Перейти к основному содержанию

ОГЭ математика 2019. Разбор варианта Алекса Ларина № 209.

Решаем ОГЭ 209 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 209 (alexlarin.com)

Решаем ОГЭ 209 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 209 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Найдите значение выражения $$\frac{5,6*10^{7}}{7*10^{9}}$$

Ответ: 0,008
Скрыть

$$\frac{5,6*10^{7}}{7* 10^{9}}=$$$$\frac{56*10^{6}}{7*10^{9}}=$$$$\frac{8}{10^{3}}=0,008$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

Маша измеряла в течение недели время, которое она тратила на дорогу до школы, а результаты записывала в таблицу.

День недели Пн Вт Ср Чт Пт Сб
Время (мин.) 25 33 22 24 34 24

Сколько минут в среднем занимает у Маши дорога до школы?

Ответ: 27
Скрыть

Чтобы найти среднее время, надо все время просуммировать и поделить на количество: $$t=\frac{25+33+22+24+34+24}{6}=27$$ минут

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Одно из чисел, $$\sqrt{5}$$, $$\sqrt{8}$$, $$\sqrt{12}$$, $$\sqrt{15}$$ отмечено на прямой, точкой А. Какое это число? Варианты ответа

  1. $$\sqrt{5}$$ 
  2. $$\sqrt{8}$$
  3. $$\sqrt{12}$$
  4. $$\sqrt{15}$$
Ответ: 1
Скрыть

Число А расположено между 2 и 3, или $$\sqrt{4}$$ и $$\sqrt{9}$$. Ближе оно к $$2(\sqrt{4})$$, следовательно, равно $$\sqrt{5}$$ или 1 варианту ответа.

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt{90}\sqrt{320}}{\sqrt{2}}$$

Ответ: 120
Скрыть

$$\frac{\sqrt{90}*\sqrt{320}}{\sqrt{2}}=$$$$\sqrt{\frac{90*320}{2}}=$$$$\sqrt{9*16*100}=3*4*10=120$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Андрей и Иван соревновались в 50-метровом бассейне на дистанции 100 м. Графики их заплывов показаны на рисунке. По горизонтальной оси отложено время, а по вертикальной – расстояние пловца от старта. Кто быстрее проплыл первую половину дистанции? В ответе запишите, на сколько секунд быстрее он проплыл первую половину дистанции.

Ответ: 20
Скрыть

Первую половину (50 метров) проплыл быстрее Андреем (за 40 с ); Иван проплыл за 60 секунд. Разница во времени: 60-40=20 секунд.

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Решите уравнение $$\frac{3}{1+x}=\frac{1}{5-2x}$$

Ответ: 2
Скрыть

$$\frac{3}{1+x}=\frac{1}{5-2x}\Leftrightarrow$$ $$3(5-2x)=1*(1+x)15-6x=1+x\Leftrightarrow$$ $$-6x-x=1-15\Leftrightarrow$$ $$-7x=-14\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{-14}{-7}=2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Куртка стоила 2800 рублей. После снижения цены она стала стоить 2380 рублей. На сколько процентов была снижена цена на куртку?

Ответ: 15
Скрыть

Изменение цены составило 2800-2380=420 рублей. Предварительная цена-100% .

2800-100%
420-х%

Тогда , $$x=\frac{420*100}{2800}=15$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

На диаграмме показан возрастной состав населения Китая. Сколько примерно людей младше 14 лет проживает в Китае, если население Китая составляет 1,3 млрд людей?

Варианты ответа

  1. около 100 млн
  2. около 260 млн
  3. около 325 млн
  4. около 150 млн
Ответ: 2
Скрыть

Сегмент, соответствующий категории населения, «младше 14 лет» составляет примерно $$\frac{1}{5}$$ от круга (или 1300 млн). Тогда количество будет $$\frac{1300}{5}=260$$ млн. , что соответствует 2 варианту.

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

В магазине канцтоваров продаётся 138 ручек, из них 34 красные, 23 зелёные, 11 фиолетовые, ещё есть синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что при случайном выборе одной ручки будет выбрана красная или чёрная ручка.

Ответ: 0,5
Скрыть

Найдем количество черных: $$n=\frac{138-(34+23+11)}{2}=35$$. Черных и красных всего: $$m=35+34=69$$, тогда вероятность составит: $$P=\frac{69}{138}=0,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

На рисунке изображён график функции $$y=ax^{2}+bx+c$$ . Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения удовлетворяются.

