Перейти к основному содержанию

ОГЭ математика 2019. Разбор варианта Алекса Ларина № 202.

Решаем ОГЭ 202 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 202 (alexlarin.com)

Решаем ОГЭ 202 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 202 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Найдите значение выражения: $$(8\frac{11}{12}-9\frac{7}{12}):\frac{2}{9}$$

Ответ: 3
Скрыть

$$(8\frac{11}{12}-9\frac{7}{12}):\frac{2}{9}=$$$$(-1+\frac{4}{12})*\frac{9}{2}=$$$$\frac{8}{12}*\frac{9}{2}=3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления (в г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми.

Вещество Дети от 1 года до 14 лет Мужчины Женщины
Жиры 40–97 70–154 60–102
Белки 36–87 65–117 58–87
Углеводы 170–420 257–586

Какой вывод о суточном потреблении жиров, белков и углеводов мужчиной можно сделать, если по подсчётам диетолога в среднем за сутки он потребляет 150 г жиров, 120 г белков и 611 г углеводов? В ответе укажите номера верных утверждений.

1. Потребление жиров в норме.
2. Потребление белков в норме.
3. Потребление углеводов в норме.
Ответ: 1
Скрыть
  1. Потребление жиров в норме - верно, $$150 \in [70;154]$$
  2. Потребление белков в норме - неверно, $$120 \in [65;117]$$
  3. Потребление углеводов в норме - неверно, $$611\in [257;586]$$

Верен только первый вариант ответа

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Значение какого из данных выражений положительно, если известно, что a>0, b<0?

Варианты ответа

1) ab
2) (a − b)b
3) (b − a)b
4) (b − a)a
Ответ: 3
Скрыть

Пусть a=2, b=-3, тогда

  1. $$ab=2(-3)=-6<0$$
  2. $$(2-(-3))*(-3)=-15<0$$
  3. $$(-3-2)(-3)=15>0$$
  4. $$(-3-2)*2=-10<0$$

Положителен 3 вариант ответа

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Значение какого из данных выражений является рациональным числом?

Варианты ответа

  1. $$\frac{(\sqrt{5})^{3}}{5}$$
  2. $$2\sqrt{2^{5}}$$
  3. $$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{45}}$$
  4. $$\sqrt{2}\cdot \sqrt{12}$$
Ответ: 3
Скрыть
  1. $$\frac{(\sqrt{5})^{3}}{5}=$$$$\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$$ - иррациональное
  2. $$2\sqrt{2^{5}}=$$$$8\sqrt{2}$$ - иррациональное
  3. $$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{45}}=$$$$\frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}$$ - рациональное
  4. $$\sqrt{2}*\sqrt{12}=$$$$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$$ - иррациональное
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

На диаграмме показано количество SMS, присланных слушателями за каждый час четырёхчасового эфира программы по заявкам на радио. Определите, на сколько больше сообщений было прислано за последние два часа программы по сравнению с первыми двумя часами этой программы.

Ответ: 40
Скрыть

За последние два часа прислано: 70+80=150 сообщений, за первые два: 70+40=110 сообщений. Разница составляет 150-110=40 сообщений

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Решите уравнение $$3(-5-3x)-6=2(x+3)-x$$

Ответ: -2,7
Скрыть

$$3(-5-3x)-6=2(x+3)-x\Leftrightarrow$$$$-15-9x-6=2x+6-x\Leftrightarrow$$$$-9x+x-2x=6+6+15\Leftrightarrow$$$$-10x=27\Leftrightarrow x=-2,7$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Число отдыхающих в санатории зимой уменьшилось в 5 раз по сравнению с летом. На сколько процентов уменьшилось число отдыхающих зимой?

Ответ: 80
Скрыть

Пусть было 100% , уменьшим в 5 раз $$\Rightarrow$$ стало 20% , следовательно, уменьшилось на 100-20=80%

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

На диаграмме показано распределение земель Южного федерального округа по категориям.

*прочие земли — это земли поселений; земли промышленности и иного специального назначения; земли особо охраняемых территорий и объектов. Сколько примерно квадратных километров занимают земли запаса, если площадь Южного округа составляет 416 840 км2?

Варианты ответа:

1. около 19,7 тыс
2. около 38 тыс.
3. около 6,4 тыс.
4. около 14,9 тыс.
Ответ: 1
Скрыть

Земли запаса составила примерно $$\frac{1}{20}$$ от площади ЮФО $$\Rightarrow$$ $$\frac{416840}{20}\approx$$ 20 тысяч, что соответствует 1 варианту ответа.

