Вопрос 10. Как решить такие системы неравенств?
Радиф Галиевич! Как решить такие системы неравенств:
$$\left\{\begin{array}{c} {x^{2} -8y+31=0} \\ {y^{2} -2x-14=0} \end{array}\right. $$ и $$\left\{\begin{array}{c} {x^{2} +6y+14=0} \\ {y^{2} +4x-1=0} \end{array}\right. $$?
Вадим Рогов, ученик 10 класса, г. Москва.
Прежде чем начать решение этих систем, вспомню такой случай: несколько лет назад пришлось с учеником 11-го класса разбираться в способе получения формулы корней квадратного уравнения, известного из учебника 9-го класса, которая выглядит так: $$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2} -4ac} }{2a} .$$ Однако тот ученик не стал вникать в суть метода, который применялся при получении формулы. Тогда я показал ему материал из учебника, который приводится при получения формулы корней полного квадратного уравнения. И сказал, что каждому, кто хочет почувствовать красоту математики, наряду с другими красивыми преобразованиями разных выражений, надо бы знать и этот метод, который называют методом «выделения полного квадрата».
А он все же возразил:
Зачем это мне знать? Ведь здесь в учебнике все это расписано. Мне достаточно знать конечный результат, то есть формулу.
И вот сегодня не зря, наверное, я вспомнил наш диалог с учеником. Дело ведь в том, что именно этот прием - прием выделения полного квадрата, удачно применятся при решении обеих систем, которые привел Вадим Рогов.
Рассмотрим более детально первую систему.
Прежде обратимся к методу алгебраического сложения обоих уравнений и получим: $$x^{2} -8y+31+y^{2} -2x-14=0$$. В левой части уравнения сделаем перегруппировку слагаемых так, чтобы получить квадраты разностей $$(x-1)$$ и $$(y-4)$$. То есть заметим, что$$x^{2} -8y+31+y^{2} -2x-14=(x^{2} -2x+1)+(y^{2} -8y+16)-1-16+31-14.$$
Но тогда имеем: $$(x-1)^{2} +(y-4)^{2} =0$$. Таким образом, мы получили, что сумма квадратов двух выражений (а именно $$x-1$$ и $$y-4$$) равна нулю. А это возможно лишь при одном условии, что каждое из этих выражений равно нулю, т.е. $$x=1$$ и $$y=4.$$
Итак, решение исходной системы представляется парой (1;4).
Совершенно аналогичный подход к решению второй системы: $$\left\{\begin{array}{c} {x^{2} +6y+14=0} \\ {y^{2} +4x-1=0} \end{array}\right. $$. $$(x^{2} +4x+4)+(y^{2} +6y+9)-13+13=0$$ $$\Leftrightarrow $$ $$(x+2)^{2} +(y+3)^{2} =0$$ $$\Leftrightarrow $$ $$\left\{\begin{array}{c} {x=-2} \\ {y=-3} \end{array}\right. .$$
О т в е т : $$(-2;-3).$$
На вопрос ответил Радиф Галиевич Гилемханов.