Перейти к основному содержанию

Вопрос 11. Вопрос по 14 заданию ЕГЭ на сечения и объемы.

Не могли бы подробнее разъяснить решение вот такой задачи:

На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды DАВС отмечены точки M и N соответственно, причем АМ : МВ = CN : NB = 3 : 1. Точки P и Q – середины рёбер DA и DC соответственно

а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.
б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.

Тимур из г. Архангельск.

Данная задача предлагалась на ЕГЭ в 2017-м году (профильный, 2 июня, основная волна). Заданная пирамида не обязана быть ни правильной, ни прямоугольной. Ничего не известно о длинах её ребер, о величине её углов. Известны только отношения некоторых отрезков. О таких фигурах говорят, что они произвольные. Однако, для нахождения отношения, требуемого подзадачей б), ничего другого, кроме заданных отношений, и не надо. Рассматривая задачу, мы будем иметь в виду: коли задана такая пирамида, то она существует. Раз существует, то она будет иметь конкретный параметр, называемый объемом, причем будем подразумевать выполнение известных свойств объемов тел, изложенных в учебниках геометрии для 10 -11классов. (См. п. 74 учебника Атанасяна Л.С. и др., Геометрия 10-11, Просвещение, 2011).

1. В процессе решения используем следующие обозначения:

Объект  Обозначение  Примечание
Пирамида $$DABC$$   Вершина пирамиды - точка $$D,$$ основание - $$\vartriangle ABC$$.
 Площадь основания $$DABC$$ $$S_{1}$$
Высота пирамиды $$DABC$$  $$H_{1}$$
Объем пирамиды $$DABC$$ $$V_{1}$$
Пирамида $$PAMNC$$    Вершина пирамиды - точка $$P$$, основание - 4-угольник $$AMNC$$
Площадь основания $$PAMNC$$ $$S_{2}$$
Высота пирамиды $$PAMNC$$ $$H_{2}$$
Объем пирамиды $$PAMNC$$  $$V_{2}$$
Пирамида $$BACD$$   Вершина пирамиды - точка A, основание - $$\vartriangle BCD$$
Площадь основания $$ABCD$$ $$S_{3}$$
Высота пирамиды$$ABCD$$ $$H_{3}$$
Объем пирамиды$$ABCD$$ $$V_{3}$$
Пирамида $$PQCN$$   Вершина пирамиды - точка $$P$$, основание - $$\vartriangle QCN$$
Площадь основания $$PQCN$$ $$S_{4}$$
Высота пирамиды $$PQCN$$ $$H_{4}$$ 
Объем пирамиды $$PQCN$$ $$V_{4} $$
Пирамида $$BACD$$ это та же пирамида, что и $$DABC$$. Поэтому $$V_{1} =V_{3}$$

а) $$\left(BM:BA=BN:BC=3:4\right)$$$$\Rightarrow $$ $$(MN||AC)-$$по основному свойству гомотетии. $$\left(PQ||AC\right)-$$ по свойству средней линии треугольника.

$$\left((MN||AC),^{} (PQ||AC)\right)$$ $$\Rightarrow $$ ($$PQ||MN$$) - по свойству транзитивности отношения параллельности. Поскольку через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, точки~$$P,$$$$Q,^{} M$$и~$$N$$ лежат в одной плоскости, что и требовалось доказать.

б)

1. Рассмотрим пирамиду $$PAMNC$$.

$$\vartriangle MBN\sim \vartriangle ABC,k=\frac{3}{4} . S(MBN)=k^{2} \cdot S(ABC)=\frac{9}{16} S_{1}$$

$$S_{2} =S_{1} -\frac{9}{16} S_{1} =\frac{7}{16} S_{1} $$

Так как $$P-$$ середина отрезка $$AD,$$ то: $$H_{2} =\frac{H_{1} }{2}$$

$$V_{2} =\frac{1}{3} S_{2} H_{2} =\frac{1}{3} \cdot \frac{7}{16} S_{1} \frac{H_{1} }{2} =\frac{7}{32} \cdot \frac{1}{3} S_{1} H_{1} =\frac{7}{32} V_{1} .$$

2. Теперь выразим объем пирамиды $$PQCN$$ через $$V_{3} .$$

$$\vartriangle QCN$$ и $$\vartriangle BCD$$ имеют общий угол $$BCD,$$ следовательно,

$$\frac{S(QCN)}{S(BCD)} =\frac{CQ\cdot CN}{CD\cdot CB} =\frac{CQ}{CD} \cdot \frac{CN}{CB} =\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} =\frac{1}{8} .$$ Отсюда: $$S_{4} =\frac{1}{8} S_{3} .$$

Так как $$P-$$ середина отрезка $$AD,$$ то: $$H_{4} =\frac{H_{3} }{2} .$$

$$V_{4} =\frac{1}{3} S_{4} H_{4} =\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8} S_{3} \frac{H_{3} }{2} =\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{3} S_{3} H_{3} =\frac{1}{16} V_{3} .$$ Но $$V_{3} =V_{1} .$$ Тогда же: $$V_{4} =\frac{1}{16} V_{1} $$. $$V_{2} +V_{4} =$$ $$\left(\frac{7}{32} +\frac{1}{16} \right)\cdot V_{1} =\frac{9}{32} V_{1} .$$ Если $$\Delta V-$$ объем тела $$DBMNQP,$$ то: $$\Delta V=V_{1} -\left(V_{2} +V_{4} \right)=V_{1} -\frac{9}{32} V_{1} =\frac{23}{32} V_{1} . \frac{\Delta V}{V_{2} +V_{4} } =\frac{23}{32} V_{1} :\frac{9}{32} V_{1} =23:9.$$

О т в е т: $$23:9.$$

=================================================================

Замечания:

1. Приведенный текст не является образцом решения подобной задачи на реальном ЕГЭ.

2. Основное свойство гомотетии приведено в учебнике И.Ф. Шарыгина Геометрия -- 7-9, Дрофа, 2013. С. 440-441 (теорема 13.8).

3. Смысл понятия транзитивности в математике раскрывается в пояснении к теореме 1.7, которая имеется в учебнике И.Ф. Шарыгина Геометрия -- 10-11, Дрофа, 2013. С. 20.

4. В п. 2 решения подзадачи б) использовано следствие из теоремы о площади треугольника: «Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы» (Атанасян Л. С. И др., Геометрия, 7-9, Просвещение, 2014. С. 124-125.