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Анна выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 99.

Ответ: 0,01
Скрыть

Всего трехзначных чисел 999-99=900. Из них делится на 99 одно на каждые 100$$\Rightarrow$$ 9 чисел, тогда вероятность $$P=\frac{9}{900}=0,01$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

1) $$y=x^{2}-4$$
2) $$y=2x-4$$
3) $$y=\sqrt{5}$$ 
4) $$y=\frac{1}{x}$$
Ответ: 312
Скрыть
  • A - ветви параболы $$\Rightarrow$$ $$y=\sqrt{3}(3)$$
  • Б - параболы $$\Rightarrow$$ $$y=x^{2}-4(1)$$
  • B - прямая $$\Rightarrow$$ $$y=2x-4(2)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Последовательность (bn) задана условиями $$b_{1}=-5, b_{n+1}=-2*\frac{1}{b_{n}}$$. Найдите $$b_{4}$$

Ответ: 0,4
Скрыть
  • $$b_{2}=-2*\frac{1}{b_{1}}=$$$$-2*\frac{1}{-5}=\frac{2}{5}$$
  • $$b_{3}=-2*\frac{1}{b_{2}}=$$$$-2*\frac{1}{\frac{2}{5}}=-5$$
  • $$b_{4}=-2*\frac{1}{b_{3}}=$$$$-2*\frac{1}{-5}= \frac{2}{5}=0,4$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Квадратный трехчлен разложен на множители $$4x^{2}-5x-6=4(x-2)(x-a)$$. Найдите а

Ответ: -0,75
Скрыть

$$4x^{2}-5x-6=4(x-2)(x-a)$$

Пусть : $$4x^{2}-5x-6=0$$

$$D=25+96=121$$

$$x_{1}=\frac{5+11}{8}=2$$

$$x_{2}=\frac{5-11}{8}=-0,75$$

Тогда: $$4x^{2}-5x-6=4(x-2)(x-(-0,75))\Rightarrow$$ $$a=-0,75$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C=150+11(t−5), где t — длительность поездки, выраженная в минутах. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 16-минутной поездки. Ответ укажите в рублях.

Ответ: 271
Скрыть

Найдем с: $$c=150+11(16-5)=150+11*11=271$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств $$\left\{\begin{matrix}2x-3<1\\ 5-3x>8\end{matrix}\right.$$

Ответ: 3
Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}2x-3<1\\5-3x>8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2x<4\\-3x>3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x<2\\x<-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x<-1$$, что соответствует 3 варианту ответа ( т.к. $$(-4;1) \in (-\infty ;-1)$$ )

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 4 м и 10 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 5 см и 20 см. Сколько потребуется таких дощечек?

Ответ: 4000
Скрыть

Площадь комнаты: $$S=4*10=40$$ м2

Площадь дощечки: $$\frac{5}{100}*\frac{20}{100}=0,01$$ м2

Количество дощечек: $$n=\frac{40}{0,01}=4000$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

На прямой АВ взята точка М. Луч MD — биссектриса угла CMВ. Известно, что $$\angle DMC=48$$. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах

Ответ: 84
Скрыть

$$\angle BMC=2*48=96$$ (MD - биссектрисса)

$$\angle AMC=180-\angle BMC=84$$ (свойство смежных)

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Ответ: 25
Скрыть

По т. Пифагора : $$\sqrt{7^{2}+24^{2}}=25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 8. Найдите площадь треугольника ABC

Ответ: 32
Скрыть

$$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}=k\Rightarrow$$ $$\frac{S_{DCE}}{S_{ABC}}=k^{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow$$ $$S_{ABC}=8*4=32$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Катеты прямоугольного треугольника равны $$5\sqrt{3}$$ и 5. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

Ответ: 0,5
Скрыть

Пусть CB=5; $$AC=5\sqrt{3}$$; $$CB<AC$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle A<\angle B$$ и $$\sin A$$ - наименьший

$$AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=10$$; $$\sin A=\frac{CB}{AB}=0,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 20

Какие из следующих утверждений верны?

1. Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон.
2. Диагонали равнобедренной трапеции делятся точкой пересечения пополам.
3. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов

Ответ: 1
Скрыть

1) верно
2) неверно(как угодно могут - в зависимости от отношения длин оснований)
3) неверно (не хватает угла между сторонами)

Аналоги к этому заданию:

Задание 21

Решите уравнение $$x^{2}+\frac{25x^{2}}{(x+5)^{2}}=\frac{125}{4}$$

Ответ: -2,5;5
Скрыть

     $$x^{2}+\frac{25x^{2}}{(x+5)^{2}}=\frac{125}{4}$$

ОДЗ: $$x+5\neq 0\Rightarrow$$ $$x\neq -5$$

     $$x^{2}+(\frac{5x}{x+5})^{2}+2*\frac{x*5x}{x+5}-2*\frac{x*5x}{x+5}=\frac{125}{4}\Leftrightarrow$$$$(x-\frac{5x}{x+5})^{2}+\frac{10x^{2}}{x+5}=\frac{125}{4}\Leftrightarrow$$$$(\frac{x^{2}+5x-5x}{(x+5)})^{2}+10*\frac{x^{2}}{x+5}-\frac{125}{4}=0\Leftrightarrow$$$$(\frac{x^{2}}{x+5})^{2}+10*\frac{x^{2}}{x+5}-\frac{125}{4}=0$$

     Пусть $$\frac{x^{2}}{x+5}=y$$: $$y^{2}+10y-\frac{125}{4}=0$$

$$D=100+125=15$$
$$y_{1}=\frac{-10+15}{2}=\frac{5}{2}$$
$$y_{2}=\frac{-10-15}{2}=-\frac{25}{2}$$

     $$\left[\begin{matrix}\frac{x^{2}}{x+5}=\frac{5}{2}\\\frac{x^{2}}{x+5}=-\frac{25}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}2x^{2}-5x-25=0(1)\\2x^{2}+25x+125=0(2)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=5\\x=-2,5\end{matrix}\right.$$

1) D=25+200=225: $$\left[\begin{matrix}x_{1}=\frac{5+15}{4}=5\\x_{2}=\frac{5-15}{4}=-\frac{5}{2}\end{matrix}\right.$$

2) D=625-1000<0 - решений нет

Аналоги к этому заданию:

Задание 22

Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист. Через 20 минут он ещё не вернулся в пункт А, откуда следом за ним отправился мотоциклист. Через 15 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через 40 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 40 км.

Ответ: 105
Скрыть

   Пусть x-км\ч - скорость велосипедиста, y км\ч - мотоциклиста. Тогда: $$\frac{35}{60}x=\frac{15}{60}y$$ (догнал через 15 минут, выехал на 20 минут позже) и $$\frac{40}{60}y-\frac{40}{60}x=40$$ (через 40 минут опережал на круг)

$$\left\{\begin{matrix}\frac{7}{12}x=\frac{1}{4}y\\\frac{y}{60}-\frac{x}{60}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}7x=3y\\y-x=60\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y=60+x\\7x=180+3x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y=105\\x=45\end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 23

Постройте график функции $$y=\frac{x-2}{x^{2}-2x}$$ и определите, при каких значениях k прямая $$y=kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: 0,25
Скрыть

     Найдем ограничения по x: $$x^{2}-2x\neq 0\Leftrightarrow$$ $$x\neq 0 x\neq 2(1)$$. Тогда $$y=\frac{x-2}{x(x-2)}=\frac{1}{x}$$ с учетом (1) аналогичен искомой функции

     Построим график функции:

     $$y=kx$$ имеет 1 общую точку если проходит через (2;0,5): $$0,5=2k\Rightarrow$$ $$k=\frac{1}{4}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 24

Хорда круга пересекает диаметр под углом 30 и делит его на части длиной 11 см и 55 см. Найдите расстояние от центра круга до хорды.

Ответ: 11
Скрыть

     1) $$AB=AH+HB=66$$$$\Rightarrow$$ $$OA=OB=33$$(радиусы)

     2) $$OH=OB-HB=33-11=22$$

     3) из $$\Delta OHM$$: $$OM=OH*\sin OHM$$; $$OM=22*\frac{1}{2}=11$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 25

Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению длин её оснований.

