Перейти к основному содержанию

ОГЭ математика 2020. Разбор варианта Алекса Ларина № 225.

Решаем ОГЭ 225 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 225 (alexlarin.com)

Решаем ОГЭ 225 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 225 (alexlarin.com)

На рисунке изображена схема метро города N. Станция Ветреная расположена между станциями Центральная и Дальняя. Если ехать по кольцевой линии (она имеет форму окружности), то можно последовательно попасть на станции Центральная, Быстрая, Утренняя, Птичья и Весёлая. Радужная ветка включает в себя станции Быстрая, Смородиновая, Хоккейная и Звёздная. Всего в метрополитене города N есть три станции, от которых тоннель ведёт только в одну сторону – это станции Дальняя, Верхняя и Звёздная. Антон живёт недалеко от станции Надежда.

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Для станций, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на схеме. Заполните таблицу. В ответе запишите последовательность четырёх цифр без пробелов и других каких‐либо символов.

Станции Весёлая Ветреная Звёздная Птичья
Цифры        
Ответ: 3174
Скрыть

Расставим по номерам название станций согласно условию: 

  1. Ветренная
  2. Быстрая
  3. Птичья
  4. Веселая
  5. Хоккейная
  6. Звездная
  7. Надежда

Тогда в ответ запишем 3174

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

Бригада меняет рельсы на участке между станциями Надежда и Верхняя протяжённостью 12,4 км. Работы начались в понедельник. Каждый рабочий день бригада меняла по 400 метров рельсов. По субботам и воскресеньям замена рельсов не осуществлялась, но проезд был закрыт до конца всего ремонта. Сколько дней был закрыт проезд между указанными станциями?

Ответ: 43
Скрыть Работают только 5 дней в неделю, укладывая по 400 метров (0,4 км) в день. То есть за неделю укладывается 2 км. Тогда понадобится $$\frac{12,6}{2}=6,3$$ недели, то есть 6 полный недель (42 дня). И оставшиеся 0,4 км (12,4-12) уложат за 1 день. Тогда закрыт проезд будет в сумме 43 дня
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Территория, находящаяся внутри кольцевой линии, называется Центральным городским районом. Найдите его площадь (в км2), если длина кольцевой ветки равна 40 км. В ответе укажите значение выражения $$S\cdot \pi$$ .

Ответ: 400
Скрыть

Длина окружности вычисляется по формуле $$C=2\pi R$$, тогда $$R=\frac{C}{2\pi}=\frac{20}{\pi}$$

Площадь круга вычисляется по формуле: $$S=\pi R^{2}=\pi *\frac{40}{\pi^{2}}=\frac{400}{\pi}$$

В ответ надо указать без $$\pi$$, то есть 400

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Найдите расстояние (в км) между станциями Смородиновая и Хоккейная, если длина Радужной ветки равна 17 км., расстояние от Звёздной до Смородиновой равно 10 км, а от Быстрой до Хоккейной – 12 км. Все расстояния даны по железной дороге.

Ответ: 5
Скрыть Найдем расстояние от Хоккейной до Звездной: 17-12=5 км Найдем расстояние от Смородиновой до Хоккейной: 10-5=5 км
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Школьник Антон в среднем в месяц совершает 45 поездок в метро. Для оплаты поездок можно покупать различные карточки. Стоимость одной поездки для разных видов карточек различна. По истечении месяца Антон уедет из города и неиспользованные карточки обнуляются. Во сколько рублей обойдётся самый дешёвый вариант?

Количество поездок Стоимость карточки (руб) Дополнительные условия
1 40 школьникам скидка 15%
10 370 школьникам скидка 10%
30 1050 школьникам скидка 10%
50 1600 нет
Не ограничено 2000 нет

Школьник Антон в среднем в месяц совершает 45 поездок в метро. Для оплаты поездок можно покупать различные карточки. Стоимость одной поездки для разных видов карточек различна. По истечении месяца Антон уедет из города и неиспользованные карточки обнуляются. Во сколько рублей обойдётся самый дешёвый вариант?