УТВЕРЖДЕНИЯ 

А)Функция возрастает на промежутке
Б) Функция убывает на промежутке

ПРОМЕЖУТКИ

  1. [-3; 3] 
  2. [0; 3] 
  3. [−3;−1] 
  4. [−3; 0]
Ответ: 23
Скрыть

Функция возрастает на $$(0,5; +\infty )$$ и убывает на $$(-\infty ; -0,5)$$. При этом $$[0 ;3] \in (-0,5 ;+\infty )$$ и $$[-3; -1] \in (-\infty;-0,5)$$$$\Rightarrow$$ $$A2; B3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна 3,5, a1 = - 4,5. Найдите a15.

Ответ: 44,5
Скрыть

Воспользуемся формулой нахождения n-го члена арифметической прогрессии :
$$a_{n}=a_{1}+d(n-1)\Rightarrow$$ $$a_{15}=-4,5+3,5*(15-1)=44,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Упростите выражение $$\frac{x+3}{x^{2}+2x}-\frac{1+x}{x^{2}-4}$$ и найдите его значение при х=3.

Ответ: -0,4
Скрыть

$$\frac{x+3}{x^{2}+2x}-\frac{1+x}{x^{2}-4}=$$$$\frac{x+3}{x(x+2)}-\frac{x+1}{(x-2)(x+2)}=$$$$\frac{(x+3)(x-2)-(x(x+1))}{x(x-2)(x+2)}=$$$$\frac{x^{2}+x-6-x^{2}-x}{x(x-2)(x+2)}=$$$$-\frac{6}{x(x-2)(x+2)}=\frac{-6}{3(3-1)(3+2)}=$$$$-\frac{2}{5}=-0,4$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $$S=\frac{d_{1}d_{2}\sin \alpha}{2}$$, d1, d2, - длины диагоналей четырёхугольника, $$\alpha$$ - угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой найдите длину диагонали d, если $$\sin \alpha=\frac{1}{2}, S=14$$

Ответ: 7
Скрыть

Выразим из формулы: $$d_{2}=\frac{2S}{d_{1} \sin \alpha }\Rightarrow$$ $$d_{2}=\frac{*14}{8*\frac{1}{2}}=\frac{4*14}{8}=7$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

На каком рисунке изображено множество решений неравенства $$9-3(x+2)>4-x$$

Ответ: 2
Скрыть

$$9-3(x+2)>4-x\Leftrightarrow$$ $$9-3x-6-4+x>0\Leftrightarrow$$ $$-2x-1>0\Leftrightarrow$$ $$-2x>1\Leftrightarrow$$ $$x

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

От столба к дому натянут провод длиной 10 м, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 8 м. Ответ дайте в метрах.

Ответ: 9
Скрыть

1) Проведем $$BM\perp AD \Rightarrow$$ $$DM=BC=3$$; $$BM=CD=8$$
2) По т. Пифагора из $$\Delta ABM$$ : $$AM=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=6$$
3) $$AD=AM+MD=6+3=9$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 70. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 20
Скрыть

1) $$\angle K=90$$ (по свойству радиус в точку касания) $$\Rightarrow$$ $$\angle OKM=90-70=20$$

2) $$OK=OM$$ – радиусы $$\Rightarrow$$ $$\Delta OMK$$ - равнобедренный и $$\angle OMK=\angle OKM=20$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке:

Ответ: 1290
Скрыть

$$S=\frac{1}{2} ah$$ , где a-сторона треугольника , h- высота к ней проведенная $$\Rightarrow$$ $$S=\frac{1}{2}(32+11)*60=1290$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 12, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.

Ответ: 6
Скрыть

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны $$\Rightarrow$$ сумма оснований равна 12.Средняя линия равна полусумме оснований $$\Rightarrow$$ 6

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 67,5
Скрыть

$$\angle ABC=\frac{1}{2} \angle AOC$$( вписанный равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу) $$\Rightarrow$$ $$\angle ABC=\frac{135}{2}=67,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 20

Какие из следующих утверждений верны?

  1. Смежные углы равны.
  2. Площадь прямоугольника равна произведению его диагоналей.
  3. Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов

Ответ: 3
Скрыть

1) нет, в сумме даны 180
2) нет, умноженную на синус угла между ними
3) верно.

