Перейти к основному содержанию

ОГЭ математика 2017. Разбор варианта Алекса Ларина № 145

Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий вариант Ларина № 145 ОГЭ.

Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий вариант Ларина № 145 ОГЭ.

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Найдите значение выражения $$(3\frac{1}{5}+2\frac{3}{7}):1\frac{3}{7}$$

Ответ: 3.94
Скрыть

$$(3\frac{1}{5}+2\frac{3}{7}):1\frac{3}{7}=(\frac{16}{5}+\frac{17}{7}):\frac{10}{7}=(\frac{112}{35}+\frac{85}{35})*\frac{7}{10}=\frac{197*7}{35*10}=\frac{197}{50}=3.94$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На координатной прямой отмечено число с . Расположите в порядке убывания числа $$ c ; \frac{1}{c} ; c^{2} $$

Ответ: 2
Скрыть
Число с располагается между 0 и 1. Пусть оно равна 0,6. В таком случае
$$\frac{1}{c}=\frac{1}{0.6}=\frac{10}{6}$$
$$c^{2}=0.6^{2}=0.36$$
Если расположить эти числа в порядке убывания, то получим: $$\frac{10}{6} ; 0.6 ; 0.36$$ или $$ \frac{1}{c} ; c ; c^{2}$$
Ответ под номером 2
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите значение выражения $$\sqrt{12*2^{3}}\sqrt{24*3^{2}}$$

Варианты ответа

1)1452
2)132
3)144
4)$$12\sqrt{6}$$
Ответ: 3
Скрыть

$$\sqrt{12*2^{3}}\sqrt{24*3^{2}}=\sqrt{12*24*2^{3}*3^{2}}=3\sqrt{12*12*2*2^{3}}=12*3\sqrt{2^{4}}=36*4=144$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Решите уравнение $$x^{2}-6(x-4)-4x+1=0$$

Ответ: 5
Скрыть

$$x^{2}-6(x-4)-4x+1=0$$
$$x^{2}-6x+24-4x+1=0$$
$$x^{2}-10x+25=0$$
$$(x-5)^{2}=0$$
$$x=5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Формулы:

1)$$y=-\frac{3}{x}$$

2)$$y=\frac{1}{3x}$$

3)$$y=\frac{3}{x}$$

Ответ: 213
Скрыть

Во второй и четвертой четвертях расположен только один график, а значит 1-Б (минус перед дробью дает такое расположение. Если коэффициент расположен в знаменателе дроби, то гипербола становится ближе к 0, если же в числителе, то дальше, поэтому 2-А , 3-В

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Последовательность (an) задана условиями a1 = 5 , an+1 = an - 3. Найдите a10

Ответ: -22
Скрыть
$$a_{2}=a_{1}-3=5-3=2$$
Следовательно, $$d = a_{2}-a_{1}=2-5=-3$$
Поэтому мы можем использоваться формулу n-го члена арифметической прогрессии:
$$a_{n}=a-{1}+d(n-1)=5-3*(10-1)=5-27=-22$$
Или просто считать и молиться, что не дадут находить какой-нибудь 2017 член)))
$$a_{3}=a_{2}-3=2-3=-1$$
$$a_{4}=a_{3}-3=-1-3=-4$$
$$a_{5}=a_{4}-3=-4-3=-7$$
$$a_{6}=a_{5}-3=-7-3=-10$$
$$a_{7}=a_{6}-3=-10-3=-13$$
$$a_{8}=a_{7}-3=-13-3=-16$$
$$a_{9}=a_{8}-3=-16-3=-19$$
$$a_{10}=a_{9}-3=-19-3=-22$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Найдите значение выражения $$-24ab-(4a-3b)^{2}$$ при $$a=\sqrt{7} ; b = \sqrt{5} $$

Ответ: -157
Скрыть

$$-24ab-(4a-3b)^{2}=-24ab-(16a^{2}-24ab+9b^{2})=$$
$$-24ab-16a^{2}+24ab-9b^{2})=-16a^{2}-9b^{2}=$$
$$-16(\sqrt{7})^{2}-9(\sqrt{5})^{2}=-16*7-9*5=-157$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств $$\left\{\begin{matrix}2(x+2)-7< 15\\ -3x+12< 0\end{matrix}\right.$$

Ответ: 1
Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}2(x+2)-7< 15\\ -3x+12< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x+4-7< 15\\ -3x< -12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x< 15+3\\ x> 4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x< 9\\ x> 4\end{matrix}\right.$$

Данный промежуток соответствует 1 варианту ответа

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 20°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 80
Скрыть
∠ BOC = ∠AOD (вертикальные)
OB и OC - радиусы, значит треугольник BOC равнобедренный и в нем ∠B=∠C=(180-20)/2=80
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

В треугольнике ABC известно, что AC=24, BC= $$\sqrt{265}$$ , угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Ответ: 14,5
Скрыть

По теореме Пифагора найдем гипотенузу AB = $$\sqrt{24^{2}+(\sqrt{265})^2}=29$$. Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы, то есть 29/2=14,5

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 30 см, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.

