ЕГЭ Профиль
Задание 14596
$$f(x)=\frac{kx+a}{x+b}=k+\frac{a-kb}{x+b}$$
При этом $$b=-2,$$ так как вертикальная асимптота сдвинута на 2 единицы вправо.
Получим: $$f(x)=k+\frac{a+2k}{x-3}.$$
При этом $$k=-1,$$ так как горизонтальная асимптота сдвинута на 1 единицу вниз.
Получим: $$f(x)=-1+\frac{a-2}{x-3}.$$
График проходит через $$(-2;-2).$$
Получим: $$-2=-1+\frac{a-2}{-2-2}\Leftrightarrow -1=\frac{a-2}{-4}\Rightarrow a=6.$$
Задание 14601
$$f(x)$$ проходит через $$(-7;2)$$ и $$(-2;4).$$ Тогда:
$$\left\{\begin{matrix} 2=-7k+b\\ 4=-k+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2=-2,8+b\\ 2=5k \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=4,8\\ k=0,4 \end{matrix}\right.$$
Получили: $$f(x)=0,4x+4,8$$
Тогда: $$f(-10)=0,4\cdot(-10)+4,8=0,8$$
Задание 14607
На рисунке изображена часть графика функции $$f(x)=|kx+b|.$$ Найдите $$f(-15).$$
$$f(x)$$ проходит через $$(-2;4)$$ и $$(-7;2).$$
При этом изображено "положительное" раскрытие модуля, т. е. $$f(x)=kx+b,k\geq0.$$
Получим:
$$\left\{\begin{matrix} 4=-2k+b\\ 2=-7k+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} k=0,4\\ b=4,8 \end{matrix}\right.$$
Получим:
$$f(x)=|0,4x+4,8|, тогда: f(-15)=|0,4\cdot(-15)+4,8|=|-1,2|=1,2.$$
Задание 14621
График проходит через $$(4;-1)$$ и $$(2;-3)$$
Получим: $$\left\{\begin{matrix} -1=\frac{1}{4+a}+c\\ -3=\frac{1}{2+a}+c \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -c-1=\frac{1}{4+a}\\ -c-3=\frac{1}{2+a} \end{matrix}\right.$$
Вычтем из второго уравнения первое:
$$-2=\frac{1}{2+a}-\frac{1}{4+a}\Leftrightarrow -2=\frac{4+a-2-a}{(4+a)(2+a)}$$
$$-2(8+6a+a^2)=2\Leftrightarrow a^2+6a+8=-1\Leftrightarrow a^2+6a+9=0$$
$$\Rightarrow a=-3\Rightarrow -c-1=\frac{1}{4-3}\Rightarrow -c=1+1\Rightarrow c=-2$$
Задание 14641
На рисунке изображен график функции $$f(x)=a\cos x+b.$$ Найдите $$a.$$
Точка $$(0;-1,5)$$:
$$a\cos 0+b=-1,5$$
Точка $$(\pi;\frac{7}{2})$$:
$$a\cos\pi+b=\frac{7}{2}$$
$$-\left\{\begin{matrix} a+b=-\frac{3}{2}\\ -a+b=\frac{7}{2} \end{matrix}\right.$$
$$2a=-5\Rightarrow a=-2,5$$
Задание 14659
Пусть $$f(x)=a(x-m)^2+n.$$ Вершина смещена относительно $$(0;0)$$ на 5 вправо $$\Rightarrow m=5$$ и на 2 вниз $$\Rightarrow n=-2.$$ Наклон параболы стандартный (соответствует $$y=x^2$$), значит $$a=1.$$ Получим $$f(x)=(x-5)^2-2.$$
Тогда $$f(-1)=(-1-5)^2-2=36-2=34$$
Задание 14717
График проходит через $$(-3;1)$$ и $$(-1;2).$$
Получим: $$\left\{\begin{matrix} 1=\log_a(b-3)\\ 2=\log_a(b-1) \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} a=b-3\\ a^2=b-1 \end{matrix}\right.$$
$$(b-3)^2=b-1\Rightarrow b^2-6b+9=b-1\Rightarrow b^2-7b+10=0\Rightarrow\left[\begin{matrix} b=2\\ b=5 \end{matrix}\right.$$
При $$b=2$$ имеем $$b-3<0\Rightarrow$$ посторонний
При $$b=5$$: $$a=5-3=2$$
Получим $$f(x)=\log_2(x+5)=4\Rightarrow x+5=16\Rightarrow x=11$$
Задание 14796
Правый график уже, значит модуль коэффициента при $$x^2$$ у него больше, т.е. это $$f(x).$$