Количество поездок Стоимость карточки (руб) Дополнительные условия
1 40 школьникам скидка 15%
10 370 школьникам скидка 10%
30 1050 школьникам скидка 10%
50 1600 нет
Не ограничено 2000 нет
Ответ: 1530
Скрыть Рассчитаем стоимость каждого варианта: 1) 45*40=1800 рублей, с учетом скидки: 1800*0,85=1530 рублей 2) 370*5=1850 рублей, с учетом скидки: 1850*0,9=1665 рублей 3) 1050*2=2100 рублей, с учетом скидки: 2100*0,9=1890 рублей Как видим, самый дешевый оказался 1 вариант и составил 1530 рублей
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Найдите значение выражение $$5\cdot (-0,1)^{-3}+4\cdot (-10)^{-2}$$
Ответ: -4999,96
Скрыть $$5\cdot (-0,1)^{-3}+4\cdot (-10)^{-2}=$$$$5\cdot (-\frac{1}{0,001})+4\cdot \frac{1}{100}=$$$$-5000+0,04=-4999,96$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На координатной прямой отмечены числа а и b .

Какое из приведённых утверждений всегда верно?

  1. $$-b(a-b)<0$$
  2. $$a^{2}b(|a|-|b|)>0$$
  3. $$-a(2a+b)>0$$
  4. $$-ab(-a-b)>0$$
Ответ: 3
Скрыть

Учтем, что а<0, b>0 и |b|>|a|. Тогда пусть а=-0,5, b=2:

  1. $$-b(a-b)<0\Rightarrow$$$$-2(-0,5-2)=-2*(-2,5)=10>0$$, следовательно, неверно
  2. $$a^{2}b(|a|-|b|)>0\Rightarrow$$$$(-0,5)^{2}(|-0,5|-|2|)=0,25*(0,5-2)=0,25*(-1,5)<0$$, следовательно, неверно
  3. $$-a(2a+b)>0\Rightarrow$$$$-(-0,5)(2*(-0,5)+2)=0,5(-1+2)=0,5*1>0$$, следовательно, верно
  4. $$-ab(-a-b)>0\Rightarrow$$$$-(-0,5)2(-(-0,5)-2)=0,5*2*(0,5-2)=0,5*2*(-1,5)<0$$, следовательно, неверно

То есть в ответе укажем только номер 3

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Найдите значение выражение $$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\cdot \frac{(4-\sqrt{15})\cdot 27^{-1}}{3^{10}\cdot 9^{-8}}$$
Ответ: 27
Скрыть

$$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\cdot \frac{(4-\sqrt{15})\cdot 27^{-1}}{3^{10}\cdot 9^{-8}}=$$$$\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}\cdot \frac{(4-\sqrt{15})\cdot 3^{-3}}{3^{10}\cdot 3^{-16}}=$$$$\frac{8+2\sqrt{15}}{2}*(4-\sqrt{15})*3^{-3-10+16}=$$$$4^{2}-(\sqrt{15})^{2}*3^{3}=27$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Решите уравнение $$-(-x-5)-2(-3x-7)=5-(-x^{2}-5x)+7x$$ . Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Ответ: -72
Скрыть $$-(-x-5)-2(-3x-7)=5-(-x^{2}-5x)+7x\Leftrightarrow$$$$x+5+6x+14=5+x^{2}+5x+7x\Leftrightarrow$$$$x^{2}+5x-14=0$$ Получим, что $$x_{1}+x_{2}=-5$$, $$x_{1}*x_{2}=-14$$. Тогда $$x_{1}=-7$$, $$x_{2}=2$$. В ответ запишем -72
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

В урне 7 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынули один шар и, не глядя, отложили в сторону. После этого из урны взяли ещё один шар. Он оказался белым. Найдите вероятность, что первый шар, отложенный в сторону, – тоже белый.

