандартный (соответствует $$y=x^2$$), значит $$a=1.$$ Получим $$f(x)=(x-5)^2-2.$$

Тогда $$f(-1)=(-1-5)^2-2=36-2=34$$

Задание 14677

На рисунке изображен график функции $$y=\log_a x,$$ где $$a$$ – целое число. Найдите $$a.$$

Ответ: 4
Скрыть

График проходит через $$(4;1).$$ Получим:

$$1=\log_a 4\Rightarrow a^1=4\Rightarrow a=4$$

Задание 14717

На рисунке изображен график функции $$f(x)=\log_a (x+b).$$ Найдите значение $$x,$$ при котором $$f(x)=4.$$

Ответ: 11
Скрыть

График проходит через $$(-3;1)$$ и $$(-1;2).$$

Получим: $$\left\{\begin{matrix} 1=\log_a(b-3)\\ 2=\log_a(b-1) \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} a=b-3\\ a^2=b-1 \end{matrix}\right.$$

$$(b-3)^2=b-1\Rightarrow b^2-6b+9=b-1\Rightarrow b^2-7b+10=0\Rightarrow\left[\begin{matrix} b=2\\ b=5 \end{matrix}\right.$$

При $$b=2$$ имеем $$b-3<0\Rightarrow$$ посторонний

При $$b=5$$: $$a=5-3=2$$

Получим $$f(x)=\log_2(x+5)=4\Rightarrow x+5=16\Rightarrow x=11$$

Задание 14796

На рисунке изображены графики функций $$f(x)=-2x^2 + 7x - 2$$ и $$g(x) = ax^2 + bx + c,$$ которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Ответ: 5
Скрыть

Правый график уже, значит модуль коэффициента при $$x^2$$ у него больше, т.е. это $$f(x).$$

$$g(x)$$ проходит через $$(0;3),$$ значит $$c=3$$ и через $$(-1;1)$$ и $$(1;3).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 1=a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+3\\ 3=a\cdot1^2+b\cdot1+3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -2=a-b\\ 0=a+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2a=-2\\ 2b=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=-1\\ b=1 \end{matrix}\right.$$

Получили $$g(x)=-x^2+x+3.$$ Тогда:

$$-2x^2+7x-2=-x^2+x+3\Rightarrow x^2-6x+5=0\Rightarrow\left[\begin{matrix} x=1\\ x=5 \end{matrix}\right.$$

Тогда $$B_x=5$$

Задание 14815

На рисунке изображён график функции $$f(x)=\log_a(x+b).$$ Найдите значение $$x,$$ при котором $$f(x)=-5.$$

Ответ: 29
Скрыть

График проходит через $$(-1;-1)$$ и $$(1;-2)$$. Получим:

$$\left\{\begin{matrix} -1=\log_a(b-1)\\ -2=\log_a(b+1) \end{matrix}\right.$$

$$\frac{\log_a(b+1)}{\log_a(b-1)}=\frac{-2}{-1}\Leftrightarrow\log_{b-1}(b+1)=2\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} (b-1)^2=b+1\\ b-1>0\\ b-1\neq1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b^2-3b=0\\ b>1\\ b\neq2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow b=3$$

Тогда:

$$-1=\log_a(3-1)\Rightarrow\frac{1}{a}=2\Rightarrow a=\frac{1}{2}$$

$$\log_{0,5}(x+3)=-5\Rightarrow x=0,5^{-5}-3=29$$

Задание 14834

На рисунке изображен график функции $$f(x)=b+\log_a x.$$ Найдите значение $$x,$$ при котором $$f(x)=2.$$

Ответ: 81
Скрыть

График проходит через $$(1;-2)$$ и $$(3;-1).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} -2=b+\log_a 1\\ -1=b+\log_a 3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=-2\\ \log_a 3=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=-2\\ a=3 \end{matrix}\right.$$

Получим:

$$-2+\log_3 x=2\Leftrightarrow \log_3 x=4\Leftrightarrow x=81$$

Задание 14875

На рисунке изображён график функции $$f(x)=\frac{k}{x+a}.$$ Найдите $$f(19).$$

Ответ: 0,15
Скрыть

Точки $$(2;1)$$ и $$(-4;-1)$$ принадлежат графику функции. Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{k}{2+a}=1\\ \frac{k}{-4+a}=-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} k=2+a\\ k=4-a \end{matrix}\right.$$

$$2+a=4-a$$

$$2a=2$$

$$a=1$$

$$k=4-1=3$$

$$f(x)=\frac{3}{x+1}$$

$$f(19)=\frac{3}{19+1}=\frac{3}{20}=0,15$$

Задание 14894

На рисунке изображен график функции $$f(x)=\frac{ax+b}{x+c},$$ где числа $$a, b, c$$ - целые. Найдите значение $$f(29).$$

Ответ: -2,12
Скрыть

График проходит через $$(1;-1); (3;1); (5;-5).$$ Получим:

$$\left\{\begin{matrix} -1=\frac{a\cdot1+b}{1+c}\\ 1=\frac{3a+b}{3+c}\\ -5=\frac{5a+b}{5+c} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -1-c=a+b\\ 3+c=3a+b\\ -25-5c=5a+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 4+2c=2a\\ 28+6c=-2a\\ 3+c=3a+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 32+8c=0\\ a=2+c\\ b=c+3-3a \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} c=-4\\ a=-2\\ b=5 \end{matrix}\right.$$

Получим: $$y=\frac{-2x+5}{x-4}.$$ Тогда $$f(29)=\frac{-2\cdot29+5}{29-4}=\frac{-53}{25}=-2,12$$

Задание 14914

На рисунке изображен график функции $$f(x)=b+\log_a x.$$ Найдите $$f(0,5).$$

Ответ: -3
Скрыть

График проходит через $$(2;1)$$ и $$(4;3).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 1=b+\log_a 2\\ 3=b+\log_a 4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 1=b+\log_a 2\\ 2=\log_a 4-\log_a 2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 1=b+2\\ \log_a 2=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=-1\\ a=\sqrt{2} \end{matrix}\right.$$

Получим:

$$f(x)=-1+\log_{\sqrt{2}} x\Rightarrow f(0,5)=-1+\log_{\sqrt{2}}\frac{1}{2}=-1-2=-3$$

Задание 14932

На рисунке изображён график функции $$f(x)=a\tg x + b.$$ Найдите $$b.$$

Ответ: -1,5
Скрыть

Точка $$(0;-1)$$ принадлежит графику функции. Тогда:

$$f(0)=b=-1$$

$$b=-1$$