$$g(x)$$ проходит через $$(0;3),$$ значит $$c=3$$ и через $$(-1;1)$$ и $$(1;3).$$ Тогда:
$$\left\{\begin{matrix} 1=a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+3\\ 3=a\cdot1^2+b\cdot1+3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -2=a-b\\ 0=a+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2a=-2\\ 2b=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=-1\\ b=1 \end{matrix}\right.$$
Получили $$g(x)=-x^2+x+3.$$ Тогда:
$$-2x^2+7x-2=-x^2+x+3\Rightarrow x^2-6x+5=0\Rightarrow\left[\begin{matrix} x=1\\ x=5 \end{matrix}\right.$$
Тогда $$B_x=5$$
Задание 14815
График проходит через $$(-1;-1)$$ и $$(1;-2)$$. Получим:
$$\left\{\begin{matrix} -1=\log_a(b-1)\\ -2=\log_a(b+1) \end{matrix}\right.$$
$$\frac{\log_a(b+1)}{\log_a(b-1)}=\frac{-2}{-1}\Leftrightarrow\log_{b-1}(b+1)=2\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} (b-1)^2=b+1\\ b-1>0\\ b-1\neq1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b^2-3b=0\\ b>1\\ b\neq2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow b=3$$
Тогда:
$$-1=\log_a(3-1)\Rightarrow\frac{1}{a}=2\Rightarrow a=\frac{1}{2}$$
$$\log_{0,5}(x+3)=-5\Rightarrow x=0,5^{-5}-3=29$$
Задание 14834
График проходит через $$(1;-2)$$ и $$(3;-1).$$ Тогда:
$$\left\{\begin{matrix} -2=b+\log_a 1\\ -1=b+\log_a 3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=-2\\ \log_a 3=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=-2\\ a=3 \end{matrix}\right.$$
Получим:
$$-2+\log_3 x=2\Leftrightarrow \log_3 x=4\Leftrightarrow x=81$$
Задание 14875
Точки $$(2;1)$$ и $$(-4;-1)$$ принадлежат графику функции. Тогда:
$$\left\{\begin{matrix} \frac{k}{2+a}=1\\ \frac{k}{-4+a}=-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} k=2+a\\ k=4-a \end{matrix}\right.$$
$$2+a=4-a$$
$$2a=2$$
$$a=1$$
$$k=4-1=3$$
$$f(x)=\frac{3}{x+1}$$
$$f(19)=\frac{3}{19+1}=\frac{3}{20}=0,15$$
Задание 14894
График проходит через $$(1;-1); (3;1); (5;-5).$$ Получим:
$$\left\{\begin{matrix} -1=\frac{a\cdot1+b}{1+c}\\ 1=\frac{3a+b}{3+c}\\ -5=\frac{5a+b}{5+c} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -1-c=a+b\\ 3+c=3a+b\\ -25-5c=5a+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 4+2c=2a\\ 28+6c=-2a\\ 3+c=3a+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 32+8c=0\\ a=2+c\\ b=c+3-3a \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} c=-4\\ a=-2\\ b=5 \end{matrix}\right.$$
Получим: $$y=\frac{-2x+5}{x-4}.$$ Тогда $$f(29)=\frac{-2\cdot29+5}{29-4}=\frac{-53}{25}=-2,12$$
Задание 14914
График проходит через $$(2;1)$$ и $$(4;3).$$ Тогда:
$$\left\{\begin{matrix} 1=b+\log_a 2\\ 3=b+\log_a 4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 1=b+\log_a 2\\ 2=\log_a 4-\log_a 2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 1=b+2\\ \log_a 2=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=-1\\ a=\sqrt{2} \end{matrix}\right.$$
Получим:
$$f(x)=-1+\log_{\sqrt{2}} x\Rightarrow f(0,5)=-1+\log_{\sqrt{2}}\frac{1}{2}=-1-2=-3$$