Анализ графиков

Учтём, что абсцисса вершины параболы для $$f(x): x_0=-\frac{-5}{2\cdot2}=1,25$$ - правая парабола.

Левая парабола пересекает $$Oy$$ в $$(0;-3),$$ значит, $$c=-3.$$

Точки $$A(1;1)$$ и $$B(-2;-5)$$ принадлежат $$g(x)=ax^2+bx+c.$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 1=a\cdot1^2+b\cdot1-3\\ -5=a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)-3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 4=a+b\\ -2=4a-2b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 4=a+b\\ -1=2a-b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=4-b\\ -1=8-2b-b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=1\\ b=3 \end{matrix}\right.$$

Получили:

$$g(x)=x^2+3x-3$$

Тогда:

$$x^2+3x-3=2x^2-5x+4$$

$$x^2-8x+7=0$$

$$\left[\begin{matrix} x_1=1\Rightarrow y_1=1+3-3=1\\ x_2=7\Rightarrow y_2=49+21-3=67 \end{matrix}\right.$$

Абсцисса вершины для $$f(x): x_0=-\frac{(-2)}{(-2)\cdot2}=-\frac{1}{2}$$

Это правая парабола. 

$$g(x)\cap Oy$$ в точке $$(0;1),$$ значит $$c=1.$$

Точки $$A(-2;5)$$ и $$C(-4;1)$$ принадлежат $$g(x).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 5=a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+1\\ 1=a\cdot(-4)^2+b\cdot(-4)+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 4=4a-2b\\ 0=16a-4b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2=2a-b\\ 4a=b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2=2a-4a\\ b=4a \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=-1\\ b=-4 \end{matrix}\right.$$

Получили $$g(x)=-x^2-4x+1$$

Тогда:

$$-2x^2-2x+4=-x^2-4x+1$$

$$x^2-2x-3=0$$

$$\left[\begin{matrix} x_1=3\\ x_2=-1 \end{matrix}\right.$$

Для того чтобы найти $$f(-18)$$ нам необходимо знать уравнение прямой, то есть значение коэффициентов k и b.

Прямая проходит через точки $$(3;-1)$$ и $$(-4;-3).$$ Подставим их координаты в уравнение прямой:

$$-1=3k+b$$ (1)

$$-3=-4k+b$$ (2)

Вычтем из (1) уравнения (2):

$$-1-(-3)=3k+b-(-4k+b)$$

Раскроем скобки:

$$-1+3=3k+b+4k- b$$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$$2=7k$$

Найдем k:

$$k=\frac{2}{7}$$

Найдем b из (1), подставив в него значение коэффициента $$k = \frac{2}{7}:$$

$$-1=3\cdot\frac{2}{7}+b$$

$$-1=\frac{6}{7}+b$$

$$b=-1-\frac{6}{7}$$

$$b=-\frac{13}{7}$$

Получим следующее уравнение прямой:

$$f(x)=\frac{2}{7}\cdot x-\frac{13}{7}$$

Найдем $$f(-18):$$

$$f(-18)=\frac{2}{7}\cdot(-18)-\frac{13}{7}$$

$$f(-18)=-\frac{36}{7}-\frac{13}{7}$$

$$f(-18)=-\frac{49}{7}$$

$$f(-18)=-7$$

Точки $$(3;-3)$$ и $$(-1;4)$$ принадлежат графику функции. Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} -3=k\cdot3+b\\ 4=k\cdot(-1)+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -7=4k\\ b=4+k \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} k=-\frac{7}{4}\\ b=\frac{9}{4} \end{matrix}\right.$$

Получили:

$$f(x)=-\frac{7}{4}x+\frac{9}{4}$$

Тогда:

$$-\frac{7}{4}x+\frac{9}{4}=-20,5$$

$$-7x+9=-82$$

$$-7x=-91$$

$$x=13$$

Точки $$(\frac{\pi}{2};1)$$ и $$(0;-1,5)$$ принадлежат графику функции. Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 1=\alpha\cos\frac{\pi}{2}+b\\ -1,5=\alpha\cos 0+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=1\\ -1,5=\alpha+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=1\\ \alpha=-2,5 \end{matrix}\right.$$

Получим:

$$f(x)=-2,5\cos x+1$$

$$\alpha=-2,5$$

Точки $$(0;\frac{1}{2})$$ и $$(\pi;-1)$$ принадлежат графику $$f(x).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}=a\cdot\cos0+b\\ -1=a\cdot\cos\pi +b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}=a+b\\ -1=-a+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{2}=2b\\ \frac{3}{2}=2a \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=-\frac{1}{4}\\ a=\frac{3}{4} \end{matrix}\right.$$

Получили:

$$f(x)=\frac{3}{4}\cos x-\frac{1}{4}$$

$$b=-0,25$$

Точки $$(0;5)$$ и $$(-2;-3)$$ принадлежат графику $$g(x).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 5=\alpha\cdot0+b\\ -3=\alpha\cdot(-2)+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=5\\ -3=-2\alpha+5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=5\\ \alpha=4 \end{matrix}\right.$$

Получили:

$$g(x)=4x+5$$

Точки $$(0;5)$$ и $$(-2;-3)$$ принадлежат графику $$f(x).$$ Тогда:

$$-2=\frac{k}{-3}$$

$$k=6$$

Получили:

$$f(x)=\frac{6}{x}$$

Тогда:

$$4x+5=\frac{6}{x}\Rightarrow\left\{\begin{matrix} 4x^2+5x-6=0\\ x\neq0 \end{matrix}\right.$$

$$D=25+96=121$$

$$x_1=\frac{-5+11}{8}=0,75$$

$$x_2=\frac{-5-11}{8}=-2$$

Точки $$(4;-2)$$ и $$(-4;-5)$$ принадлежат графику $$g(x).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} -2=\alpha\cdot4+b\\ -5=\alpha\cdot(-4)+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -7=2b\\ a=\frac{-2-b}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=-3,5\\ a=\frac{-2+3,5}{4}=\frac{3}{8} \end{matrix}\right.$$