Аналоги к этому заданию:

Задание 21

Решите систему уравнений $$\left\{\begin{matrix}(x-1)(y-1)=1\\x^2y+xy^2=16 \end{matrix}\right.$$

Ответ:
Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}(x-1)(y-1)=1\\x^{2}y+xy^{2}=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}xy-x*y+1=1\\xy(x+y)=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}xy-(x+y)=0\\xy(x+y)=16\end{matrix}\right.$$

   Пусть: $$xy=a$$ , $$x+y=b$$

$$\left\{\begin{matrix}x-b=0\\ab=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=b\\a^{2}=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}b=\pm 4\\a=\pm 4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}xy=4\\x+y=4\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}xy=-4\\x+y=-4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}4y-y^{2}-4=0\\x=4-y\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}-4y-y^{2}+4=0\\x=-4-y\end{matrix}\right.\end{matrix}\right. \Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y^{2}-4y+4=0\\x=4-y\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}y^{2}+4y-4=0\\x=-4-y\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y=2\\x=2\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}y=-2+\sqrt{2}\\x=-2-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}y=-2-\sqrt{2}\\x=-2+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

$$y^{2}+4y-4=0$$

$$D=16+16=32$$

$$y_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{32}}{2}=-2\pm \sqrt{2}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 22

Пчёлы перерабатывают цветочный нектар в мёд, освобождая его от воды. Нектар обычно содержит 84% воды, а полученный из него мёд — 20%. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчёлам для получения одного килограмма мёда?

Ответ: 5
Скрыть

     В меде содержится 20% воды, следовательно, 80% чистого нектара. Тогда, в 1 кг меда 1*0,8=0,8 кг чистого нектара. При этом в обычном нектаре 84% воды, следовательно, 16% чистого нектара, тогда:

0,8 кг=16%
x кг -100%

     Получим , что $$x=\frac{0,8*100}{16}=\frac{80}{16}=5$$ кг. нектара нужно обработать.

Аналоги к этому заданию:

Задание 23

Постройте график функции $$y=x^2-5|x|-x$$ и определите, при каких значениях а прямая y=а имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Ответ: $$[-9 ;-4] \cup (0 ;+\infty )$$
Скрыть

     Раскроем модули : $$y=\left\{\begin{matrix}x^{2}-5x-x=x^{2}-6x, x\geq 0(1)\\x^{2}+5x-x=x^{2}+4x, x<0 (2)\end{matrix}\right.$$

     (1): Найдем вершину параболы: $$x_{0}=-\frac{-6}{2}=3\Rightarrow$$ $$y_{0}=3^{2}-6*3=-9$$

     (2): $$x_{0}=-\frac{4}{2}=-2\Rightarrow$$ $$y_{0}=(-2)^{2}+4(-2)=-4$$

     Необходимо найти все а , при которых будет от 1 до 3 общих точек: $$a \in [-9 ;-4] \cup (0 ;+\infty )$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 24

В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 2 см. Найдите площадь трапеции, если длина боковой стороны равна 10 см

Ответ: 40
Скрыть

     1) Пусть O-центр окружности, $$OH\perp BC$$ и $$OM\perp AD$$ (радиусы в точки касания )$$\Rightarrow$$ $$HK=2+2=4$$. Пусть $$CK\left | \right |HM\Rightarrow$$ $$CK=4$$

     2) По свойству описанного четырехугольника : $$AB+CD=BC+AD=20$$

     3) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*CK=\frac{20}{2}*4=40$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 25

Докажите, что расстояние от всякой точки окружности, описанной около равностороннего треугольника, до одной из его вершин равно сумме расстояний от этой точки до двух других вершин.

Ответ:
Скрыть

     1) Докажем , что $$AC*BD=CD*AB+AD*BC$$ (теорема Птолемея). Выберем на AC точку С так , чтобы $$\angle ABD=\angle CBE$$

     2) $$\Delta ABD\sim \Delta BCE$$ ($$\angle ECB=\angle ADB$$ (вписанные на одну дугу) и $$\angle ABD=\angle CBE$$ )$$\Rightarrow$$$$\frac{BC}{EC}=\frac{BD}{AD}\Rightarrow$$ $$BC*AD=EC*BD(1)$$

      3) $$\Delta ABE\sim \Delta BCD$$ ($$\angle CDB=\angle EAB$$; $$\angle ABD=\angle CBE$$ и $$\angle DBE$$ - общий $$\Rightarrow$$ $$\angle EBA=\angle DBC$$)$$\Rightarrow$$ $$\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}\Rightarrow$$ $$AB*CD=AE*BD(2)$$. Сложим (1) и (2): $$AB*CD+BC*AD=$$$$AE*BD+EC*BD=$$$$(AE+EC)BD=AC*BD$$

