Перейти к основному содержанию

ЕГЭ 2020. Вариант 32. Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Для покраски потолка требуется 270 г краски на 1 м$${}^{2}$$. Краска продаётся в банках по 3 кг. Сколько банок краски нужно купить для покраски потолка площадью 37 м$${}^{2}$$?

Ответ: 4
Скрыть Для 37 кв. м требуется $$270\cdot 37=9990$$ грамм краски. Так как краска продается по 3 кг, т.е. по 3000 грамм, то банок потребуется $$\frac{9990}{3000}=3,33$$, т. е. 4 полных банки.
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке показан курс армянского драма, установленный Центробанком РФ на все рабочие дни марта 2019 года. По горизонтали указаны числа месяца, по вертикали - цена 1000 армянских драмов в рублях. Для наглядности точки соединены отрезками.

Определите, на сколько рублей стала ниже цена 1000 армянских драмов на конец марта по сравнению с началом марта 2019 года.

Ответ: 1,4
Скрыть

1. Вычислим цену деления по вертикали: $$(131-130):5\ =\ 0,2$$.

2. На начало марта цена составляла $$134\ +\ 2\cdot 0,2\ =\ 134,4$$. На конец марта 133, цена изменилась на $$134,4\ -\ 133\ =\ 1,4$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Ответ: 12
Скрыть Площадь трапеции можно определить как произведение ее высоты на длину средней линии: $$S=h\cdot l=h\cdot \frac{a+b}{2}$$, где a, b - длины оснований трапеции. Из рисунка видно, что $$h=6-3=3$$, $$a\ =\ 4-2=2$$, $$b\ =\ 10-4=6$$. Получаем площадь трапеции: $$S=3\cdot \frac{2+6}{2}=12$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

На складе на одном стеллаже лежат в случайном порядке 50 запакованных клавиатур: 30 чёрных, 10 белых и 10 серых. На другом стеллаже лежат в случайном порядке 50 запакованных компьютерных мышей: 30 чёрных, 10 белых и 10 серых. Найдите вероятность того, что случайно выбранные клавиатура и мышь будут чёрного цвета.
Ответ: 0,36
Скрыть Введем два события: А - случайно выбранная клавиатура черного цвета; B - случайно выбранная мышь черного цвета. Так как эти события никак не зависят друг от друга, то они независимы. Нас интересует вероятность $$P(AB)=P(A)\cdot P(B)$$, то есть, возникновение и события А и события B одновременно. Вероятность события $$P\left(A\right)=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$$ (так как на 30 черных клавиатур всего приходится 50 клавиатур), а вероятность $$P\left(B\right)=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$$ (на 30 черных мышей всего приходится 50 различных мышей). Вычисляем искомую вероятность, $$P\left(AB\right)=\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}=\frac{9}{25}=0,36$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $$2^{1-3x}=128$$

Ответ: -2
Скрыть Преобразуем выражение, получим: $$\frac{2}{2^{3x}}=2^7\to 3x=-6\to x=-2$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В треугольнике ABC АВ = ВС, АС = 16, высота СН равна 4. Найдите синус угла АСВ.
Ответ: 0,25
Скрыть Так как треугольник ACB равнобедренный, то угол ACB равен углу CAB. Найдем синус угла CAB из прямоугольного треугольника AHC. Синус угла равен отношению противолежащего катета на гипотенузу, т.е. для угла CAB имеем: $${\sin CAB\ }=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=0,25={\sin ACB\ }$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображён график функции $$у\ =\ f(x)$$, определённой на интервале (-3;10). Найдите количество точек, в которых производная функции $$f(x)$$ равна 0.
Ответ: 10
Скрыть Значение производной в точке - это тангенс угла наклона касательной к оси OX, проведенной в этой точке. Производная будет принимать нулевые значения в точках максимума и минимума функции $$f(x)$$. Анализируя рисунок, видим, что это точки $$x=-2;-1;0;1;2;3;6;7;8;9$$, т.е. 10 точек.
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $$D, Е, F, D_1, E_1, F_1$$ правильной шестиугольной призмы $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$, площадь основания которой равна 10, а боковое ребро равно 12.

