Перейти к основному содержанию

ОГЭ математика 2019. Разбор варианта Алекса Ларина № 215.

Решаем ОГЭ 215 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 215 (alexlarin.com)

Решаем ОГЭ 215 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 215 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Найдите значение выражения $$18\cdot (\frac{1}{3})^{2}-5\frac{1}{3}$$

Ответ: -3,2
Скрыть

$$18\cdot (\frac{1}{3})^{2}-5\frac{1}{3}=$$$$18\cdot \frac{1}{9}-5,2=$$$$2-5,2=-3,2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления (в г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми.

Вещество Дети от 1 года до 14 лет Мужчины Женщины
Жиры 40–97 70–154 60–102
Белки 36–87 65–117 58–87
Углеводы 170–420 257–586

Какой вывод о суточном потреблении жиров, белков и углеводов 13-летней девочкой можно сделать, если по подсчётам диетолога в среднем за сутки она потребляет 45 г жиров, 60 г белков и 150 г углеводов? В ответе укажите номера верных утверждений.

  1. Потребление жиров в норме.
  2. Потребление белков в норме.
  3. Потребление углеводов в норме
Ответ: 12
Скрыть
  1. Потребление жиров в норме - верно, так как $$45\in [40;97]$$
  2. Потребление белков в норме - верно, так как $$60\in [36;87]$$
  3. Потребление углеводов в норме - неверно, так как $$150\in [170;420]$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Одно из чисел, $$\sqrt{5}$$, $$\sqrt{8}$$, $$\sqrt{11}$$, $$\sqrt{14}$$ отмечено на прямой, точкой А. Какое это число?

Варианты ответа:

  1. $$\sqrt{5}$$
  2. $$\sqrt{8}$$
  3. $$\sqrt{11}$$
  4. $$\sqrt{14}$$
Ответ: 1
Скрыть

$$A\in (2;3)$$, то есть $$A\in (\sqrt{4};\sqrt{9})$$. То есть это либо $$\sqrt{5}$$, либо $$\sqrt{8}$$. Так как А ближе к 2, то, следовательно, это $$\sqrt{5}$$, что соответствует 1 варианту ответа

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Сколько целых чисел расположено между числами $$-\sqrt{50}$$ и $$-\sqrt{8}$$

Ответ: 5
Скрыть

$$-\sqrt{50}\in (-8;-7)$$ и $$-\sqrt{8}\in (-3;-2)$$. Следовательно, целые числа между ними: -7;-6;-5;-4;-3 - всего 5 чисел

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

При резком торможении расстояние, пройденное автомобилем до полной остановки (тормозной путь), зависит от скорости, с которой автомобиль двигался. На рисунке показан график этой зависимости. По горизонтальной оси откладывается скорость в километрах в час, по вертикальной — тормозной путь в метрах. Определите по графику, каким будет тормозной путь автомобиля, который двигается со скоростью 70 км/ч. Ответ дайте в метрах.

Ответ: 50
Скрыть

Значению скорости в 70 км/ч соответствует значение тормозного пути в 50 метров

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Решите уравнение $$\frac{x+7}{5}-\frac{x-2}{3}=1$$

Ответ: 8
Скрыть

$$\frac{x+7}{5}-\frac{x-2}{3}=1\Leftrightarrow$$$$3x+21-5(x-2)=1*5*3\Leftrightarrow$$$$3x+21-5x+10=15\Leftrightarrow$$$$-2x=-16\Leftrightarrow$$$$x=8$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Средний вес мальчиков того же возраста, что и Гоша, равен 66 кг. Вес Гоши составляет 120% среднего веса. Сколько килограммов весит Гоша?

Ответ: 79,2
Скрыть

Примем средний вес мальчиков за 100%, вес Гоши х кг. Составим пропорцию:

66 кг - 100%
х кг - 120%

Тогда $$x=\frac{66*120}{100}=79,2$$ кг

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Завуч подвёл итоги контрольной работы по математике в 9-х классах. Результаты представлены на диаграмме. Какие из утверждений относительно результатов контрольной работы верны, если всего в школе 120 девятиклассников?