Точка $$(4;-1)$$ принадлежит графику функции $$f(x).$$ Тогда:

$$-1=\frac{k}{4}\Leftrightarrow k=-4$$

Получили:

$$f(x)=-\frac{4}{x}$$

$$g(x)=\frac{3}{8}x-\frac{7}{2}$$

Тогда:

$$\frac{3}{8}x-\frac{7}{2}=-\frac{4}{x}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 3x^2-28x+32=0\\ x\neq0 \end{matrix}\right.$$

$$\frac{D}{4}=(14)^2-3\cdot32=100$$

$$x_1=\frac{14+10}{3}=8$$

$$x_2=\frac{14-10}{3}=\frac{4}{3}$$

Ордината $$B:$$

$$f(8)=-\frac{4}{8}=-0,5$$

Точки $$A(-2;0)$$ и $$B(1;4)$$ принадлежат графику.

$$\log_a(-2+b)=0$$

$$a^0=-2+b$$

$$b=1+2=3$$

$$\log_a(1+3)=4$$

$$a^4=4$$

$$a=\sqrt{2}$$

$$f(13)=\log_{\sqrt{2}}(13+3)=\log_{\sqrt{2}}16=8$$

Точки $$(3;0)$$ и $$(4;-1)$$ принадлежат графику $$f(x).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 0=\log_a(3+b)\\ -1=\log_a(4+b) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 3+b=1\\ -1=\log_a 2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} b=-2\\ a=0,5 \end{matrix}\right.$$

Получили:

$$f(x)=\log_{0,5}(x-2)$$

Тогда:

$$\log_{0,5}(x-2)=-5$$

$$x-2=0,5^{-5}=32$$

$$x=34$$

Точки $$(1;3)$$ и $$(2;1)$$ принадлежат графику функции $$f(x).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 3=a^{1+b}\\ 1=a^{2+b} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 3=\frac{a^{1+b}}{a^{2+b}}=a^{-1}\\ a^{2+b}=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{3}\\ (\frac{1}{3})^{2+b}=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{3}\\ b=-2 \end{matrix}\right.$$

Получили:

$$f(x)=(\frac{1}{3})^{x-2}$$

Тогда:

$$f(-1)=(\frac{1}{3})^{-1-2}=(\frac{1}{3})^{-3}=27$$

Точки $$(-2;1)$$ и $$(0;2)$$ принадлежат графику $$f(x).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 1=a^{-2+b}\\ 2=a^{0+b} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2=a^{b-(b-2)}\\ 2=a^b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a^2=2\\ a^b=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{2}\\ b=2 \end{matrix}\right.$$

Получили:

$$f(x)=(\sqrt{2})^{x+2}$$

Тогда:

$$(\sqrt{2})^{x+2}=8$$

$$x+2=6$$

$$x=4$$

$$f(x)$$ проходит через $$(4;3): 3=a\sqrt{4}\Rightarrow a=\frac{3}{2}$$

Получили: $$f(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x}$$

$$g(x)$$ проходит через $$(4;0)$$ и $$(0;-2):$$

$$\left\{\begin{matrix} 0=4k+b\\ -2=0k+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} k=0,5\\ b=-2 \end{matrix}\right.$$

Получили: $$g(x)=0,5x-2$$

Тогда:

$$\frac{3}{2}\sqrt{x}=\frac{1}{2}x-2\Leftrightarrow 3\sqrt{x}=x-4\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 9x=x^2-8x+16\\ x-4\geq0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x^2-17x+16=0\\ x\geq4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x=16\\ x=1 \end{matrix}\right.\\ x\geq4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=16$$

Точки $$(-3;-2)$$ и $$(4;5)$$ принадлежат графику функции. Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} -2=-3k+b\\ 5=4k+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} k=1\\ b=1 \end{matrix}\right.$$

Получили:

$$g(x)=x+1$$

$$5=2a$$

$$a=\frac{5}{2}$$

$$f(x)=\frac{5}{2}\sqrt{x}$$

$$\frac{5}{2}\sqrt{x}=x+1$$

$$5\sqrt{x}=2x+2$$

$$\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{4}\Rightarrow\left[\begin{matrix} \sqrt{x}=\frac{1}{2}\\ \sqrt{x}=2 \end{matrix}\right.\left[\begin{matrix} x=\frac{1}{4}=x_0\\ x=4 \end{matrix}\right.$$

$$y_0=g(\frac{1}{4})$$

$$y_0=1\frac{1}{4}=1,25$$

Точки $$(-4;-1)$$ и $$(-2;1)$$ принадлежат графику функции $$f(x).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} -1=\frac{a-4k}{b-4}\\ 1=\frac{a-2k}{b-2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a-4k=4-b\\ a-2k=-2+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2a-6k=2\\ 2k=-6-2b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=3k+1\\ k=-3-b \end{matrix}\right.\Rightarrow b=-k-3$$

Точка $$(0;5)$$ принадлежит графику функции $$f(x).$$ Тогда:

$$\frac{a}{b}=5$$

$$a=5b$$

$$\left\{\begin{matrix} 3k+1=5b\\ b=-k-3 \end{matrix}\right.$$

$$3k+1=5(-k-3)$$

$$8k=-16$$

$$k=-2$$