Ответ: 20
Скрыть В основании призмы лежит правильный шестигранник. Вершины DEF образуют треугольник в основании призмы. Таких равных треугольников в основании призмы ровно 6 (см. рисунок ниже). Легко показать, что площади треугольников AFO и FOD равны. Например, высота треугольника AFO равна $$\frac{y}{2}$$ (синяя линия к стороне FA на рисунке), а основание $$FA=x$$. Тогда площадь AFO $$S=\frac{1}{2}\cdot x\cdot \frac{y}{2}=\frac{xy}{4}$$. По аналогии площадь треугольника FOD. У него высота $$\frac{x}{2}$$, проведенная к стороне $$FD=y$$. Получаем площадь: $$S=\frac{1}{2}\cdot y\cdot \frac{x}{2}=\frac{xy}{4}$$. Также из рисунка хорошо видно, что треугольники AFO и DOC равны, и остальные 4 треугольника также равны. Поэтому площадь треугольника DEF равна $$1/6$$ от площади основания призмы: $$\frac{10}{6}$$. В результате получаем объем многогранника: $$V=S\cdot h=\frac{10}{6}\cdot 12=20$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $${{\log }_8 144\ }-{{\log }_8 2,25\ }$$.

Ответ: 2
Скрыть Вычислим выражение: $${{\log }_8 \frac{144}{2,25}\ }={{\log }_8 64\ }=2$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 299 МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле $$v=c\cdot \frac{f-f_0}{f+f_0}$$, где $$с\ =\ 1500$$ м/с - скорость звука в воде,$$\ f_0$$ - частота испускаемых импульсов (в МГц), f - частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отражённого сигнала f, если скорость погружения батискафа не должна превышать 5 м/с. Ответ выразите в МГц.
Ответ: 301
Скрыть Так как скорость батискафа не превышает 5 м/с, то получаем неравенство $$c\cdot \frac{f-f_0}{f+f_0}\le 5$$ и, подставляя числовые значения, получаем $$1500\cdot \frac{f-299}{f+299}\le 5\to \frac{f+299}{f-299}\ge 300\to f+299\ge 300f-299\cdot 300\to $$ $$\to f\le 301$$. Таким образом, наибольшее значение равно 301 МГц.
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 54 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?
Ответ: 513
Скрыть Сухого вещества изюма в 54 килограммах равно $$54\left(1-0,05\right)=54\cdot 0,95$$. Объем винограда обозначим через $$x$$. Тогда сухого вещества винограда будет $$x\left(1-0,9\right)=x\cdot 0,1$$. Сухого вещества винограда и изюма должны быть равны, т.е. получаем уравнение $$x\cdot 0,1=54\cdot 0,95\to x=513$$.
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции~$$y=x^5-5x^3-20x$$ на отрезке $$\left[-3;1\right]$$

Ответ: 48
Скрыть

Вычислим производную от функции, получим $$y'=5x^4-15x^2-20$$.

В точках экстремума функции производная равна нулю, имеем: $$5x^4-15x^2-20\to x^4-3x^2-4=0$$. Решение уравнения дает два корня $$x^2=-1$$ - не принадлежит множеству действительных чисел $$x^2=4\to x=\pm 2$$.

Значение $$x=2\notin \left[-3;1\right]$$ и остается одна точка $$x=-2$$. Вычислим значения функции в точке экстремума -2 и в граничных точках -3 и 1, получим: $$y\left(-3\right)={\left(-3\right)}^5-5{\left(-3\right)}^3+60=-48$$. $$y\left(-2\right)={\left(-2\right)}^5-5{\left(-2\right)}^3+40=48.$$ $$y\left(1\right)=1-5-20=-24.$$ Наибольшее значение функции равно 48.

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $${{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{\cos 2x\ }=0,75$$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]$$.