Ответ:
Скрыть

     1) т.к. можно вписать окружность , то $$AB+CD=BC+AD$$

     2) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*MN$$

   Пусть $$OK\perp CD$$(OK-радиусы) . По свойству касательных : $$MC=CK$$, $$OM\perp CD\Rightarrow$$ $$\Delta MCO=\Delta CKO$$(по катету и гипотенузе) , аналогично, $$\Delta OKD=\Delta ODN$$. Тогда: $$\angle KDO=\angle ODN=\frac{\angle D}{2}=\frac{\alpha }{2}$$ и $$\angle MCO=\angle OCK=\frac{\angle C}{2}=\frac{180-\alpha }{2}=90-\frac{\alpha }{2}$$

   Тогда: $$\angle COD=180-\frac{\alpha }{2}-(90-\frac{\alpha }{2})=90\Rightarrow$$ $$OK=\sqrt{CK*KD}$$.

   Пусть CK=a, KD=b, OK=r, тогда: OL=OM=r; BM=BL; $$\angle B=90\Rightarrow$$ $$BM=BL=r$$; $$r^{2}=ab$$, $$BC=BM+MC=r+a$$, $$AD=AN+ND=r+b$$, $$AB=2r$$

     3) $$S=\frac{r+a+r+b}{2}*2r=$$$$(2r+a+b)*2=2r^{2}+ar+br=$$$$r^{2}+r^{2}+ar+br=$$$$r^{2}+ab+ar+br=$$$$r(r+b)+a(r+b)=(r+b)(r+a)=AD*BC$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 26

Вершина С прямоугольника ABCD лежит на стороне КМ равнобедренной трапеции АВКМ (ВК || АМ), Р – точка пересечения отрезков АМ и СD. Найдите отношение площадей прямоугольника и трапеции, если АВ = 2ВС, АР = 3ВК.

Ответ: $$\frac{3}{1+2\sqrt{2}}$$
Скрыть

     1) Построим через $$CH\left | \right |AM$$ ($$H=CH\cap AB$$)

Пусть $$HK\cap BC=N$$; HBKC - равнобедренная трапеция $$\Rightarrow$$ BC=HK

Пусть $$BC=x=HK$$; $$AB=2x\Rightarrow$$ $$S_{ABCD}=BC*AB=2x^{2}$$

     2) $$\Delta BKN\sim \Delta HNC$$; $$\frac{BN}{NC}=\frac{BK}{HC}(1)$$; $$HC\left | \right |AM$$ и $$AB\left | \right |CD\Rightarrow$$ HCPA - параллелограмм и HC=AP

С учетом (1): $$\frac{BN}{NC}=\frac{BK}{HC}=\frac{BK}{AP}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$ $$BN=\frac{1}{4}*BC=\frac{x}{4}$$, $$NC=\frac{3}{4}*BC=\frac{3x}{4}=NH$$

     3) из $$\Delta BNH$$: $$BH=\sqrt{NH^{2}-BN^{2}}=\frac{x}{\sqrt{2}}$$

$$tg\angle BHC=\frac{BC}{BH}=\frac{x}{\frac{x}{\sqrt{2}}}=$$$$\sqrt{2}=tg\angle A\Rightarrow$$ $$\sin A=\sqrt{\frac{2}{3}}$$, $$\cos A=\sqrt{\frac{1}{3}}$$

$$HC=\frac{BC}{\sin HBC}=\frac{x\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\Rightarrow$$ $$BK=\frac{x\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}$$

     4)Пусть $$BL\perp AM$$, тогда из $$\Delta ABL$$: $$AL=AB*\cos A=2x*\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{2x}{\sqrt{3}}\Rightarrow$$ $$AM=BK+2AL=\frac{x\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}+\frac{2*2x}{\sqrt{3}}=$$$$\frac{x(\sqrt{3}+4\sqrt{6})}{3\sqrt{2}}$$, $$BL=AB \sin A=\frac{2x\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

$$S_{ABKM}=\frac{\frac{x\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}+\frac{x\sqrt{3}+x*4\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}}{2}*\frac{2x\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=$$$$\frac{2x\sqrt{3}+4x\sqrt{6}}{6\sqrt{2}}*\frac{2x\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=$$$$\frac{2x^{2}(\sqrt{3}+2\sqrt{6})}{3\sqrt{3}}$$

     5) $$\frac{S_{ABCD}}{S_{ABKM}}=2x^{2}:\frac{2x^{2}(\sqrt{3}+2\sqrt{6})}{3\sqrt{3}}=$$$$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2\sqrt{6}}=$$$$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}(1+2\sqrt{2})}=\frac{3}{1+2\sqrt{2}}$$