  1. Более половины девятиклассников получили отметку «3».
  2. Около половины девятиклассников отсутствовали на контрольной работе.
  3. Отметку «4» или «5» получила примерно треть девятиклассников.
  4. Отметку «3», «4» или «5» получили менее 100 учащихся.
Ответ: 14
Скрыть
  1. Более половины девятиклассников получили отметку «3» - верно
  2. Около половины девятиклассников отсутствовали на контрольной работе - неверно
  3. Отметку «4» или «5» получила примерно треть девятиклассников - неверно
  4. Отметку «3», «4» или «5» получили менее 100 учащихся - верно
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах.

Ответ: 0,25
Скрыть

Пусть одна из девочек заняла какой-либо стул. Рядом с ним находятся два стула. При этом осталась одна девочка и семь мальчиков следовательно, вероятность того, что девочка займет один из стульев рядом : $$P=\frac{1}{8}=0,125$$ (1 девочка из 8 детей). Но так как стульев два, то вероятность того, что девочки будут сидеть рядом: $$0,125*2=0,25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

Варианты ответа

  1. $$y=x^{2}+4x-5$$ 
  2. $$y=-x^{2}-4x-5$$
  3. $$y=x^{2}-4x-5$$
  4. $$y=-x^{2}+4x-5$$
Ответ: 3
Скрыть

Ветви параболы направлены вверх, следовательно, коэффициент $$a$$ при $$x^{2}$$ положительный, то есть или 1 или 3 вариант ответа. При этом вершина параболы находится справа от 0, то есть абсцисса ее положительная $$x_{0}>0$$. Найдем абсциссу вершины для 1 и 3 варианта:
$$x_{0}=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2$$
$$x_{0}=-\frac{-4}{2}=2$$ - абсцисса положительная, следовательно, это и является ответом.

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии, заданной формулой $$a_{n}=0,3n+5$$

Ответ: 66,5
Скрыть

Найдем первый член прогрессии: $$a_{1}=0,3*1+5=5,3$$
Найдем десятый член прогрессии: $$a_{10}=0,3*10+5=8$$
Найдем сумму первых десяти членов: $$S_{10}=\frac{5,3+8}{2}*10=66,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите значение выражения $$(a+\frac{1}{a}+2)\cdot \frac{1}{a+1}$$, при $$a=-5$$

Ответ: 0,8
Скрыть

$$(a+\frac{1}{a}+2)\cdot \frac{1}{a+1}=$$$$\frac{a^{2}+2a+1}{a}\cdot \frac{1}{a+1}=$$$$\frac{(a+1)^{2}}{a}\cdot \frac{1}{a+1}=$$$$\frac{a+1}{a}=$$$$\frac{-5+1}{-5}=0,8$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле $$a=\omega ^{2}R$$, где $$\omega$$ — угловая скорость (в с-1), а R — радиус окружности. Пользуясь этой формулой, найдите расстояние R (в метрах), если угловая скорость равна 5 с-1, а центростремительное ускорение равно 100 м/с2 .

Ответ: 4
Скрыть

Выразим из формулы расстояние: $$R=\frac{a}{\omega^{2}}$$
Найдем значение расстояния: $$R=\frac{100}{5^{2}}=4$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Найдите сумму наибольшего целого и наименьшего целого решения системы $$\left\{\begin{matrix}2x+5<3x+7\\ 5x-3\leq 4x+3\end{matrix}\right.$$

Ответ: 5
Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}2x+5<3x+7\\ 5x-3\leq 4x+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}5-7<3x-2x\\ 5x-4x\leq 3+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x>-2\\ x\leq 6\end{matrix}\right.$$
Так как первое неравенство строгое, то -2 в ответ не входит, следовательно, наименьшее целое будет -1. Наибольше же целое составляет 6. Тогда их сумма : $$-1+6=5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Лестница соединяет точки A и B. Высота каждой ступени равна 30 см, а длина — 40 см.Расстояние между точками A и B составляет 7,5 м. Найдите высоту, на которую поднимается лестница (в метрах).