Ответ: а) $$\frac{\pi }{3}+\pi n,\ n\in Z$$; $$-\frac{\pi }{3}+\pi m, m\in Z$$ б)$$-\frac{5\pi }{3};\ -\frac{4\pi }{3};-\frac{2\pi }{3}$$
Скрыть

а) Преобразовываем уравнение, имеем: $${{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }+{{sin}^{{\rm 2}} x\ }=\frac{3}{4}\to {{\sin }^{{\rm 2}} x\ }=\frac{3}{4}\to \frac{1-{\cos 2x\ }}{2}=\frac{3}{4}\to {\cos 2x\ }=-\frac{1}{2}$$.

Получаем корень уравнения $$2x_1=\frac{2\pi }{3}+2\pi n\to x_1=\frac{\pi }{3}+\pi n,\ n\in Z$$. $$2x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi m\to x_2=-\frac{\pi }{3}+\pi m,\ m\in Z$$.

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]$$. Получим числа: $$-\frac{5\pi }{3};\ -\frac{4\pi }{3};-\frac{2\pi }{3}$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В правильной четырехугольной призме $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 3. На ребре $$AA_1$$отмечена точка E так, что $$AE:EA_1=1:2$$.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и $$BED_1$$.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и $$BED_1$$.

Ответ: $$arctg\frac{\sqrt{5}}{2}$$
Скрыть

а) Построение. Точка пересечения N прямых AD и $$D_1E:N=AD\cap D_1E$$, показана на рисунке ниже. Точка $$B$$ - общая точка плоскостей ABC и $$BED_1$$. Плоскости ABC и $$BED_1$$ пересекаются по прямой NB (см. рисунок).

б) На прямой NB отметим точку F такую, что $$AF\bot NB$$. Учитывая, что $$EA\bot ABC$$, следует $$EF\bot NB$$ (по теореме о трех перпендикулярах). Необходимо найти угол AFE.

Тангенс угла AFE найдем из прямоугольного треугольника AFE как $${\tan \angle AFE\ }=\frac{AE}{AF}$$.

По условию задачи $$AE:EA_1=1:2$$, следовательно, $$AE=1$$, а $$EA_1=2$$. Треугольник $$D_1A_1E$$ подобен треугольнику с коэффициентом подобия . Следовательно, отрезок . Найдем длину отрезка из прямоугольного треугольника ANB: $$NB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$$.

Найдем отрезок AF из формулы площади треугольника ANB: $$S_{ANB}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=\frac{1}{2}\cdot NB\cdot AF$$, откуда $$AF=\frac{2}{\sqrt{5}}$$.

Таким образом, $$tg\angle AFE=\frac{\sqrt{5}}{2}$$ и $$\alpha =\angle AFE=arctg\frac{\sqrt{5}}{2}$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$\frac{2}{7^x-7}\ge \frac{5}{7^x-4}$$

Ответ: $$(-\infty ;{{\log }_7 4\ })\cup (1;{{\log }_7 9\ }]$$
Скрыть

1. Выполним замену $$7^x=t,t>0$$, получим: $$\frac{2}{t-7}-\frac{5}{t-4}\ge 0\to \frac{2t-8-5t+35}{\left(t-7\right)\left(t-4\right)}\ge 0\to \frac{-3t+27}{(t-7)(t-4)}\ge 0.$$ Разделим последнее выражение на -3: $$\frac{t-9}{\left(t-7\right)\left(t-4\right)}\le 0$$.

2. Получаем следующие точки, делящие числовую прямую: $$\left\{ \begin{array}{c} t=9 \\ t\ne 7 \\ t\ne 4 \end{array} \right.$$.

3. Получаем решения неравенства:

Для $$0<7^x<4\to x\in (-\infty ;{{\log }_7 4\ })$$.

Для $$7^1-<7^x<7^{{{\log }_7 9\ }}$$$$\to x\in (1;{{\log }_7 9\ }]$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Диагональ АС прямоугольника ABCD с центром О образует со стороной АВ угол 30$${}^\circ$$. Точка Е лежит вне прямоугольника, причём $$\angle BEC=120{}^\circ $$.

а) Докажите, что $$\angle CBE=\angle COE$$.

б) Прямая ОЕ пересекает сторону AD прямоугольника в точке K, Найдите ЕК, если известно, что BE = 40 и СЕ = 24.