      4) Пусть $$AB=BC=AC=x$$ , с учетом , что $$AC*BD=CD*AB+AD*BC$$ получим , что $$BD*a=CD*a+BC*a|: a\Rightarrow$$ $$BD=CD+BC$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 26

Одна из боковых сторон трапеции перпендикулярна основаниям и равна 4. На этой стороне как на диаметре построена окружность, которая делит другую боковую сторону на три отрезка. Отношение длин этих отрезков равно 1 : 2 : 2 (считая от верхнего основания). Найдите площадь трапеции.

Ответ: $$\frac{4(2+3\sqrt{6})}{5}$$
Скрыть

     1) Пусть $$ND=MN=2x\Rightarrow$$ $$CM=x$$; $$AB=4$$. Пусть $$CH\left | \right |AB\Rightarrow$$ $$CH=4$$, $$BC=AH=y$$. По т. Пифагора из $$\Delta CDH$$: $$HD=\sqrt{CD^{2}-CH^{2}}=\sqrt{25x^{2}-16}$$

      2) По свойству касательной и секущей : $$\left\{\begin{matrix}BC^{2}=CM*CN\\AD^{2}=DN*DM\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y^{2}=x*3x\\(y+\sqrt{25x^{2}-16})^{2}=2x*4x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y=x\sqrt{3}\\y^{2}+25x^{2}-16+2y\sqrt{25x^{2}-16}=8x^{2}(1)\end{matrix}\right.$$

   Рассмотрим (1): $$25x^{2}+3x^{2}-8x^{2}+2x\sqrt{3}*\sqrt{25x^{2}-16}=16\Leftrightarrow$$$$2 x\sqrt{3}\sqrt{25x^{2}-16}=16-20x^{2}\Leftrightarrow$$$$x\sqrt{3}\sqrt{25x^{2}-16}=8-10x^{2}\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}3x^{2}(15x^{2}-16)=(8-10x^{2})^{2}(2)\\8-10 x^{2}\geq 0(3)\end{matrix}\right.$$

   Рассмотрим (2): $$75x^{4}-8x^{2}=64-160x^{2}+100x^{4}\Leftrightarrow$$ $$25x^{2}-112x^{2}+64=0\Rightarrow$$ $$D=6144=32^{2}*6$$

   Тогда: $$\left\{\begin{matrix}x_{1}^{2}=\frac{112+32\sqrt{6}}{50} \in (3)\\x_{2}^{2}=\frac{112-32\sqrt{6}}{50}=\frac{56-16\sqrt{6}}{25}=(\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5})^{2}\end{matrix}\right.$$

     3) Площадь $$S=\frac{BC+AD}{2}*CH=$$$$\frac{y+y+\sqrt{25x^{2}-16}}{2}*4=$$$$2(2y+\sqrt{25x^{2}-16})$$

   1) $$\sqrt{25x^{2}-16}=\sqrt{25*\frac{56-16\sqrt{6}}{25}-16}=$$$$\sqrt{40-16\sqrt{6}}=\sqrt{(2\sqrt{6}-4)^{2}}=$$$$\left | 2\sqrt{6}-4 \right |=2\sqrt{6}-4$$

   2) $$2y=2*x\sqrt{3}=2\sqrt{3}*\left | \frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5} \right |=$$$$2\sqrt{3}*\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5}=$$$$\frac{24-4\sqrt{6}}{5}$$

   $$S=2(\frac{24-4\sqrt{6}}{5}+2\sqrt{6}-4)=$$$$\frac{2}{5}*(24-4\sqrt{6}+10\sqrt{6}-20)=$$$$\frac{2}{5}(6\sqrt{6}+4)=\frac{4(2+3\sqrt{6})}{5}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 27

Найдите значение выражения $$(\frac{9}{16}+\frac{5}{18}):(2\frac{3}{4})^{2}-3\frac{1}{9}$$

Ответ: -3
Скрыть

$$(\frac{9}{16}+\frac{5}{18}):(2\frac{3}{4})^{2}-3\frac{1}{9}=$$$$\frac{81+40}{2*8*9}*(\frac{4}{11})^{2}-\frac{28}{9}=$$$$\frac{121}{16*9}*\frac{16}{121}-\frac{28}{9}=$$$$\frac{1}{9}-\frac{28}{9}=-3$$