Ответ: 15
Скрыть

Если в трапецию вписана окружность, то сумма противоположных сторон равна. То есть сумма боковых сторон равна сумме оснований. Значит сумма оснований тоже 30. А средняя линия равна полусумме оснований, то есть 30/2=15

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 15. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

Ответ: 0,6
Скрыть

Гипотенуза треугольника этого будет равна $$\sqrt{20^{2}+15^{2}}=25$$. Напротив меньшей стороны лежит меньший угол, и синус угла есть отношение длины противолежащего катета ( то есть как раз меньшей стороны в нашем случае ) к длине гипотенузы. Получаем 15/25=0,6

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Какие из следующих утверждений верны?

1. Длина медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы.
2. Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.
3. Если диагонали параллелограмма равны, то он является ромбом.
Ответ: 12
Скрыть

1) Да, верно, и еще они все равны радиусу описанной окружности
2) Да, это свойство биссектрисы
3) Нет, то он является прямоугольником

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Для квартиры площадью 90 кв. м заказан натяжной потолок белого цвета. Стоимость материалов с учётом работ по установке натяжных потолков приведена в таблице.

Цвет потолка Цена (в руб.) за 1 кв. м  (в зависимости от площади помещения)  
  до 10 кв. м от 11 до 30 кв. м от 31 до 60 кв. м свыше 60 кв. м
Белый 1500 1250 1050 700
Цветной 1650 1400 1200 850

Какова стоимость заказа, если действует сезонная скидка в 15%?

Ответ: 53500
Скрыть

Найдем сначала стоимость без учета скидки: 700*90=63000

Так как скидка 15%, то к оплате будет 100-15=85%

63000 - 100%
x - 85%
x=63000*85/100=53550
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

На графиках показано, как во время телевизионных дебатов между кандидатами А и Б телезрители голосовали за каждого из них. Сколько всего тысяч телезрителей проголосовало за первые 20 минут дебатов?

Ответ: 40
Скрыть

За обоих кандидатов проголосовало по 20 тысяч, значит всего 40 тысяч.

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Закупив чайные кружки на оптовом складе, магазин стал продавать их по цене на 40% больше закупочной. Перед Новым годом цена кружки была снижена на 30%. Какая цена меньше: та, по которой магазин закупил кружки, или предновогодняя – и на сколько процентов?

Ответ: 2
Скрыть

Пусть x - цена закупки, тогда первоначальная цена продаже составляется (с учетом увеличения на 40%, то есть 140 от первоначальной) :

x - 100%
y - 140%
y = x*140/100=1.4x

Аналогично, с учетом снижения на 30 % будет стоить 70 % от текущей:

1.4x - 100%
y - 70%
y = 1.4x * 70 / 100 = 0.98 x

Как видим, предновогодняя меньше, и , если обозначить за 100 % первоначальную цену закупки, то предновогодняя составить 98% :

x - 100%
0,98x - y%
y=0.98x*100/x=98%

То есть, на 2% меньше

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Лестница соединяет точки A и B и состоит из 25 ступеней. Высота каждой ступени равна 14 см, а длина – 48 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

Ответ: 12,5
Скрыть

Рассмотрим треугольник ASD:

AD=$$\sqrt{AS^{2}+SD^{2}}=\sqrt{14^{2}+48^{2}}=50$$

Следовательно, длинна AB=25*50=1250 см = 12,5 м

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

 

На диаграмме показан возрастной состав населения Китая

Сколько примерно людей младше 14 лет проживает в Китае, если население Китая составляет 1,3 млрд людей? Варианты ответа

1) около 100 млн

2) около 260 млн

3) около 325 млн

4) около 150 млн

Ответ: 2
Скрыть

Часть окружности, соответствующая населению до 14 лет составляет менее 1/5. Значит и количество населения будет менее 1/5 от 1,3 млдр, что в свою очередь меньше 260 млн

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

Ответ: 0.25
Скрыть

Найдем вероятность того, что две девочки окажутся рядом. Около девочки два стула. На один стул претендуют 7 мальчиков и 1 девочка, то есть 8 человек. Следовательно, вероятность того, что девочка сядет на этот стул 1/8 = 0,125. При этом стула два (справа и слева), значит умножим полученную вероятность на 2: 0.125 * 2 = 0.25. Получаем, что вероятность того, что девочки окажутся рядом = 0,25

Аналоги к этому заданию:

Задание 20

Период колебания математического маятника (в секундах) приближённо можно вычислить по формуле $$T = 2 \sqrt{l} $$, где l — длина нити в метрах. Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 15 секунд.