Ответ: 0,6
Скрыть

   Пусть $$P(H_{1})$$ - вероятность вытянуть первым белый шар (без учета, что уже вытянут вторым белый), тогда $$P(H_{1})=\frac{7}{11}$$

   Пусть $$P(H_{2})$$ - вероятность вытянуть первым черный шар (без учета, что уже вытянут вторым белый), тогда $$P(H_{2})=\frac{4}{11}$$

   Пусть $$P(A/H_{1})$$ - вероятность вытянуть вторым белый шар после первого белого, тогда $$P(A/H_{1})=\frac{6}{10}$$

   Пусть $$P(A/H_{2})$$ - вероятность вытянуть вторым белый шар после первого черного, тогда $$P(A/H_{2})=\frac{7}{10}$$

   Тогда вероятность вытянуть вторым белый шар $$P(A)=P(H_{1})*P(A/H_{1})+P(H_{2})*P(A/H_{2})=$$$$\frac{7}{11}*\frac{6}{10}+\frac{4}{11}*\frac{7}{10}=\frac{7}{11}$$

   По формуле Байеса, вероятность получить белый шар при первом вытягивании (при учете, что вторым точно был вытянут белый) составит: $$P(H_{1}/A)=P(H_{1})*P(A/H_{1}):P(A)=\frac{\frac{7}{11}*\frac{6}{10}}{\frac{7}{11}}=0,6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

На рисунке изображены графики функций вида $$y=ax^{2}+bx+c$$. Пусть D – дискриминант квадратного трёхчлена $$ax^{2}+bx+c$$. Установите соответствие между графиками знаками c и D.

  1. $$c<0, D<0$$
  2. $$c<0, D>0$$
  3. $$c>0, D<0$$
  4. $$c>0, D>0$$

 

Ответ: 234
Скрыть

Учтем, что если D<0, то у графика нет пересечений с осью Ох, D>0 - два пересечения. Если с>0, то ось Оу пересекает над Ох, если с<0, то под Ох. Тогда:

А) D>0, c<0 - 2
Б) D<0, c>0 - 3
В) D>0, c>0 - 4
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите сумму всех натуральных чётных двузначных чисел, делящихся на 3.
Ответ: 810
Скрыть Первое натуральное четное двузначное число, делящееся на 3: 12, последнее: 96. Следующее, получим путем прибавления к данному 6 и тд. То есть имеем арифметическую прогрессию, c $$a_{1}=12, a_{n}=96, d=6$$. Найдем n: $$96=12+6(n-1)\Leftrightarrow$$$$n=15$$ Тогда сумма первых 15ти членов: $$S_{15}=\frac{12+96}{2}*15=810$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Найдите значение выражение $$(\frac{x^{2}-5x+6}{x^{3}-2x^{2}}:\frac{x+5y}{x^{3}-25xy^{2}})\cdot \frac{2x}{x-3}$$, при $$x=7-5\sqrt{29}$$, $$y=3-\sqrt{29}$$
Ответ: -16
Скрыть $$(\frac{x^{2}-5x+6}{x^{3}-2x^{2}}:\frac{x+5y}{x^{3}-25xy^{2}})\cdot \frac{2x}{x-3}=$$$$(\frac{(x-2)(x-3)}{x^{2}(x-2)}*\frac{x(x-5y)(x+5y)}{x+5y})\cdot \frac{2x}{x-3}=$$$$2(x-5y)=$$$$2(7-5\sqrt{29}-15+5\sqrt{29})=-16$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Длина биссектрисы треугольника, проведённой к стороне длиной $$a$$, равна, где $$l_{a}=\frac{2bc\cos \frac{\alpha}{2}}{b+c}$$, где b и с – длины сторон треугольника, $$\alpha$$ – угол, противолежащий стороне длиной a. Пользуясь этой формулой, найдите b , если $$\cos \frac{\alpha}{2}=0,7$$, $$c=5$$, $$l_{a}=2,625$$