Ответ: 4,5
Скрыть

Найдем диагональ одной ступеньки: $$\sqrt{30^{2}+40^{2}}=50$$ см, что составляет 0,5 метра. Тогда количество ступенек составляет : $$\frac{7,5}{0,5}=15$$ штук. Следовательно, высота лестницы составит: $$15*30=450$$ см, что равно 4,5 метров

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В треугольнике ABC известно, что AB=BC, ∠ABC=104°. Найдите ∠BCA. Ответ дайте в градусах

Ответ: 38
Скрыть

Так как дан равнобедренный треугольник, то $$\angle A=\angle C$$. Тогда $$\angle C=\frac{180-\angle B}{2}=\frac{180-104}{2}=38$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Основания равнобедренной трапеции равны 62 и 92, боковая сторона равна 39. Найдите длину диагонали трапеции.

Ответ: 85
Скрыть
  1. Опустим высоты BH и CM. Тогда AH=MD, BC=HM ($$\Delta ABH=\Delta CMD$$ по катету и гипотенузе)
  2. $$AH=MD=\frac{AD-BC}{2}=15$$, тогда $$AM=15+62=77$$
  3. Из $$\Delta CMD$$: $$CM=\sqrt{CD^{2}-MD^{2}}=36$$
  4. Из $$\Delta ACM$$: $$AC=\sqrt{AM^{2}+CM^{2}}=85$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Площадь ромба равна 15, а периметр равен 20. Найдите высоту ромба.

Ответ: 3
Скрыть

Найдем сторону ромба: $$a=\frac{P}{4}=5$$
Найдем высоту ромба: $$h=\frac{S}{a}=3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

Ответ: 0,6
Скрыть

$$tg AOB=\frac{3}{5}=0,6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 20

Какие из следующих утверждений верны?

  1. Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.
  2. Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
  3. В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов

Ответ: 2
Скрыть
  1. Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту - неверно, так как равна половине произведения суммы оснований на высоту
  2. Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон - верно, так как по формуле идет половина произведения сторон, на синус угла между ними, а максимальное значение синуса равно 1, следовательно, площадь треугольника минимум в два раза меньше произведения его сторон
  3. В любой четырёхугольник можно вписать окружность - неверно, только тот, у которого сумма противоположных сторон равна
Аналоги к этому заданию:

Задание 21

Решите уравнение $$(x^{2}-16)^{2}+(x^{2}+3x-4)^{2}=0$$

Ответ: -4
Скрыть

Так как дана сумма двух квадратов, и каждый из них число неотрицательное, то ноль в сумме будет лишь в том случае, когда оба слагаемых одновременно равны 0:
$$\left\{\begin{matrix}x^{2}-16=0\\x^{2}+3x-4=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm 4\\x_{1}=-4; x_{2}=1\end{matrix}\right.$$
Как видим, -4 является корнем в обоих случаях, следовательно, это и будет корнем начального уравнения

Аналоги к этому заданию:

Задание 22

Бассейн наполняется из двух труб за 7,5 часов. Если открыть только первую трубу, то бассейн наполнится на 8 часов быстрее, чем если открыть только вторую трубу. Сколько времени будет наполнятся бассейн второй трубой?

Ответ: 20
Скрыть

Пусть х (частей бассейна в час) - производительность первой трубы, y - второй, 1 - весь объем бассейна. Тогда, время совместного наполнения бассейна находится как: $$\frac{1}{x+y}=7,5$$. Время наполнения только второй $$\frac{1}{y}$$, первой $$\frac{1}{x}$$.

Тогда: $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x+y}=7,5\\\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=8 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}15(x+y)=2\\\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=8 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{2-15y}{15}\\\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=8\end{matrix}\right.$$ Подставим во второе уравнение: $$\frac{1}{y}-\frac{15}{2-15y}=8\Leftrightarrow$$$$2-15y-15y=16y-120y^{2}\Leftrightarrow$$$$60y^{2}-23y+1=0$$

$$D=529-240=17^{2}$$
$$y_{1}=\frac{23+17}{120}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$$$x=\frac{2-15*\frac{1}{3}}{15}<0$$
$$y_{2}=\frac{23-7}{120}=\frac{1}{20}\Rightarrow$$$$t=\frac{1}{\frac{1}{20}}=20$$ часов
Аналоги к этому заданию:

Задание 23

Постройте график функции $$y=x^{2}-5x+10-3|x-2|$$ и определите, при каких значениях а прямая y=а+3 будет иметь с графиком три общие точки.