Ответ: 113
Скрыть

а) По теореме о внешнем угле треугольника $$\angle BOC=2\angle BAO=2\cdot 30{}^\circ =60{}^\circ $$. Поэтому $$\angle BEC+\angle BOC=120{}^\circ +60{}^\circ =180{}^\circ $$.

Значит, точки В, Е, С и О лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы СВЕ и СОЕ опираются на одну и ту же дугу, следовательно, $$\angle CBE=\angle COE$$.

б) По теореме косинусов $$BC=\sqrt{BE^2+CE^2-2BE\cdot CE\cdot {\cos 120{}^\circ \ }}=\sqrt{{40}^2\cdot {24}^2-2\cdot 50\cdot 24\cdot (-\frac{1}{2})}=$$ $$=56$$.

Вписанные углы ВЕО и СЕО опираются на равные хорды ВО и СО, значит, ЕО - биссектриса угла ВЕС. Пусть М - точка её пересечения со стороной ВС. По формуле для биссектрисы треугольника $$EM=\frac{2BE\cdot CE\cdot {\cos \frac{1}{2}\angle BEC\ }}{BE+CE}=\frac{2\cdot 40\cdot 24\cdot {\cos 60{}^\circ \ }}{40+24}=15$$.

По свойству биссектрисы треугольника $$\frac{CM}{BM}=\frac{CE}{BE}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}$$, значит, $$CM=\frac{3}{8}BC=\frac{3}{8}\cdot 56=21$$. $$BM=35$$.

По теореме о произведении пересекающихся хорд $$EM\cdot MO=BM\cdot CM$$, откуда находим, что $$MO=\frac{BM\cdot CM}{EM}=\frac{35\cdot 21}{15}=49$$. Треугольники COM и AOK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому $$OK\ =\ OM$$. Следовательно, $$EK=EM+2OM=15+98=113$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9 282 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Ответ: 2928200
Скрыть

Условно обозначим через $$S=928000$$ сумму кредита, процентную ставку через $$p=10\%$$, а сумму выплат через $$x$$. Каждый год сумма долга увеличивается на 10\%. Это можно выразить формулой $$S\left(1+\frac{p}{100}\right)=S\cdot m$$, где $$m=(1+\frac{p}{100})$$. Так как сумма выплат в год составляет $$x$$, то долг после первого года будет равен $$S\cdot m-x$$.

Для второго года долг увеличивается на ту же величину и становится равный $$\left(S\cdot m-x\right)\cdot m=Sm^2-xm$$, а долг после двух лет $$Sm^2-xm-x$$.

Для третьего года сумма долга будет равна $$\left(Sm^2-xm-x\right)m=Sm^3-xm^2-xm-x$$. И для четвертого $$Sm^4-xm^3-xm^2-xm-x=0$$ откуда $$x=\frac{Sm^4}{m^3+m^2+m+1}$$. Учитывая, что $$m^3+m^2+m+1=\frac{m^4-1}{m-1}$$, окончательно имеем $$x=\frac{Sm^4\left(m-1\right)}{m^4-1}$$.

Величина m при процентной ставке$$\ p=10\%$$ будет равна $$m=1+\frac{10}{100}=1,1$$ и ежегодные выплаты должны составлять $$x=\frac{9282000\cdot {1,1}^4\cdot 0,1}{{1,1}^4-1}=2928200$$ рублей.

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$\left|\frac{7}{x}-4\right|=ax-3$$ на промежутке $$(0;+\infty )$$ имеет более двух корней.

Ответ: $$\frac{12}{7}<a<\frac{7}{4}$$
Скрыть

Рассмотрим функции $$f\left(x\right)=ax-3,\ g\left(x\right)=\left|\frac{7}{x}-4\right|$$. Исследуем уравнение $$f\left(x\right)=g(x)$$ на промежутке $$(0;+\infty )$$. 

При $$a\le 0$$ все значения функции $$f(x)$$ на промежутке $$(0;+\infty )$$ отрицательны, а все значения функции $$g(x)$$ - неотрицательны, поэтому при $$a\le 0$$ уравнение $$f\left(x\right)=g(x)$$ не имеет решений на промежутке $$(0;+\infty )$$.