Ответ: 3
Скрыть Подставим имеющиеся значения: $$2,625=\frac{2*b*5*0,7}{b+5}\Leftrightarrow$$$$2\frac{5}{8}=\frac{7b}{b+5}\Leftrightarrow$$$$\frac{21}{8}=\frac{7b}{b+5}\Leftrightarrow$$$$21b+105=56b\Leftrightarrow$$$$b=3$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Укажите решение системы неравенств $$\left\{\begin{matrix}(-x^2-25)(x^{2}-16)>0\\\frac{x+5}{3-x}\leq 0 \end{matrix}\right.$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В треугольнике ABC с внутренними углами $$\angle A=56^{\circ}$$ и $$\angle B=56^{\circ}$$ на продолжении стороны AC за точку C отмечена точка D так, что BC=CD . Найдите градусную меру угла CBD.

Ответ: 40,5
Скрыть Найдем угол C в треугольнике ABC: $$\angle C=180-56-43=81$$ При этом угол С является внешним для треугольника BCD, который является равнобедренным. То есть сумма углов при основании у него равна углу С, тогда каждый из углов составит половину от С, или 40,5
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Площадь треугольника ABC с внутренними углами $$\angle C=90^{\circ}$$ и $$\angle B=90^{\circ}$$ равна $$32\sqrt{3}$$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Ответ: 8
Скрыть Пусть гипотенуза равна 2х, тогда катет, лежащий на против угла в 30 градусов будет х. А второй катет по теореме Пифагора: $$\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$$ Площадь треугольника тогда $$\frac{1}{2}x*\sqrt{3}x=32\sqrt{3}\Leftrightarrow$$$$x=8$$ При этом радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то есть 8
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите площадь прямоугольной трапеции, одна из боковых сторон которой равна 7, а радиус окружности, вписанной в эту трапецию, равен 3.

Ответ: 39
Скрыть Если дана прямоугольная трапеция,в которую вписана окружность, то диаметр окружности равен высоте трапеции, которая так же является боковой стороной, то есть боковая сторона, перпендикулярная основаниям, равна 6. Так как окружность вписана, то сумма противоположных сторон трапеции равна, то есть сумма оснований так же 6+7=13 Тогда площадь трапеции: $$S=\frac{13}{2}*6=39$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Найдите площадь квадрата, изображённого на рисунке.

Ответ: 68
Скрыть Найдем сторону квадрата по теореме Пифагора: $$c=\sqrt{(8-0)^{2}+(2-0)^{2}}=\sqrt{68}$$ Тогда площадь его составит: $$S=c^{2}=68$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 20

Какие из следующих утверждений равны?

  1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  2. Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны и равны 3 и 5, то площадь этого четырёхугольника равна 7,5.
  3. Площадь трапеции равна половине произведения средней линии и высоты этой трапеции
Ответ: 12
Скрыть
  1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны - верно
  2. Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны и равны 3 и 5, то площадь этого четырёхугольника равна 7,5 - верно, так как площащдь четырехугольника можно вычислить как половину произведения длин его диагоналей на синус угла между ними
  3. Площадь трапеции равна половине произведения средней линии и высоты этой трапеции - нет, произведению средней линии на высоту

В ответе запишем 12

Аналоги к этому заданию:

Задание 21

Решите неравенство $$\frac{(x-2)(x^{2}-4)-(7+x-x^{2})(x^{2}-4)}{x^{4}-81}\geq 0$$
Ответ:
Скрыть

ОДЗ: $$x^{4}-81\neq0$$ $$\Rightarrow$$ $$x^{4}\neq81$$ $$\Rightarrow$$ $$x\neq\pm3$$

Решение: $$\frac{(x^{2}-4)(x-2-7-x+x^{2})}{(x^{2}-9)(x^{2}+9)}\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x-2)(x+2)(x^{2}-9)}{(x^{2}-9)(^{2}+9)}\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x-2)(x+2)}{x^{2}+9}\geq0$$ $$\Rightarrow$$ $$(x-2)(x+2)\geq0$$ $$\Rightarrow$$ $$x\in(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$$

С учетом ОДЗ: $$x\in(-\infty;-3)\cup(-3;-2]\cup[2;3)\cup(3;+\infty)$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 22

В солёную воду с содержанием соли 5% добавили 1 кг солёной воды с содержанием соли 10% и тщательно перемешали. Затем в полученную смесь добавили 2 кг солёной воды с содержанием соли 15%. Далее выпарили всю воду. Получилось 750 грамм соли. Сколько кг солёной воды было первоначально? Все процентные содержания соли даны по массе.