Ответ: 0;1
Скрыть

   Расскароем модуль: 

   $$\left\{\begin{matrix}x-2\geq 0\Rightarrow y=x^{2}+5x+10-3x+6\\x-2< 0\Rightarrow y=x^{2}+5x+10+3x-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}y=x^{2}-8x+16=(x-4)^{2},x\geq 0(1)\\y=x^{2}-2x+4, x<0(2)\end{matrix}\right.$$

   В случае (1) дана парабола, ветви которой направлены вниз, получается она путем сдвига параболы вида $$y=x^{2}$$ на 4 единицы вправо по Ох.

   В случае (2): найдем вершину: $$x_{0}=-\frac{-2}{2}=1$$, тогда $$y_{0}=1^{2}-2*1+4=3$$

   Начертим оба графика:

   Видим, что прямая $$y=a+3$$ будет иметь с графиком три общие точки в том случае, когда $$a+3=4\Leftrightarrow a=1$$ и $$a+3=3\Leftrightarrow a=0$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 24

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на основание равна 10 см, а высота, опущенная на боковую сторону равна 12 см.

Ответ: 75
Скрыть

     1) Опустим высоту BH и высоту AM=12. Так как треугольник равнобедренный, то AH=HC=x. Пусть BC=y. Тогда из треугольника BHC: $$BH^{2}+HC^{2}=BC^{2}$$.

     2) другой стороны из площади треугольника через его сторону и проведенную к ней высоту получим : $$BH*AC=AM*BC$$. Тогда: $$\left\{\begin{matrix}10^{2}+x^{2}=y^{2}\\10*2x=12*y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}10^{2}+x^{2}=(\frac{5x}{3})^{2}\\ y=\frac{5x}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$900+9x^{2}=25x^{2}\Rightarrow$$ $$x=7,5$$

     3) Площадь треугольника в таком случае: $$S=\frac{1}{2}AC*BH=\frac{1}{2}*2*7,5*10=75$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 25

Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке О, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка О равноудалена от прямых АВ, ВС и CD

Ответ:
Скрыть

     1) Пусть OH, OM и OK - расстояния до AB, BC и CD соответственно. 

     2) Для угла ABC: OH=OM по свойству биссектрисы. Аналогично для угла DCB: OK=OM. Следовательно, OH=OK=OM

Аналоги к этому заданию:

Задание 26

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник АВС касается катетов АС и ВС в точках L и K соответственно. АL = 12 см, ВК = 8 см. Найдите площадь треугольника ВОМ, где О – центр вписанной в треугольник окружности, М – точка пересечения медиан треугольника АВС.

Ответ: $$\frac{16}{3}$$
Скрыть

   1) Пусть окружжность окружность касается AB в точке H. По свойству касательных: CL=CK=x, KB=BH=8, AL=AH=12. Тогда AC=12+x, BC=8+x, AB=20. Тогда по теореме Пифагора: $$(12+x)^{2}+(8+x)^{2}=20^{2}\Leftrightarrow$$$$x=4$$

   2) Так как $$OK\perp BC, OL\perp AC$$ (радиус проведенный в точку касания) и $$OK=OL$$, то CLOK - квадрат, следовательно, OK=4

   3) Пусть OB пересекает AC в точке R, тогда треугольники RCB и OKB подобны (прямоугольные с общим острым углом) и $$\frac{RC}{OK}=\frac{CB}{KB}=\frac{3}{2}$$. Тогда RC=6

   4) $$S_{RCB}=\frac{1}{2}RC*CB=36$$, $$S_{DCB}=\frac{1}{2}DC*CB=48$$, тогда $$S_{DRB}=48-36=12$$

   5) $$\frac{DM}{MB}=\frac{1}{2}$$ (по свойству медианы), но из подобия RCB и OKB: $$\frac{RO}{OB}=\frac{1}{2}$$, а так как угол DBR - общий, то треугольники MOB и DRB - подобны, и $$S_{MOB}=(\frac{MB}{DB})^{2}S_{DRB}=(\frac{2}{3})^{2}*12=\frac{16}{3}$$