При $$a>0$$ функция $$f(x)$$ возрастает. Функция $$g(x)$$ бывает на промежутке $$(0;\frac{7}{4}]$$, поэтому уравнение $$f\left(x\right)=g(x)$$ имеет не более одного решения на промежутке $$(0;\frac{7}{4}]$$, причём решение будет существовать тогда и только тогда, когда $$f(\frac{7}{4})\ge g(\frac{7}{4})$$, откуда получаем $$a\cdot \frac{7}{4}-3\ge 0$$, то есть $$a\ge \frac{12}{7}$$.

На промежутке$$\ (\frac{7}{4};+\infty )$$ уравнение $$f\left(x\right)=g(x)$$ принимает вид $$ax-3=4-\frac{7}{x}$$. Это уравнение сводится к уравнению $$ax^2-7x+7=0$$. Будем считать, что $$a>0$$, поскольку случай $$a\le 0$$ был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения $$D=49-28a$$, поэтому при $$a>\frac{7}{4}$$ это уравнение не имеет корней; при $$a=\frac{7}{4}$$ уравнение имеет единственный корень, равный 2; при $$0<a<\frac{7}{4}$$ уравнение имеет два корня.

Если уравнение имеет два корня $$x_1,\ x_2$$, то есть $$0<a<\frac{7}{4}$$, то больший корень $$x_2=\frac{7+\sqrt{D}}{2a}>\frac{7}{2a}>2>\frac{7}{4}$$, поэтому он принадлежит промежутку $$(\frac{7}{4};+\infty )$$. Меньший корень $$x_1$$ принадлежит промежутку $$(\frac{7}{4};+\infty )$$ тогда и только тогда, когда $$a\left(x_1-\frac{7}{4}\right)\left(x_2-\frac{7}{4}\right)=a{\left(\frac{7}{4}\right)}^2-7\cdot \frac{7}{4}+7=\frac{7\left(7a-12\right)}{16}>0$$ то есть $$a>\frac{12}{7}$$.

Таким образом, уравнение $$\left|\frac{7}{x}-4\right|=ax-3$$имеет следующее количество корней на промежутке $$(0;+\infty )$$:

- нет корней при $$a\le 0$$;

- один корень при $$0<a<\frac{12}{7},\ a>\frac{7}{4}$$;

- два корня при $$a=\frac{12}{7},\ a=\frac{7}{4}$$;

- три корня при $$\frac{12}{7}<a<\frac{7}{4}$$;

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более $$\frac{3}{10}$$ от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более $$\frac{5}{12}$$ от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 8 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 16 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 16 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов А и Б?

Ответ: а) да; б) 8; в) $$\frac{7}{15}$$
Скрыть

а) Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 5 мальчиков, посетивших только кино, и 8 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 16 учащихся могло быть 8 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 9 или больше. Тогда девочек было 7 или меньше. Театр посетило не более 3 мальчиков, поскольку если бы их было 4 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше $$\frac{4}{4+7}=\frac{4}{11}$$, что больше $$\frac{3}{10}$$. Аналогично кино посетило не более 5 мальчиков, поскольку $$\frac{6}{6+7}=\frac{6}{13}>\frac{5}{12}$$, но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 16 учащихся могло быть 8 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе - 8.

в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой - только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.

Пусть в группе $$m_1$$ мальчиков, посетивших театр, $$m_2$$ мальчиков, посетивших кино, и d девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.

По условию $$\frac{m_1}{m_1+d}\le \frac{3}{10},\ \frac{m_2}{m_2+d}\le \frac{5}{12}$$, значит, $$\frac{m_1}{d}\le \frac{3}{7},\ \frac{m_2}{d}\le \frac{5}{7}$$. Тогда $$\frac{m_1+m_2}{d}\le \frac{8}{7}$$, поэтому доля девочек в группе: $$\frac{d}{m_1+m_2+d}=\frac{1}{\frac{m_1+m_2}{d}+1}\ge \frac{1}{\frac{8}{7}+1}=\frac{7}{15}$$.

Если группа состоит из 3 мальчиков, посетивших только театр, 5 мальчиков, посетивших только кино, и 7 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна $$\frac{7}{15}$$.