Ответ: 7
Скрыть

Пусть $$x$$кг - масса первоначального раствора. Тогда смеси в нем $$0,05x$$кг. Соли во втором и третьем растворах: $$0,1\cdot1$$кг и $$0,15\cdot2$$кг. Масса итогового раствора: $$(x+1+2)$$кг, а соли в нем $$0,75$$кг. Получим: $$0,05x+0,1+0,3=0,75$$ $$\Rightarrow$$ $$0,05x=0,35$$ $$\Rightarrow$$ $$x=7$$ кг

Аналоги к этому заданию:

Задание 23

Постройте график функции $$y=|x^{2}-4|x|-5|$$ . Найдите все значения p, при которых прямая $$y=p$$ имеет с графиком функции ровно шесть общих точек.

Ответ:
Скрыть

Раскроем модули: $$y=\left\{\begin{matrix}|x^{2}-4x-5|,x\geq0(1)&\\|x^{2}+4x-5|,x<0(2)&\end{matrix}\right.$$ 

$$(1)$$, если взять параболу $$y=x^{2}-4x-5$$ и симметрично отобразить относительно $$Ox$$ ту часть, которя располагается под $$Ox$$, то получим $$y=|x^{2}-4x-5|$$. Аналогично для $$(2)$$

Найдем вершины парабол (до отображения)

$$(1)$$: $$x_{0}=-\frac{-4}{2}=2$$ $$\Rightarrow$$ $$y_{0}=2^{2}-4\cdot2-5=-9$$

$$(2)$$: $$x_{0}=-\frac{4}{2}=-2$$ $$\Rightarrow$$ $$y_{0}=(-2)^{2}+4\cdot(-2)-5=-9$$

Начертим графики и учтем симметрию и ограничения по $$x$$.

$$y=p$$ - прямая, параллельная $$Ox$$, проходящая через ординату $$p$$ $$\Rightarrow$$ 6 точек общих при $$p\in(5;9)$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 24

В окружность радиуса 3 вписана равнобедренная трапеция с углом 45 при основании и высотой, равной $$\sqrt{2}$$ . Найдите площадь этой трапеции

Ответ:
Скрыть

1) Пусть $$BH$$ и $$CM$$ высоты, тогда в $$\bigtriangleup ABH$$: $$\angle ABH=90^{\circ}-\angle=45^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$AH=HB=\sqrt{2}$$; аналогично $$CM=MD=\sqrt{2}$$

2) $$\bigtriangleup ABD$$ - вписан $$\Rightarrow$$ $$\frac{BD}{\sin A}=2\cdot2$$ $$\Rightarrow$$ $$BD=2\cdot R\sin A=2\cdot3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$$

3) По т. Пифагора из $$\bigtriangleup BDH$$: $$HD=\sqrt{BD^{2}-BH^{2}}=4$$ $$\Rightarrow$$ $$HM=BC=4-\sqrt{2}$$

4) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH=\frac{4-\sqrt{2}+4+\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 25

Дан треугольник ABC . На сторонах AB и BC построены внешним образом квадраты ABMN и BCPQ . Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков MQ и AC образуют квадрат.