Ответ: 56.25
Скрыть

$$15=2\sqrt{l}$$
$$7.5=\sqrt{l}$$
$$l = 7.5^{2}=56.25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 21

Решите уравнение $$x^{2}-3x+\sqrt{3-x}=\sqrt{3-x}+10$$

Ответ: -2
Скрыть
Для начала найдем ОДЗ: $$3-x\geq 0$$.
Далее перенесем все в левую часть.
$$x^{2}-3x+\sqrt{3-x}-\sqrt{3-x}-10=0$$
$$x^{2}-3x-10=0$$ $$D = 9 - 4 * ( - 10) = 49$$
$$x_{1}=\frac{3+7}{2}=5$$ - не входит в ОДЗ
$$x_{2}=\frac{3-7}{2}=-2$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 22

Поезд проходит мимо неподвижного наблюдателя за 7 секунд, а мимо платформы длиной 378 метров – за 25 секунд. Найдите длину поезда.

Ответ: 147 метров
Скрыть
Пусть x - скорость поезда в м/с, а у - длина поезда в метрах. Тогда условия проезда мимо неподвижного наблюдателя запишется как: $$\frac{y}{x}=7$$
Передняя точка поезда, проезжающего платформу, проходит не только длину платформы, но и длину самого поезда, поэтому второе условие выглядит так:$$\frac{y+378}{x}=25$$
Преобразуем первое уравнение и получим $$y = 7x$$. Подставим во второе:
$$\frac{7x+378}{x}=25$$
$$7x+378=25x$$
$$378=28x$$
Отсюда x = 21, а значит y = 21 * 7 = 147 метров.
Аналоги к этому заданию:

Задание 23

Постройте график функции $$y=3\left |x+7 \right |-x^{2}-13x-42$$ и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: 0 и 1
Скрыть

Решение в видео

Аналоги к этому заданию:

Задание 24

Медиана AD треугольника АВС пересекается с медианой СЕ в точке О. Найдите длину стороны ВС, если АВ = 8 см, ОЕ = 1см, а площадь треугольника АВС равна 12 см2 .

Ответ: 5
Скрыть
1) По свойству медиан (медианы точкой пересечения делятся в отношении 2/1, считая от вершины) получаем, что OE:CO=1:2, значит CO = 2*1=2, а CE = CO+OE=2+1=3
2) Пусть CH - высота, опущенная на AB, тогда площадь треугольника можно записать как:
$$S=\frac{1}{2} AB * CH$$
$$12=\frac{1}{2} * 8 * CH$$
Отсюда CH = 3. То CE тоже равняется 3 и они имеют общую вершину, а, следовательно, являются одним и тем же отрезком.
3) Тогда треугольник у нас получается равнобедренный (медиана и высота одно и то же), а значит $$BC = \sqrt{EB^{2}+CE^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 25

Докажите, что сумма диагоналей параллелограмма меньше его периметра

Ответ: доказано
Скрыть

Пусть дан параллелограмм ABCD, тогда:

1) По свойству треугольника (сумма длин двух сторон всегда больше третьей) в ADC : AD + DC > AC

2) Аналогично из треугольника DCB : DC + CB > DB

3) Сложим эти два неравенства и получим : AD + DC + DC + CB > AC + DB, а так как DC = AB, то в левой части у нас периметр. Получаем, что периметр больше суммы длин диагоналей

 

Аналоги к этому заданию:

Задание 26

В трапеции АВСD известны основания АD = 39, ВС = 26 и боковые стороны АВ = 5, СD = 12. Найдите радиус окружности, которая проходит через точки А и В и касается прямой DС.

Ответ: 12,5
Скрыть

1) Построим BM параллельно DC, тогда BMDC - параллелограмм и BM = DC  = 12.

2) Тогда AM = AD - MB = AD - BC = 39 - 26 = 13. 

3) Треугольник ABM в таком случае - прямоугольный ( выполняется теорема Пифагора ), угол B - прямой.

4) Построим OF - серединный перпендикуляр, тогда FB = AF = 5/2 = 12.5 и BM ║ OF

5) Построим AB и CD до точки пересечения в Е. Тогда , т.к. BM ║ CD и BM ┴ AB, то DE ┴ AE. 

6) Построим радиус OK в точку касания, он перпендикулярен DE (свойство радиуса в точку касания), значит EFOK - прямоугольник ( все углы по 90), а значит OK = EF

7) Треугольники ABM и AED подобны по двум углам ( оба прямоугольные и А - общий ) , значит $$\frac{AB}{AE}=\frac{AM}{AD}$$, пусть BE = x, тогда :

$$\frac{AB}{AB+BE}=\frac{AM}{AD}$$

$$\frac{5}{5+x}=\frac{13}{39}$$, отсюда x = 10. Тогда FE = 10 + 2.5 = 12.5 = OK