Ответ:
Скрыть

1) $$FD=DQ$$; $$MF=FA$$ $$\Rightarrow$$ $$FD$$ - средняя линия $$\bigtriangleup AQM$$ $$FD=\frac{1}{2}AQ$$ и $$FD\parallel AQ$$; $$EC_{1}=FD$$ (из $$\bigtriangleup AQC$$)

2) Аналогично п.1: $$FE=\frac{1}{2}MC=DG$$ и $$EG\parallel FD$$; $$FE\parallel MC\parallel DG$$ из $$\bigtriangleup MAC$$ и $$\bigtriangleup MQC$$

3) $$MB=BA$$; $$BC=BQ$$ (стороны квадратов); $$\angle MBC=90^{\circ}+\angle ABC$$; $$\angle QBA=90^{\circ}+ABC$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle MBC=\angle QBA$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup MBC=\bigtriangleup ABQ$$ $$\Rightarrow$$ $$MC=AQ$$ $$\Rightarrow$$ $$FD=DG=GE=FE$$ $$\Rightarrow$$ $$FDGE$$ - ромб

4) $$\angle MLB=\angle ALK$$ - вертикальные; $$\angle MBL=90^{\circ}$$; из $$\bigtriangleup MBC=\bigtriangleup ABQ$$: $$\angle MBL=\angle LAK$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup MBL\sim\bigtriangleup ALK$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle LKA=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$MC\perp AQ$$ $$\Rightarrow$$ $$FD\perp FE$$ $$\Rightarrow$$ $$FDGE$$ - квадрат

Аналоги к этому заданию:

Задание 26

Известно, что $$\angle A=24^{\circ}$$ , $$\angle B=81^{\circ}$$ – внутренние углы треугольника ABC . O – такая точка внутри треугольника, что $$\angle OAB=15^{\circ}$$, $$\angle OBA=69^{\circ}$$. Найдите градусную меру угла OCA .

Ответ:
Скрыть

1) $$\angle OBA=69^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle OBC=81-69=12^{\circ}$$

2) Пусть $$AO\cup BC=P$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle APB=180-(81+15)=84$$

3) Пусть $$a\perp AB$$; $$a\cup AB=B$$; $$a\cup AP=D$$

4) $$\angle DBC=90-81=9^{\circ}$$; $$\angle DAC=424-15=9^{\circ}=\angle DBC$$ $$\Rightarrow$$ $$ABDC$$ можно вписать в окружность $$\Rightarrow$$ $$AD$$ - диаметр

5) Пусть $$O_{2}$$ - ее центр, $$T$$ - центр $$BC$$. Пусть $$TQ=TP$$, $$T$$ - центр $$PQ$$, тогда $$\bigtriangleup O_{2}BC$$ - равнобедренный; $$O_{2}T$$ - высота и медиана $$\Rightarrow$$ $$\angle O_{2}QP=\angle O_{2}PQ=84^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle PO_{2}Q=180-2\cdot84=12^{\circ}=\angle OBQ$$ $$\Rightarrow$$ $$O_{2}OQB$$ - вписан $$\Rightarrow$$ $$PO\cdot PO_{2}=PQ\cdot PB$$

6) из $$\bigtriangleup O_{2}PB$$: $$\frac{BP}{\sin30^{\circ}}=\frac{O_{2}B}{\sin84^{\circ}}$$; из $$\bigtriangleup O_{2}PC$$: $$\frac{PC}{\sin18^{\circ}}=\frac{O_{2}C}{\sin96^{\circ}}$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$$; $$O_{2}B=O_{2}C$$; $$\sin84^{\circ}=\sin96^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BP}{PC}=\frac{\sin30^{\circ}}{\sin18^{\circ}}$$

7) $$\frac{PQ}{PC}=\frac{PB-QB}{QB}=\frac{PB}{PQ}-1=\frac{PB}{PC}-1=\frac{2}{\sqrt{5}-1}-1=$$ $$=\frac{2-\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}=\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{PC}{PB}$$

8) $$\frac{PC}{PB}=\frac{PQ}{PC}$$ $$\Rightarrow$$ $$PC^{2}=PQ\cdot PB=PO\cdot PO_{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{PO}{PC}=\frac{PC}{PO_{2}}$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup PCO\sim\bigtriangleup PO_{2}C$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle PCO=\angle PO_{2}C=18^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle O_{2}CA=75-18=57^{\circ}$$